對偶四元數(shù)遙感影像區(qū)域網(wǎng)平差精度分析

肖暉，費利佳

1.安徽大學資源與環(huán)境工程學院，合肥230601 2.南京曉莊學院生物化工與環(huán)境工程學院，南京211171 3.南京航空航天大學航天學院，南京210016

對偶四元數(shù)遙感影像區(qū)域網(wǎng)平差精度分析

肖暉1，2，費利佳3

1.安徽大學資源與環(huán)境工程學院，合肥230601 2.南京曉莊學院生物化工與環(huán)境工程學院，南京211171 3.南京航空航天大學航天學院，南京210016

根據(jù)幾何代數(shù)理論，提出對偶四元數(shù)區(qū)域網(wǎng)平差方法，采用對偶四元數(shù)描述區(qū)域網(wǎng)像坐標系間的旋轉(zhuǎn)和平移，對嚴格共線條件方程進行線性化，按照帶有約束條件的間接平差進行迭代解算.對偶四元數(shù)區(qū)域網(wǎng)平差模型法方程式的結(jié)構(gòu)完全類似于傳統(tǒng)方法，所需計算機內(nèi)存單位由于邊寬的增加而略有增加.實驗結(jié)果表明，對偶四元數(shù)區(qū)域網(wǎng)平差在影像的4個定點與中心布置控制點，能達到較高的測量精度.

攝影測量；區(qū)域網(wǎng)平差；幾何代數(shù)；間接平差；法方程式

區(qū)域網(wǎng)平差是從原始的影像坐標觀測值出發(fā)建立平差數(shù)學模型，能最佳地顧及并改正影像系統(tǒng)誤差的影響.隨著攝影測量技術(shù)的發(fā)展和計算機水平的提高，這種最嚴密的平差方法已得到泛應(yīng)用［1-2］.如今，無飛機、飛艇等低空平臺逐漸應(yīng)用于航空攝影測量作業(yè)［3］.由于這類平臺的不穩(wěn)定性，相對于傳統(tǒng)航攝飛機，由無人機和飛挺等低空平臺攝得的像片一般不能滿足旋轉(zhuǎn)角小于3?的航攝要求，這給傳統(tǒng)的空三測量作業(yè)帶來了一定的困難.

現(xiàn)有的平差解算方法有歐拉角法、矩陣分解法［4］及單位四元數(shù)法［5］，其中前兩種方法在計算過程中包含繁瑣的三角函數(shù)計算，計算量大；單位四元數(shù)法雖然可用角元素的四元數(shù)來表示，減少了平差運算量，但僅僅解決了坐標系之間的旋轉(zhuǎn)變換.由于一次變換無法同時解決平移問題，于是將對偶四元數(shù)引入平差解算.

對偶數(shù)是由Clifford為研究旋量代數(shù)引入對偶單位加以定義的，隨后由Study進行完善.與其他可用來描述螺旋運動的方法相比，對偶數(shù)被證實是最簡潔而有效的［6］.Charles定理表明，任何一般性剛體運動都可以等效成螺旋運動，而對偶四元數(shù)把轉(zhuǎn)動和平移統(tǒng)一考慮，是描述螺旋運動最簡潔的幾何代數(shù)工具［7］.近年來，對偶四元數(shù)已廣泛應(yīng)用于機器人運動學［8］、航天器交會對接［9］、運動目標姿態(tài)確定［10］、多剛體系統(tǒng)［11］和計算機視覺［12］等領(lǐng)域.文獻［13］通過實驗驗證了對偶四元數(shù)成像幾何模型在對地定位中的正確性和普適性.

1　對偶四元數(shù)

1.1對偶數(shù)與對偶四元數(shù)

式中，a為對偶數(shù)的實部，b為對偶部，其中ε2=0且ε/=0.

