求解分?jǐn)?shù)階微分方程的一種新矩陣算子

劉麗靜

摘 要：近年來，分?jǐn)?shù)階微積分在建立物理模型和工程計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用，由于大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程式不存在解析解的，對于分?jǐn)?shù)階微分方程的求解數(shù)值解就顯得尤為重要。本文在Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義下，利用切比雪夫多項(xiàng)式給出了求解一類分?jǐn)?shù)階微分方程的矩陣算子，將求解分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題化為代數(shù)方程求解，并將新矩陣算子應(yīng)用在線性分?jǐn)?shù)階微分方程中，數(shù)值算例說明了本矩陣算子的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微分方程；矩陣算子；切比雪夫多項(xiàng)式；Caputo導(dǎo)數(shù)

1 引言

分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分有著同樣悠久的歷史，它的建立至今已有300多年的歷史。近幾年，許多研究者發(fā)現(xiàn)：非整數(shù)階的微積分也可以在眾多現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域中得以應(yīng)用，而且它們比整數(shù)階微積分能更精確地體現(xiàn)物體的性質(zhì)，例如：沾滯系統(tǒng)、介質(zhì)極化、電極-電解液極化、管道邊界層效應(yīng)、有色噪聲和電磁波等，從而使得分?jǐn)?shù)階微分方程擁有了實(shí)際的應(yīng)用背景，并且人們也發(fā)現(xiàn)在分析各類物質(zhì)材料的記憶遺傳性、經(jīng)濟(jì)學(xué)中，分?jǐn)?shù)階微分都成為一種有效的工具，發(fā)揮了無法比擬的作用，從而分?jǐn)?shù)階算子理論和應(yīng)用研究在國際上才得到迅速發(fā)展[1]，因此，開展分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值方法的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 Caputo的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義

2.2微分方程的切比雪夫矩陣算子

2.2.1 整數(shù)階微分方程的切比雪夫矩陣算子

該方法得到的解與精確解相同，說明此法可應(yīng)用于求解線性微分方程。

4 結(jié)論

由于分?jǐn)?shù)階微分方程對所描述問題具有的記憶性，使得對分?jǐn)?shù)階微分方程研究成為研究的熱點(diǎn)問題。本文正是在這種背景之下，給出了一種普遍適用的切比雪夫分?jǐn)?shù)階微分的矩陣算子，數(shù)值算例表明了該矩陣算子對求解線性分?jǐn)?shù)階微分方程是可行且有效的。另外值得一提的是本文提出的矩陣算子有利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，為編寫工程計(jì)算軟件提供了理論支持。

參考文獻(xiàn)

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