采用有限差分求解高壓直流輸電線路空間離子流場(chǎng)的新方法

喬 驥 鄒 軍 袁建生 李本良

（1. 清華大學(xué)電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100084 2. 國網(wǎng)北京經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院 北京 102209）

1 引言

直流電暈產(chǎn)生的離子會(huì)在輸電線路空間形成離子流，該離子流在很大程度上影響輸電線路的標(biāo)稱電場(chǎng)。計(jì)算空間離子流場(chǎng)和合成電場(chǎng)是分析直流輸電線路電磁環(huán)境的基礎(chǔ)。國外很早就針對(duì)高壓直流輸電線路電磁環(huán)境進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究[1,2]，國內(nèi)也對(duì)特定線路進(jìn)行了電磁環(huán)境的測(cè)量[3,4]。

早在20世紀(jì)60、70年代，Sarma等人提出計(jì)算空間離子流場(chǎng)的一維模型，基于Deusth假設(shè)，認(rèn)為空間離子流場(chǎng)只影響標(biāo)稱電場(chǎng)的大小，不影響其方向，為工程設(shè)計(jì)提供了大量的理論依據(jù)[5,6]。另外，有部分學(xué)者將理論計(jì)算與大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)合，給出計(jì)算電暈損耗的半經(jīng)驗(yàn)公式[7]。到20世紀(jì)70年代末，由Janischewskyj等人提出有限元法計(jì)算空間離子流場(chǎng)[8]，之后又由更多學(xué)者進(jìn)行了改進(jìn)[9,10]。近些年國內(nèi)各研究所和高校也進(jìn)行了較為深入的研究[11-14]?？傮w來看，基于Deusth假設(shè)的研究引入了較多假設(shè)，計(jì)算精度較低，但計(jì)算速度相對(duì)較快；有限元等數(shù)值計(jì)算方法能夠考慮較多因素，提高了計(jì)算精度，但計(jì)算效率較低。

本文采用 Sarma等人提出的模型進(jìn)行仿真計(jì)算。該方法的基本思路是將求解離子流場(chǎng)的二維空間問題轉(zhuǎn)化為沿電力線求解的一維問題，建立電力線弧長坐標(biāo)系下的微分方程組及邊界條件。求解該微分方程組的方法目前有兩類。第一類是對(duì)微分方程組進(jìn)行積分，求解離子濃度和合成場(chǎng)強(qiáng)的解析表達(dá)式。該方法計(jì)算速度快，但只適用于單極性空間離子流的求解，對(duì)于雙極性空間離子流計(jì)算模型，無法得到解析解；第二類是通過優(yōu)化方法求解微分方程組，該方法能夠適用于單極性和雙極性空間離子流計(jì)算，但是計(jì)算不易收斂。綜合計(jì)算精度、計(jì)算效率及適用性的考慮，本文提出采用有限差分將微分方程組轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組進(jìn)行求解。