對偶四元數(shù)是在四元數(shù)和對偶代數(shù)理論的基礎(chǔ)上提出的，是可以將平移和旋轉(zhuǎn)統(tǒng)一描述的有效手段.對偶四元數(shù)可描述為

對偶數(shù)是一種幾何代數(shù)，由實部和對偶部組成，可表示為

式中，ε2=0且ε/=0.其中，q=q0+iq1+jq2+kq3，q′=q′0+iq′1+jq′2+kq′3均為四元數(shù)，分別稱為對偶四元數(shù)的實部和對偶部.

1.2基于對偶四元數(shù)的坐標轉(zhuǎn)換

如圖1所示，對偶四元數(shù)可以實現(xiàn)坐標變換［14］

圖1　對偶四元數(shù)描述的坐標轉(zhuǎn)換Figure 1 Coordinate transformation based on dual quaternion

坐標系O繞著空間矢量n旋轉(zhuǎn)θ角度，同時沿著n平移d形成新坐標系N.該過程實質(zhì)上是剛體的一般空間運動，其中p為坐標系原點O到旋轉(zhuǎn)軸上某一點間的向量.由圖1可以看出，只要給定對偶矢量n和對偶角對偶四元數(shù)就可以非常簡潔地表示空間坐標由O系到N系的變換關(guān)系.

假設(shè)目標坐標系為N-xyz，待轉(zhuǎn)換坐標系為O-XY Z.兩坐標系相對位置和姿態(tài)即為坐標系O-XY Z相對于坐標系N-xyz的螺旋運動，可由四元數(shù)描述為

2　對偶四元數(shù)區(qū)域網(wǎng)平差

區(qū)域網(wǎng)平差能用攝影測量解析法確定區(qū)域內(nèi)所有影像拍攝時刻探測器的位置和姿態(tài)，其原理如下：直接由每幅影像的光束出發(fā)，以像點坐標為觀測值，通過每個光線束在三維空間的平移和旋轉(zhuǎn)，使同名光線在物方最佳地交會在一起，并使之納入規(guī)定的坐標系，從而求出每幅影像拍攝時刻的位置和姿態(tài)，因此從理論上來說是最嚴密的.利用對偶四元數(shù)嚴密成像幾何模型進行區(qū)域網(wǎng)平差，其思想是將時間序列影像的姿態(tài)和相對位置用對偶四元數(shù)統(tǒng)一處理，從而補償成像幾何模型的系統(tǒng)誤差.

2.1區(qū)域網(wǎng)平差模型

基于對偶四元數(shù)的平差示意圖如圖2所示，點A為影像1～4上4條光線的交點.以O(shè)S1光線束為例，當探測器運動到位置S1時，傳感器拍攝地面點形成攝影光束，此時S1-x1y1z1、S1-ω1u1ν1、O-XY Z轉(zhuǎn)動的角方位元素可寫成2個對偶角的形式.將線方位元素矢量類比成S1-x1y1z1和O-XY Z的位移矢，由對偶四元數(shù)并利用公式可以將S1-x1y1z1做螺旋運動變換到O-XY Z中.

圖2　對偶四元數(shù)區(qū)域網(wǎng)平差模型Figure 2 Bundle adjustment based on dual quaternion

基于對偶四元數(shù)的區(qū)域網(wǎng)平差的中心投影構(gòu)像方程，旋轉(zhuǎn)變換矩陣和平移變換矩陣見參考文獻［13］.

2.2平差模型

法方程式的結(jié)構(gòu)為

如果有n（i=1，2，···n）張像片，參與平差的模型點數(shù)目為t，控制點數(shù)目為n1，檢查點數(shù)目為n2（t=n1+n2），計入模型點重疊度的像點數(shù)目為m，對于每個控制點結(jié)合其自身在平差影像區(qū)域內(nèi)的分布，可列出相應(yīng)的誤差方程式.

對于每張像片都存在限制條件方程

因此，整體平差的誤差方程式為

式中，V和L為2t×1的矩陣，C為2m×（8n+3n2）的矩陣，則

2.3法方程式結(jié)構(gòu)及其分析

現(xiàn)有一個理想的1×3攝影測量區(qū)域如圖3所示，矩形的邊表示影像A、B、C，Δ為平高控制點，O為待加密的模型點.控制點點0和6、待加密的模型點10、11、12和16是由影像A和B上的兩條光線得到的；其他控制點和待加密的模型點是由影像A、B、C上的3條光線得到的.

圖3　控制點與檢查點分布圖Figure 3 Distribution of control points and check poiuts

誤差方程式系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)如圖4所示，待加密的模型點9是由影像A、B、C上的3條光線得到的，因此非0元素占6行.該點在每張影像上可以列出6個誤差方程式，每個誤差方程式有8個未知數(shù)，為該影像對偶四元數(shù)，而該模型點的各個坐標改正數(shù)分別用6行連成一個豎向的矩形來表示.待加密的模型點10是由影像A和B的兩條光線得到的，因此非0元素占有4行.該點在每張影像上可以列出4個誤差方程式，而該模型點的各個坐標改正數(shù)分別用4行連成一個豎向的矩形來表示.

圖4　誤差方程式系數(shù)矩陣Figure 4 Matrix of the error equation coefficient

相應(yīng)的法方程式未知數(shù)的系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)如圖5所示，是對稱帶狀稀疏矩陣.每張影像ATA的階為8×8，每個模型點BTB的階為3×3，分別對應(yīng)主對角線上每個大方塊（階數(shù)為8×8）和每個小方塊（階數(shù)為3×3）；全區(qū)待定點有6個，則相應(yīng)的BTB的階數(shù)為18×18；非主對角線上的矩形反映了每張像片上有關(guān)待求的模型點的內(nèi)容，對于待加密的模型點9，ATB的階為（8×3）×3；由于約束條件式（7）引入平差模型中，原法方程系數(shù)陣的內(nèi)容僅增加了與t有關(guān)的鑲邊部分D，且其階為8×2.因此，對偶四元數(shù)空中三角測量平差法方程系數(shù)陣在結(jié)構(gòu)上完全類似于傳統(tǒng)的區(qū)域網(wǎng)平差，只是所需計算機內(nèi)存單位由于邊寬的增加而略有增加.

圖5　法方程式未知數(shù)系數(shù)矩陣Figure 5 Matrix of the normal equation coefficient

3　實驗結(jié)果及分析

下面利用RC30航攝儀實際影像數(shù)據(jù)進行平差，說明對偶四元數(shù)區(qū)域網(wǎng)平差模型在提高探測器定位精度方面的可靠性.對航空影像，共計2條航帶6張影像，攝影比例尺為1∶15 000，相機焦距為0.152 72 m，旁向重疊為30%，航向重疊為66%，飛行高度約為2 290 m.區(qū)域內(nèi)最大高差為303 m，屬于山區(qū)地形.

對上述影像，采用表1中的7種不同控制點布設(shè)方案，利用對偶四元數(shù)方案進行區(qū)域網(wǎng)平差解算.在平差計算過程中，認為所有像點的坐標都是等精度且不相關(guān)的觀測值，因此權(quán)矩陣P為單位陣.影像數(shù)據(jù)包含已知的位置和姿態(tài)信息，且解算時所必需的位姿初始值作為已知值給定.圖中，十字絲中心（直線的某個端點）代表檢查空間位置，直線代表殘差偏移方向和大小.本文衡量精度的標準如下：一是由計算加密點X、Y、Z方向的誤差得到平面與高程殘差分布圖，二是由X、Y方向的精度求出平差的平面精度.實驗結(jié)果見表1，可以看出由本文提出的基于對偶四元數(shù)的區(qū)域網(wǎng)平差方法解算得到的實際平高精度均與理論精度相近，證明了該算法的可靠性.迭代次數(shù)為3～4次，迭代速度快，因此計算時間少.

