三維空間中帶非線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程經(jīng)典解的爆破

熊顯萍 黃激珊 王美娜

（貴州省興義民族學(xué)院， 貴州 興義 562400）

三維空間中帶非線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程經(jīng)典解的爆破

熊顯萍 黃激珊 王美娜

（貴州省興義民族學(xué)院， 貴州 興義 562400）

在假設(shè)某些初始數(shù)據(jù)較大的條件下，研究三維空間中帶非線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程組初值問(wèn)題經(jīng)典解。在方程組存在局部解及該解具有有限傳播速度的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆汉?，用泛函方法得到了其?jīng)典解在有限時(shí)間內(nèi)必定發(fā)生爆破的結(jié)論。

非線性阻尼;歐拉方程;爆破;泛函方法

Abstract:The initial value problem for three-dimensional Euler equations with nonlinear damping is investigated in this paper,when the local solutions for Cauchy problem is existed and have limited speed,the classical solutions is proved to be blowed up in finite time provided the some initial data is sufficiently large by functional methods.

Keyword:Nonlinear damping;Euler equations;blowup;functional methods

一、引言

歐拉方程組Cauchy問(wèn)題的解的研究成果已有很多[1][2]【[3]，例如Thomas C.Sideris[3]研究了三維空間中帶線性阻尼的初值問(wèn)題經(jīng)典解,文獻(xiàn)[4，5]研究了不同條件下三維空間帶線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程組初值問(wèn)題解的爆破,文獻(xiàn)[6]研究了帶非線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程組解的爆破，本文將在文獻(xiàn)[4，5，6]的基礎(chǔ)上研究帶非線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程組初值問(wèn)題經(jīng)典解的爆破。

考慮三維空間中理想氣體的歐拉方程組

的Cauchy問(wèn)題，（1）對(duì)應(yīng)的初始數(shù)據(jù)為

二、結(jié)論及定理證明

我們定義

與文獻(xiàn)[6]類似，我們通過(guò)引入變量改寫(xiě)方程組，可得初值問(wèn)題（1）（2）的解具有有限傳播速度的性質(zhì)，即

引理[5,6,7]設(shè)（ρ，u，S）是方程組（1）（2）在 R3×（0，T）上的 C1解，則在

文獻(xiàn)[4，6]均定義得到了可壓縮等熵歐拉方程的Cauchy問(wèn)題在有限時(shí)間內(nèi)必定爆破的結(jié)論，與[4，6]所研究方程的區(qū)別是方程組為帶非線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程組，由線性阻尼變?yōu)榉蔷€性阻尼，增加了問(wèn)題的難度，且利用[5]的方法定義了，同樣得到了歐拉方程Cauchy問(wèn)題的經(jīng)典解必定爆破的結(jié)論。

[1]Serge Alinhac.Blow up for Nonlinear Hyperbolic Equations[M].1995.

[2]T.C. Sideris. Formation of Singulari ties in Three-Dimensional Compressible Flui ds[J].Commun.Phys.1985,101:475-485.

[3]T.C.Sideris,Becca Thomases,and W ang Dehua. Long time behavior of solut ions to the 3D compressible Euler equations w ith damping[J]. Communications in partial differential equations,2003,Vol28,Nos.3&4,pp.795-816.

[4]李翠，朱旭生，李芳娥.帶阻尼項(xiàng)歐拉方程組解的爆破[J].江西科學(xué)，2010(3),28:283-284.

[5]朱旭生，艾利娜，湯傳揚(yáng).三維等熵歐拉方程組解的爆破[J].信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（1），28:33-35.

[6]熊顯萍，朱旭生.帶非線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程初值問(wèn)題經(jīng)典解的爆破[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011（3），29:97-99.

責(zé)任編輯：彭光明

Blowup O f The ClassicalSolutions To The 3D Euler Equations W ith Nonlinear Damping

XIONG Xian-ping HUANG Ji-shan WANG Mei-na
（Xingyi Normal University Nationalites，Xingyi，562400）

1009—0673（2015）03—0121—04

O175.28

A

2015—05—08

貴州省教育廳2014自然科學(xué)基金項(xiàng)目（黔教科研發(fā)【2014】279號(hào)）。

熊顯萍（1978— ），女，貴州修文人，興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，主要從事偏微分方程的研究。