王敏杰，范元?jiǎng)?，?莉

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

諧波齒輪傳動(dòng)共軛齒廓求解方法的研究*

王敏杰，范元?jiǎng)?，?莉

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094）

在諧波傳動(dòng)嚙合原理的基礎(chǔ)上，給出一種共軛齒廓求解方法。利用Abaqus求解柔輪的初變形，提取齒圈中截面中性層節(jié)點(diǎn)的徑向變形位移和切向變形位移，結(jié)合Matlab曲線(xiàn)擬合工具箱，以子項(xiàng)為正弦函數(shù)的多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，求取柔輪的變形函數(shù)。以此代替理論變形函數(shù)，完成柔輪單齒嚙入嚙出的運(yùn)動(dòng)仿真，對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡的包絡(luò)曲線(xiàn)進(jìn)行最小二乘擬合，得到剛輪齒廓曲線(xiàn)。結(jié)果表明：基于包絡(luò)理論，結(jié)合有限元法和運(yùn)動(dòng)仿真，對(duì)于求解共軛齒廓是可行的，為諧波齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)提供了參考。

有限元法；變形函數(shù)；運(yùn)動(dòng)仿真；包絡(luò)

0　引言

諧波齒輪傳動(dòng)共軛齒廓的設(shè)計(jì)，是在已知柔輪齒廓曲線(xiàn)和原始曲線(xiàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)理論嚙合方程的求解，得到剛輪齒廓曲線(xiàn)。求解過(guò)程中，柔輪變形函數(shù)的選取會(huì)直接影響嚙合狀態(tài)，誤差過(guò)大易導(dǎo)致輪齒嚙合干涉、嚙合側(cè)隙不均勻等現(xiàn)象的出現(xiàn)。但是，由于諧波齒輪傳動(dòng)的復(fù)雜性，柔輪的變形也呈現(xiàn)出復(fù)雜的變化規(guī)律［1］。目前，國(guó)內(nèi)主要采用橢圓凸輪波發(fā)生器，將其裝入柔輪后，柔輪齒圈中截面的理論變形函數(shù)是在柔輪中線(xiàn)不伸長(zhǎng)、母線(xiàn)仍為直線(xiàn)、不考慮輪齒影響等相關(guān)假設(shè)的基礎(chǔ)上，由彈性殼體理論求解而得。推導(dǎo)過(guò)程涉及橢圓積分運(yùn)算［2］，方程形式較為復(fù)雜，這為共軛齒廓的求解增加了難度。

文獻(xiàn)［3］以漸開(kāi)線(xiàn)齒嚙式輸出諧波傳動(dòng)為研究對(duì)象，利用有限元分析和傅里葉函數(shù)擬合得到的負(fù)載變形函數(shù)對(duì)共軛齒廓進(jìn)行修正，這種方法為共軛齒廓求解過(guò)程中變形函數(shù)的選取提供了新的思路。利用有限元分析軟件ABAQUS以及Matlab曲線(xiàn)擬合工具箱求取柔輪空載變形函數(shù)，以此代替理論變形函數(shù)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)仿真，給出一種諧波齒輪傳動(dòng)共軛齒廓的求解方法，為諧波齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)提供了參考。

1　共軛齒廓的基本理論

以諧波齒輪傳動(dòng)用于減速作為討論基礎(chǔ)，即剛輪固定，波發(fā)生器輸入，柔輪輸出。原始曲線(xiàn)指的是位于受載平面內(nèi)柔輪的中線(xiàn)在波發(fā)生器作用下形成的彈性變形曲線(xiàn)［4］。圖1為求解共軛齒廓的幾何模型：與剛輪相固連的全局坐標(biāo)系CG（xG，yG）是固定坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)OG與諧波傳動(dòng)裝置的回轉(zhuǎn)中心重合，縱軸yG是剛輪齒槽的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)；局部坐標(biāo)系CR（xR，yR）與柔輪相固連，其坐標(biāo)原點(diǎn)OR是輪齒的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)與柔輪原始曲線(xiàn)SR的交點(diǎn)，縱軸yR是柔輪輪齒齒廓的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)；局部坐標(biāo)系C0（x0，y0）與波發(fā)生器相固連，其坐標(biāo)原點(diǎn)O0與全局坐標(biāo)系原點(diǎn)OG重合，縱軸y0與波發(fā)生器的長(zhǎng)軸重合。

圖1　求解共軛齒廓的幾何模型

按照包絡(luò)理論，得到與柔輪齒廓曲線(xiàn)相共軛的剛輪齒廓表達(dá)式［4］為：

式（1）中，ρ為柔輪原始曲線(xiàn)的極半徑；φ為剛輪固定時(shí)，相應(yīng)CR與CG兩坐標(biāo)系Y軸的夾角；φ為波發(fā)生器的轉(zhuǎn)角；γ為柔輪轉(zhuǎn)角；U/z1為廣義傳動(dòng)比，U為柔輪變形波數(shù)，z1為柔輪齒數(shù)；ω為徑向變形位移；υ為切向變形位移；μ為柔輪輪齒偏轉(zhuǎn)角。

由式（1）可知，若能已知徑向變形函數(shù)ω以及切向變形函數(shù)υ，便可代入共軛齒廓方程求解得到剛輪齒廓曲線(xiàn)。而對(duì)于式（1）的求解是關(guān)于隱函數(shù)偏導(dǎo)求解，推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，若能結(jié)合運(yùn)動(dòng)仿真，可使求解過(guò)程變得簡(jiǎn)便。

2　柔輪初變形的有限元分析

柔輪的初變形是指將波發(fā)生器裝入柔輪后，不加負(fù)載的條件下，由于凸輪的作用，柔輪不可避免發(fā)生的變形。以常用的環(huán)狀剛輪、杯形柔輪和橢圓凸輪波發(fā)生器構(gòu)成的雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng)為例，對(duì)共軛齒廓的求解方法作詳細(xì)闡述。柔輪基本齒廓曲線(xiàn)為公切線(xiàn)式雙圓弧齒輪基本齒廓，與ΓOCT15023-69標(biāo)準(zhǔn)［5］下的齒廓曲線(xiàn)一致，基本參數(shù)包括模數(shù)m=0.5mm，柔輪齒數(shù)Zr=200，剛輪齒數(shù)Zg=202，傳動(dòng)比i=100，柔輪徑向變形系數(shù)ω*=1，齒圈壁厚δ=0.9mm。

2.1有限元模型的建立

在Pro/E中建立柔輪和波發(fā)生器的幾何模型后，保存為x_t格式后導(dǎo)入Abaqus中。柔輪材料選用35CrMnSiA，對(duì)其進(jìn)行調(diào)制和表面氮化處理，彈性模量為209GPa，泊松比為0.295；波發(fā)生器材料為45，彈性模量為209GPa，泊松比為0.269?？紤]到較多的接觸區(qū)域，選取單元類(lèi)型為8節(jié)點(diǎn)線(xiàn)性減縮積分C3D8R，并采用沙漏控制。

對(duì)柔輪建模時(shí)，為保證有限元法的求解精度，考慮輪齒對(duì)變形的影響［6］，保留柔輪齒圈，并采用全模型代替對(duì)稱(chēng)模型。網(wǎng)格劃分前，需從杯頂開(kāi)始，用以軸線(xiàn)為法線(xiàn)的平面進(jìn)行分割，先將齒圈前沿分割出來(lái)，然后將齒圈分為三個(gè)部分，前沿倒角、中間齒圈、后沿倒角；再將筒體和杯底分割開(kāi)，通過(guò)掃掠分割將杯底倒角獨(dú)立出來(lái)。

對(duì)波發(fā)生器的裝配過(guò)程進(jìn)行分析時(shí)，由于沒(méi)有涉及波發(fā)生器的轉(zhuǎn)動(dòng)，可忽略橢圓凸輪和柔性軸承之間的滾動(dòng)摩擦以及柔性軸承滾珠分布的影響，將波發(fā)生器組件簡(jiǎn)化為一個(gè)剛性薄壁環(huán)，其外輪廓為以柔性軸承厚度等距包絡(luò)形成的曲線(xiàn)［7］。幾何建模時(shí)，將波發(fā)生器分為上下兩個(gè)半橢圓，上半部分下移距離ω，下半部分上移距離ω，其中，ω為最大徑向變形量。柔輪的有限元模型如圖2a所示，波發(fā)生器有限元模型如圖2b所示。

圖2　有限元分析模型

2.2定義約束條件

（1）分別指定波發(fā)生器上下兩個(gè)半橢圓各自的參考點(diǎn)，限制波發(fā)生器的所有自由度，將其約束為剛體，給定上半凸輪參考點(diǎn)向上的位移和下半凸輪參考點(diǎn)向下的位移，其值為ω，以模擬波發(fā)生器裝入柔輪的過(guò)程［8］；

（2）限制柔輪的軸向位移；

（3）將波發(fā)生器外表面和柔輪內(nèi)表面定義為接觸區(qū)域，在定義接觸對(duì)時(shí)，以波發(fā)生器外表面為目標(biāo)面，柔輪內(nèi)表面為接觸面。

2.3有限元結(jié)果分析

柔輪的徑向變形云圖如圖3所示，切向變形云圖如圖4所示。提取柔輪齒圈中截面中性層的徑向變形數(shù)值、切向變形數(shù)值，將其與理論變形函數(shù)進(jìn)行比較。其最大徑向變形值出現(xiàn)在波發(fā)生器長(zhǎng)軸方向，極值為0.553mm，大于理論值0.5mm；在波發(fā)生器短軸杯口處，徑向位移為負(fù)，最大值為-0.557mm，大于理論值-0.5mm。其最大切向變形值出現(xiàn)在與波發(fā)生器長(zhǎng)軸成正負(fù)45°方向杯口處，極值為0.293mm，大于理論值0.25 mm。

圖3　柔輪徑向變形云圖

圖4　柔輪切向變形云圖

進(jìn)一步分析可知，柔輪杯口由于變形而將波發(fā)生器包裹其中，解釋了諧波傳動(dòng)工作過(guò)程中柔性軸承外圈前沿出現(xiàn)磨損破壞的原因［9］。另一方面，由于實(shí)際工作過(guò)程中柔輪杯底的限制，其變形沿軸向并不均勻，使得柔輪母線(xiàn)發(fā)生傾斜，導(dǎo)致柔輪內(nèi)壁與波發(fā)生器外輪廓并未出現(xiàn)理論所假設(shè)的緊密貼合［8］。因此，有限元結(jié)果與理論變形并不一致，其更接近于柔輪的實(shí)際變形。

3　擬合變形函數(shù)

結(jié)合諧波齒輪傳動(dòng)的嚙合特征，以柔輪齒圈中截面中性層圓周方向上節(jié)點(diǎn)的徑向位移和切向位移作為擬合變形函數(shù)的數(shù)據(jù)源。由于徑向變形和切向變形是周期變化的，而且其函數(shù)是可積的，因此須用可積的周期函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行逼近擬合?；诖丝紤]，選取子項(xiàng)為正弦函數(shù)的多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)。

Matlab擬合工具箱cftool中提供9項(xiàng)正弦函數(shù)的線(xiàn)性組合，需對(duì)各種結(jié)果的擬合誤差進(jìn)行分析，進(jìn)而選擇最優(yōu)的擬合函數(shù)。擬合函數(shù)的優(yōu)劣評(píng)判因素有誤差平方和SSE、均方根誤差RMSE、調(diào)整自由度復(fù)相關(guān)系數(shù)Adjusted R-square以及復(fù)相關(guān)系數(shù)R-square。前兩個(gè)因素越接近0，后兩個(gè)因素越接近1，說(shuō)明離散數(shù)據(jù)和擬合函數(shù)的擬合度越高［3］。徑向變形函數(shù)和切向變形函數(shù)可用統(tǒng)一的表達(dá)式表示：

式（2）中，an、bn、cn為擬合函數(shù)的系數(shù)。

經(jīng)過(guò)對(duì)9種不同擬合方式的比較，得到徑向變形的最佳擬合結(jié)果如表1所示，最大擬合誤差為0.00107mm，是最大徑向變形量的1/517，對(duì)求解結(jié)果的影響可以忽略，擬合函數(shù)的選取是可靠的。擬合函數(shù)與理論徑向變形函數(shù)的比較及其誤差曲線(xiàn)如圖5所示，最大誤差為0.053mm。

表1　有限元徑向變形函數(shù)擬合結(jié)果

圖5　徑向變形擬合與誤差曲線(xiàn)

同理，切向變形的最佳擬合結(jié)果如表2所示，最大擬合誤差為0.00053mm，是最大切向變形量的1/553，可以忽略。擬合函數(shù)與理論切向變形函數(shù)的比較及其誤差曲線(xiàn)如圖6所示，最大誤差為0.043mm。

表2　有限元切向變形函數(shù)擬合結(jié)果

圖6　切向變形擬合與誤差曲線(xiàn)

由以上分析可知，擬合函數(shù)的方程形式較為簡(jiǎn)單，擬合誤差可以忽略不計(jì)，以此作為變形函數(shù)是可靠的。

4　運(yùn)動(dòng)軌跡的包絡(luò)

將得到的擬合函數(shù)表達(dá)式代入嚙合方程式（1），利用柔輪坐標(biāo)系到剛輪坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣，確定柔輪齒廓在剛輪坐標(biāo)系的映射，以柔輪單齒的一個(gè)完整嚙入嚙出過(guò)程為基礎(chǔ)，獲得柔輪輪齒相對(duì)剛輪輪齒的運(yùn)動(dòng)軌跡，再對(duì)這一系列的曲線(xiàn)族進(jìn)行數(shù)學(xué)包絡(luò)［10］。利用Matlab編程，可求得柔輪運(yùn)動(dòng)軌跡的包絡(luò)如圖7所示。

圖7　柔輪運(yùn)動(dòng)軌跡的包絡(luò)

運(yùn)用包絡(luò)法對(duì)共軛齒廓進(jìn)行求解時(shí)，往往出現(xiàn)包絡(luò)點(diǎn)超出工作范圍，這種數(shù)學(xué)形式的包絡(luò)齒廓工藝上無(wú)法實(shí)現(xiàn)。因此，求解剛輪齒廓時(shí)，需考慮剛輪的制造工藝和品質(zhì)要求。本例中，利用最小二乘法，選擇圓弧-直線(xiàn)-圓弧擬合剛輪齒廓曲線(xiàn)上的離散點(diǎn)。為了保證剛輪齒廓曲線(xiàn)的擬合精度，需比較剛輪齒廓點(diǎn)和擬合圓弧的偏差［4］，求得擬合齒形與理論齒形的最大誤差為0.00869μm，平均誤差為0.00576μm。參考小模數(shù)漸開(kāi)線(xiàn)圓柱齒輪齒形公差，最大誤差相當(dāng)于6級(jí)精度齒形公差的1/1381。因此，從工程意義上講，剛輪采用圓弧-直線(xiàn)-圓弧的齒廓是合理的。需要說(shuō)明的是，所求齒廓曲線(xiàn)僅是剛輪參與嚙合的工作段齒廓，求取全齒廓時(shí)還須考慮過(guò)渡圓角、柔輪齒頂與剛輪齒根應(yīng)留有頂隙等因素。

5　結(jié)論

（1）利用Abaqus求解柔輪的初變形，選取子項(xiàng)為正弦函數(shù)的多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，對(duì)柔輪齒圈中截面中性層的徑向變形位移和切向變形位移進(jìn)行擬合。由分析可知，擬合函數(shù)的擬合誤差可忽略不計(jì)，變形函數(shù)的選取是可靠的。

（2）用擬合函數(shù)替代理論變形函數(shù)，基于包絡(luò)理論，結(jié)合有限元法和運(yùn)動(dòng)仿真的數(shù)值解法，對(duì)于求解諧波齒輪傳動(dòng)共軛齒廓是可行的。

但是，所求共軛齒廓的嚙合性能和精度指標(biāo)還需通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證。

［1］陽(yáng)培，王長(zhǎng)路.諧波齒輪傳動(dòng)中柔輪初始變形力研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2006，28（8）：78-82.

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（編輯 趙蓉）

Study on Solving Method for Conjugate Profiles of Harmonic Gear Drive

WANG Min-jie，F(xiàn)AN Yuan-xun，ZU li
（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

Based on meshing principle of harmonic drive，a method of solving conjugate profiles is proposed.The initial deformation of flexspline could be figured out by Abaqus.Radial deformation and tangential deformation of the deformed points on neutral surface of middle section would be collected.Combined with curve fitting toolbox of Matlab and taking sum of sin functions as fitting function，deformation function of the flexspline were got.Substitute theoretical deformation function with it，and after completing the motion simulation of engaging-in and engaging-out for a single tooth，fit the envelope curve of the flexspline' s motion trail by least square method.The tooth profile of rigid spline would be worked out.The result shows that based on the envelope theory，combined with finite element method and motion simulation，conjugate profiles can be worked out and it can provide reference for design of harmonic gear drive.

finite element method；deformation function；motion simulation；envelope

TH132.43；TG506

A

1001-2265（2015）02-0013-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.02.004

2014-05-29

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51105206）；中央高校自主科研專(zhuān)項(xiàng)計(jì)劃項(xiàng)目（30920130121015）

王敏杰（1990—），男，江蘇淮安人，南京理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論，（E-mail）wangm jie2008@163.com。