表1　不同控制點布設(shè)方案的區(qū)域網(wǎng)平差精度Table 1 Accuracy of bundle adjustment for diferent programs of control points distribution

表1中，Δ為平高控制點；實際精度由n個加密點坐標與真實坐標差值求出，即= X，Y，Z，μ平面=；理論精度由誤差傳播定律求得，即=X，Y，Z，m平面=

6組實驗的檢查點殘差存在明顯的規(guī)律性，采用多元回歸方程分析殘差分布

式中，bj（j=0，1，2，3，4）為待回歸分析的5個回歸系數(shù)；1，n，m，n2，m2是與回歸系數(shù)對應(yīng)的自變量（因子），n為邊緣控制點數(shù)目，m為內(nèi)部控制點數(shù)目；di為隨機變量，i=x，y，z，xy，分別表示x和y方向精度、高程與平面精度，實驗結(jié)果如表2所示.

表2　回歸分析結(jié)果Table 2 Results of regression analysis

比較自變量x與y，x2與y2的系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：b1＞b2，b3＞b4.邊緣控制點的數(shù)目對平高精度的影響大于內(nèi)部控制點，即光束法區(qū)域網(wǎng)平差精度最弱的點位于區(qū)域的四周；對于區(qū)域網(wǎng)平差區(qū)域，內(nèi)部的精度較高而且均勻，精度薄弱環(huán)節(jié)在區(qū)域的四周.因此，在保證區(qū)域中心存在控制點的情況下，平面控制點應(yīng)當盡量布設(shè)在區(qū)域的四周，這樣才能起到控制精度的作用.如果控制點的布設(shè)合理，就能在保持平高精度基本不變的前提下減少控制點的數(shù)量，大大減少為獲取控制點而增加的工作量.

4　結(jié)語

對偶四元數(shù)方法用于機載遙感影像區(qū)域網(wǎng)平差，其實際精度與理論精度相當，可作為數(shù)字攝影測量學的一種全新的具有獨特優(yōu)勢的探索.與傳統(tǒng)歐拉角方法相比，計算時避免了繁瑣的三角函數(shù)運算，迭代速度快，且適用于不穩(wěn)定航攝平臺影像和近景影像區(qū)域網(wǎng)平差.在傳統(tǒng)的空三測量中，由于地形的復雜性和航片質(zhì)量等問題，不能保證每張航攝像片都能獲取大量的、均勻分布的加密點，因此對偶四元數(shù)法在空中三角測量中具有較好的應(yīng)用前景.然而，對偶四元數(shù)方法的穩(wěn)定性有待進一步研究，如在低空攝影測量中，應(yīng)充分發(fā)揮該方法在大姿態(tài)角影像定向元素求解上的獨特優(yōu)勢，以獲得更穩(wěn)定的求解方案.

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（編輯：秦巍）

Accuracy Analysis of Region Adjustment of Remote Sensing Images Based on Dual Quaternion

XIAO Hui1，2，F(xiàn)EI Li-jia3
1.College of Resource and Environmental Engineering，Anhui University，Hefei 230601，China 2.School of Biochemical and Environmental Engineering，Nanjing Xiaozhuang University，Nanjing 211171，China 3.College of Astronautics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China

According to the geometric algebra theory，a bundle adjustment method based on dual quaternion is presented.The method uses dual quaternion to describe rotation and translation of regional photo coordinates，and can linearize a strict collinearity equation.Constraint parameter adjustment is iteratively computed.The structure of normal equation in region adjustment based on dual quaternion is similar to that of traditional methods，with the required memory slightly increased with the increasing margins.The results show that，by arranging control points in four angle points and central point，the dual quaternion-based region adjustment can achieve relatively high measuring accuracy.

photogrammetry，region adjustment，geometric algebra，parameter adjustment，normal equation

P23

0255-8297（2015）01-0079-08

10.3969/j.issn.0255-8297.2015.01.009

2014-05-26；

2014-10-21

國家自然科學基金（No.41101441）資助

肖暉，博士，講師，研究方向：遙感影像幾何定位，E-mail：xiaohui257@qq.com