2014年慈溪市青年數(shù)學(xué)教師基本功競賽中有這樣一道題：如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=5，PB=4，PC=1.求正方形的邊長.

問了我校參賽的幾個(gè)青年教師，普遍反映該題得分率較低，感覺用代數(shù)方法很繁，用幾何方法一時(shí)又找不到巧妙的思路，所以最后放棄的老師較多.出于興趣，筆者對(duì)此問題進(jìn)行了一番探究.

從一般性考慮，筆者直接探究了以下問題：P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=a，PB=b，PC=c.求正方形的面積.

接著，筆者進(jìn)一步思考三角形內(nèi)一點(diǎn)問題：設(shè)P是銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=a，PB=b，PC=c.顯然，△ABC是無法確定的，那么能否確定當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，△ABC面積最大呢？筆者得到的結(jié)論是：當(dāng)點(diǎn)P是△ABC的垂心時(shí)，△ABC面積最大.

該結(jié)論的證明用到多邊形的一個(gè)熟知結(jié)論：邊長和邊的排列順序相同的多邊形中，圓內(nèi)接多邊形面積最大.

事實(shí)上，如圖5，分別以AB、BC、CA為對(duì)稱軸作出點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，依次為D、E、F，易得六邊形ADBECF的面積是△ABC面積的兩倍，所以當(dāng)六邊形ADBECF面積最大時(shí)，△ABC面積也最大，根據(jù)熟知結(jié)論，當(dāng)六邊形ADBECF內(nèi)接于圓時(shí)面積最大，此時(shí)由于AD=AP=AF，于是得∠ABD=∠ACF，而∠ABD=∠ABP，∠ACP=∠ACF，所以∠ABP=∠ACP；同理，∠BCP=∠BAP，∠CAP=∠CBP，利用三角形內(nèi)角和等于180度即得∠ACP+∠BCP+∠CAP=90°，故AP⊥BC；同理，BP⊥AC，CP⊥AB，所以點(diǎn)P是△ABC的垂心.

由此，我們得到了垂心的又一優(yōu)美性質(zhì)：若銳角三角形三個(gè)頂點(diǎn)到定點(diǎn)的距離分別為定值，則當(dāng)這個(gè)定點(diǎn)是該三角形垂心時(shí)面積最大.這與著名的法尼亞諾（Fagnano）問題：銳角三角形的所有內(nèi)接三角形中，垂足三角形的周長最短.似有異曲同工之妙.

遺憾的是，筆者尚未找到可以簡潔表示的最大銳角三角形面積公式，即如下問題敬請(qǐng)同行們一起探究：設(shè)P是銳角△ABC的垂心，PA=a，PB=b，PC=c.求△ABC的面積.

作者簡介 華漫天，男，浙江慈溪人，1969年1月生，中學(xué)高級(jí)教師，已發(fā)表文章30余篇，主要研究初等數(shù)學(xué)以及中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué).