不等式易錯(cuò)感悟

余欣

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)，常用來求與最值有關(guān)的問題. 我們由于對(duì)公式缺乏深刻的認(rèn)識(shí)，在解題中屢屢出錯(cuò). 現(xiàn)列舉解題中的典型錯(cuò)誤，以期對(duì)大家有所幫助.

忽略[a<0]

例1 ?解不等式[（x+1）（2-x）<0].

錯(cuò)解 ?因?yàn)榉匠蘙（x+1）（2-x）=0]的兩根為[x1=-1，x2=2]，

所以不等式[（x+1）（2-x）<0]的解集為（-1，2）.

分析 ?此時(shí)[x]的系數(shù)為負(fù)數(shù)，運(yùn)用公式出錯(cuò).

正解 ?[x|x>2或x<-1]

感悟 ?必修五教材上解一元二次不等式的表格中，列出了不等式[ax2+bx+c<0（a>0）]在[Δ>0]即方程[ax2+bx+c=0]有不同兩根[x1，x2]的情況下，不等式的解集是在兩根之內(nèi)，即[（x1，x2）.] 但[（x+1）（2-x）<0]類型的不等式，恰好隱蔽[a<0]，我們往往會(huì)因忽略[a<0]而出現(xiàn)上述解法錯(cuò)誤. 而且我們常有先入為主[（a>0）]的定向思維，一看不等號(hào)方向是小于符號(hào)，會(huì)毫不猶豫地寫出在兩根之內(nèi)的錯(cuò)誤解集.

忽視定值

例2 ?已知[y=2x2+1][（x∈[1，+∞））]，求[y]的最小值.

錯(cuò)解 ?[y=2x2+1≥22x2?1=22x].

又[x∈][[1，+∞）]，所以[22x≥22].

從而[y]的最小值為[22].

分析 ?[y=2x2+1≥22x2?1=22x]中，[2x2?1]不是定值.

正解 ?如圖，因?yàn)楹瘮?shù)[y=2x2+1]在[x∈[1，+∞）]為單調(diào)增函數(shù).

所以函數(shù)的最小值為3.

感悟 ?求和的最值，湊積為定值;求積的最值，湊和為定值.

忽視等號(hào)成立的條件

例3 ?已知[a>0，b>0，]且[a+b=1，]求[（a+1a）（b+1b）]的最小值.

錯(cuò)解1 ?因?yàn)閇a>0，b>0，]

所以[（a+1a）（b+1b）≥][2a?1a.2b?1b=4].

錯(cuò)解2 ?[（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba]

[≥2ab?1ab+2ab?ba=4].

錯(cuò)解3 ?[（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba]

[=ab+2ab-2≥2ab?2ab-2=22-2].

分析 ?錯(cuò)解1和錯(cuò)解2利用了兩次基本不等式，取等號(hào)的條件都是[a=b=1，]不可能成立. 錯(cuò)解3盡管只用了一次，但注意到取等號(hào)的條件是[ab=2]，也不能成立.

正解 ?依題意知，[ab≤（a+b2）2=14]，所以[ab∈（0，14]].

又[（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ab+ba=ab+2ab-2]，

參考函數(shù)[y=x+2x]，如圖. 當(dāng)[ab=14時(shí)]，有最小值[254].

例4 ?求函數(shù)[y=xa2-x20

錯(cuò)解 ?由[00，2（a-x）>0，]于是，

[y= x a2- x2 ?=12x a + x ?（2a- 2x ）]

[≤12[x+ a+ x ?+ 2a- 2x 3]3=12a3.]

所以函數(shù)[y]的最大值是[12a3].

分析 上述解法中忽視了等號(hào)成立的條件. 事實(shí)上， 三個(gè)正數(shù)[x，a+x，2a-2x]不可能全相等， 所以解法是錯(cuò)誤的.

正解 由[0< x< a]知， [00].

于是， [y2= x2a2-x22=12·2x2a2-x22]

[≤12[2x2+a2-x2 +a2-x23]3=427a6.]

又[y >0]， 所以[y≤239a3.]

當(dāng)且僅當(dāng)[2x2=a2-x2]，即[x= 33a]時(shí)，函數(shù)[y]有最大值[239a3.]

感悟 ?運(yùn)用有關(guān)的定理性質(zhì)、不等式放縮、同向不等式迭加時(shí)，要特別注意等號(hào)能否取得. 對(duì)例3中基本不等式利用一次、兩次都不成立的問題可轉(zhuǎn)化為形如函數(shù)[y=mx+nx（m，n>0）]的單調(diào)性問題. 利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系時(shí)，要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及其定義域限制.

忽視正數(shù)

例5 ?求函數(shù)[y=x+4x]的值域.

錯(cuò)解 ?因?yàn)閇x+4x≥2x?4x=4]（當(dāng)且僅當(dāng)[x=2]時(shí)取等號(hào)），所以值域?yàn)閇4，+∞].

分析 ?運(yùn)用公式時(shí)，縮小了參數(shù)的取值范圍.

正解 ?（1）[當(dāng)x>0時(shí)，x+4x≥2x?4x=4]（當(dāng)且僅當(dāng)[x=2]時(shí)取等號(hào)）.

（2）當(dāng)[x<0時(shí)，-x>0.]而[（-x）+（-4x）≥2（-x）（-4x）=4]（當(dāng)且僅當(dāng)[x=-2]時(shí)取等號(hào)），

所以[x+4x≤-4].

綜上，函數(shù)的值域是[（-∞，-4]?[4，+∞）].

感悟 ?使用[a+b≥2ab]時(shí)，注意條件：[a，b∈R+].

遺漏端點(diǎn)

例6 ?已知集合[A=x|x2-x-2≤0，][B=x|a

錯(cuò)解 ?[A=x|x2-x-2≤0=x|-1≤x≤2].

若使[A?B=?]，需滿足[a>2或a+3<-1]，解得[a>2或a<-4].

所以實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[a>2或a<-4].

分析 ?上面的解法錯(cuò)誤原因在于忽視了集合[A=x|-1≤x≤2]的兩個(gè)端點(diǎn)值-1和2，其實(shí)當(dāng)[a=2]時(shí)，[B=x|2

正解 ?[A=x|x2-x-2≤0=x|-1≤x≤2].

若使[A?B=?]，需滿足[a≥2或a+3≤-1]，解得[a≥2或a≤-4].

所以實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[a≥2或a≤-4].

感悟 ?不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值，求解時(shí)需注意其是否能夠取得.

隨意消項(xiàng)

例7 ?解不等式[（x2-4x+4）（x2-4x+3）≥0].

錯(cuò)解 ?原不等式可化為[（x-2）2（x-1）（x-3）≥0].

[∵（x-2）2≥0，∴（x-1）（x-3）≥0].

所以[x≥3或x≤1].

所以原不等式的解集為[x|x≥3或x≤1].

分析 ?錯(cuò)解是由于隨意消項(xiàng)造成的，事實(shí)上，當(dāng)[（x-2）2=0]時(shí)，原不等式亦成立.

正解 ?原不等式可化為：[x≠2，（x-1）（x-3）≥0，]或[x=2]，

解得[x≥3或x≤1或x=2].

所以原不等式的解集為：[x|x≥3或x≤1或x=2].

感悟 ?解不等式時(shí)，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，防止出現(xiàn)增解或漏解.