動點(diǎn)問題伴對稱以退為進(jìn)獲思路

最近幾年紹興市中考數(shù)學(xué)試卷總是銳意創(chuàng)新，原創(chuàng)度高，給命題研究、教學(xué)指向帶來很好的導(dǎo)向.2015年仍然如此，以一道以特殊四邊形為載體的動態(tài)問題融坐標(biāo)系中作為壓軸題，尤其是最后一問的取值范圍的求解，引來了幾個數(shù)學(xué)QQ群中不少教師的熱議和交流，探討題中m的取值范圍該怎么求？本文嘗試對該題第（3）小題中m的取值范圍進(jìn)行思路突破，并給出解后反思，與同行研討.

1 試題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，連結(jié)AC，PQ，點(diǎn)B1是點(diǎn)B關(guān)于PQ的對稱點(diǎn).

3 m的取值范圍的突破

由于命題組只給出m的取值范圍的直接答案，這使熱衷于試題研究的教師也產(chǎn)生被“卡殼”的現(xiàn)象，因此，不少教師陸續(xù)在幾個數(shù)學(xué)QQ群中求助或交流m的取值范圍的解答過程.基于此，筆者也重拾試卷，靜心下來，認(rèn)真思考，如何破解命題組特意設(shè)置（控制滿分）的這道“坎”？

記得蘇諄教授曾說：“簡單情形正象是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點(diǎn)”、“定線”為特征的數(shù)學(xué)題，可以通過“主動尋求與建構(gòu)特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實(shí)現(xiàn)問題解決.因此，對動點(diǎn)產(chǎn)生的圖形問題，有時考慮極端情形，如量的最大、最小，圖形特殊位置或臨界位置等，能找到解題的突破口，從極端情形的討論和研究找到解決最值問題的方法，進(jìn)而確定圖形的大致圖象.因此，筆者認(rèn)為解答動態(tài)型試題時應(yīng)先足夠的退，如把點(diǎn)P、點(diǎn)Q、點(diǎn)E、點(diǎn)F按題意分別退到我們最容易看清楚問題的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去，這就是“以退為進(jìn)”的解題策略，沿著這一思路，終于找到了解題的突破口，使問題出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)，看到了曙光.

4 解后反思

筆者認(rèn)為，該問“難”在突出考查學(xué)生對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)認(rèn)識的深刻程度，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想尋求解題方法的素養(yǎng)，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決動態(tài)伴對稱（翻折）問題的分析能力和以退為進(jìn)意識，考查學(xué)生解決該問的綜合能力.因此，研究具有代表性和典型性的中考壓軸題，能更好地改進(jìn)教學(xué)，提升教學(xué).

4.1 關(guān)注思想方法，為學(xué)生提升素養(yǎng)蓄勢儲能

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的核心，它支撐和統(tǒng)帥著數(shù)學(xué)知識.每一個問題的解決過程中都悄悄地流淌著思想方法的潛流，教師的重要工作就是讓這些思想方法清晰起來，明亮起來.本題在思想方法上著重體現(xiàn)了分類討論思想（如既要對點(diǎn)B1在線段FE上還是在延長線上分類，還要對點(diǎn)P、點(diǎn)Q、點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置進(jìn)行分類考慮）和轉(zhuǎn)化思想（如構(gòu)造出Rt△AB1H等），除此以外，還需用到數(shù)形結(jié)合、方程等思想方法.在解題教學(xué)中，我們一定要積極引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的表象、探求解題方法、整理解題思路、總結(jié)解題規(guī)律、歸納解題思想，著眼于學(xué)生思維的發(fā)展.

4.2 立足構(gòu)造圖形，為學(xué)生分解難點(diǎn)鋪路塔橋

構(gòu)造圖形是解決幾何問題的靈魂，良好的作圖能力，可以開拓一個人的解題思路.本題在求m的取值范圍的設(shè)置上特別注重了該方面的考查，除了第（1）小題可以直接使用原題的圖形外，第（2）小題的解決，需要從解讀題意中得到發(fā)現(xiàn)和確認(rèn)，特別是點(diǎn)P、點(diǎn)Q、點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置影響了m的取值范圍的求解、分類討論的走向；接下來就是根據(jù)臨界點(diǎn)分類畫出符合要求的圖形（最好是分離后的簡化圖形，如圖5～8），這將為進(jìn)一步突破思路提供了研究的平臺.如果沒有良好的幾何構(gòu)圖能力，是很難破解m的取值范圍.

4.3 強(qiáng)化錯因分析，為學(xué)生經(jīng)驗(yàn)積累提供保障

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是解題.數(shù)學(xué)解題，如果就題論題，不認(rèn)真領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想和方法，就容易陷入題海之中，事倍功半.因此，針對學(xué)生解題中出現(xiàn)的錯誤，教師應(yīng)把重點(diǎn)放在錯題價值的挖掘上，對錯誤的“障礙點(diǎn)”進(jìn)行重點(diǎn)“敲打”，努力使崎嶇曲折的道路變得平直暢通，便于總結(jié)解題的一般規(guī)律.總結(jié)發(fā)現(xiàn)知識和技能中的“盲點(diǎn)”或“誤區(qū)”，及時克服和彌補(bǔ).回顧反思難點(diǎn)突破的過程，將有關(guān)的技能、技巧通過“上崗上線”，進(jìn)一步與基本數(shù)學(xué)思想掛鉤，并將它們組建成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).對錯題由此及彼，舉一反三，廣泛聯(lián)想，求新應(yīng)變，使學(xué)生收到“解一題，會一類，熟一片”之功效.

4.4 重視變式訓(xùn)練，為學(xué)生思維升華拓展空間

初三的解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)多變式，變式一方面起到系統(tǒng)知識，發(fā)散思維的作用；另一方面通過變式訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的問題分析能力，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題從多層面、多角度進(jìn)行延伸探究，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中分析“不變”的本質(zhì)，從“本質(zhì)”中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.變式教學(xué)要圍繞講解的目的性和針對性展開：明確是訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力，還是深化學(xué)生思維；是進(jìn)一步鞏固基礎(chǔ)，還是提高學(xué)生能力；是提醒學(xué)生哪些地方易錯，還是磨練學(xué)生解題意志.有效地拓展更好的服務(wù)于講解，深化了講解，提升了課堂的質(zhì)量.

當(dāng)然，試題編制猶如建筑設(shè)計(jì)，是一門遺憾的藝術(shù).這道題正如網(wǎng)友所言，有“超人現(xiàn)象”，是命題教師“眾人智慧”+幾何畫板經(jīng)過“千錘百煉”編制而成的，因此對命題者而言或許只是“小菜一碟”，可是對學(xué)生來說求m需費(fèi)盡周折、絞盡腦汁，因?yàn)榭紙錾蠈W(xué)生是“孤獨(dú)作戰(zhàn)”，思考時間受限制，且沒有這種工具，該怎么辦？從這一點(diǎn)來看，這一問似乎留下了一些淡淡的遺憾.為此，筆者呼吁：命題者慎用幾何畫板命題，必須換位思考，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，請勿要借用這種工具顯示自己超人的“才華”.

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