2 空間離子流場(chǎng)與合成電場(chǎng)的計(jì)算原理

2.1 空間離子流場(chǎng)計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

為便于說明，各符號(hào)含義如下：

E—— 空間合成電場(chǎng)強(qiáng)度（V/m）；

E′—— 空間標(biāo)稱電場(chǎng)強(qiáng)度（V/m）；

ξ—— 合成場(chǎng)強(qiáng)與標(biāo)稱場(chǎng)強(qiáng)幅值比；

Φ—— 合成電場(chǎng)電動(dòng)勢(shì)（V）；

φ—— 標(biāo)稱電場(chǎng)電動(dòng)勢(shì)（V）；

ρ—— 離子濃度（C/m3）；

ρ+,ρ-—— 正、負(fù)離子濃度（C/m3）；

J—— 離子流密度（A/m2）；

j+,j-—— 正、負(fù)離子流密度（A/m2）；

k—— 離子遷移率（m2/（V·s））；

k+,k-—— 正、負(fù)離子遷移率（m2/（V·s））；

ε0—— 真空介電常數(shù)（F/m）；

R—— 正、負(fù)離子復(fù)合速率系數(shù)（m3/s）；

U—— 導(dǎo)線運(yùn)行電壓（V）；

U0—— 導(dǎo)線起始電暈電壓（V）；

Ec—— 導(dǎo)線起始電暈場(chǎng)強(qiáng)（V/m）；

Ec+,Ec-—— 正、負(fù)導(dǎo)線起始電暈場(chǎng)強(qiáng)（V/m）。

進(jìn)行離子流場(chǎng)建模需要考慮以下幾個(gè)方面進(jìn)行數(shù)學(xué)描述：①泊松方程：電場(chǎng)由導(dǎo)線電荷及空間離子共同產(chǎn)生，用泊松方程描述空間合成場(chǎng)強(qiáng)；②電流密度方程：建立空間離子流密度與電荷濃度及合成場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系；③電流連續(xù)性方程：當(dāng)離子流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，空間電場(chǎng)認(rèn)為是恒定電場(chǎng)，電流滿足連續(xù)性條件；④正負(fù)離子復(fù)合方程：對(duì)于雙極性輸電線路離子流計(jì)算模型，正負(fù)離子會(huì)發(fā)生復(fù)合反應(yīng)，用復(fù)合方程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述。

基于上述方程，分別對(duì)單極性和雙極性輸電線路離子流場(chǎng)建立描述空間場(chǎng)量的方程組。

單極性空間離子流場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

雙極性空間離子流場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

2.2 一維離子流場(chǎng)計(jì)算簡(jiǎn)化模型

為對(duì)上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，需引入以下基本假設(shè)：①Deutsch假設(shè)：空間中的帶電離子只影響標(biāo)稱場(chǎng)強(qiáng)的幅值，不影響其方向；②Kaptzov假設(shè)：線路發(fā)生電暈后，線路表面的電場(chǎng)強(qiáng)度大小基本維持在起暈場(chǎng)強(qiáng)值不變；③離子運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)化：不考慮離子的擴(kuò)散作用；認(rèn)為離子遷移率為常數(shù)，采用離子遷移率的統(tǒng)計(jì)平均值；帶電離子沿著標(biāo)稱電場(chǎng)的電力線運(yùn)動(dòng)，不發(fā)生偏移；不考慮風(fēng)及空間懸浮顆粒對(duì)于離子運(yùn)動(dòng)的影響；④電離區(qū)簡(jiǎn)化：相對(duì)于線路空間的漂移區(qū)，電離區(qū)厚度可以忽略不計(jì)，認(rèn)為電離區(qū)的邊界與導(dǎo)線表面重合。

2.2.1單極性空間離子流場(chǎng)一維模型

以正極性輸電線路空間離子流計(jì)算模型為例，如圖1所示。

圖1 單極性空間離子流計(jì)算模型示意圖Fig.1 Calculation model of ion current in unipolar region

對(duì)于一條從正極性導(dǎo)線表面出發(fā)，終止于大地的電力線，以導(dǎo)線表面的電力線出發(fā)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿電力線建立弧長坐標(biāo)系，則電力線上的比例系數(shù)ξ、空間離子濃度ρ、合成電場(chǎng)電動(dòng)勢(shì)Φ以及合成電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E都可表示為弧長S的函數(shù)ξ(S)、ρ(S)、Φ(S)、E(S)。另外，在該電力線上，標(biāo)稱電場(chǎng)的電動(dòng)勢(shì)φ與弧長S具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此比例系數(shù)ξ、空間離子濃度ρ、合成電場(chǎng)電動(dòng)勢(shì)Φ以及合成電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E也可表示為標(biāo)稱電場(chǎng)電動(dòng)勢(shì)的函數(shù)ξ(φ)、ρ(φ)、Φ(φ)、E(φ)。

建立沿電力線求解單極性離子流微分方程組

該計(jì)算模型的邊界條件為

式（11）的含義為在大地或無限遠(yuǎn)處，標(biāo)稱電場(chǎng)和合成電場(chǎng)的電動(dòng)勢(shì)始終為零。式（12）的含義為在導(dǎo)體表面標(biāo)稱電場(chǎng)和合成電場(chǎng)電動(dòng)勢(shì)為線路的運(yùn)行電壓U。式（13）的含義為當(dāng)導(dǎo)體表面發(fā)生電暈時(shí)，根據(jù)Kaptzov假設(shè)，導(dǎo)體表面的合成電場(chǎng)強(qiáng)度始終保持在起暈場(chǎng)強(qiáng)不變，此時(shí)的合成場(chǎng)強(qiáng)可由Peek公式直接給出。

2.2.2雙極性空間離子流場(chǎng)一維模型

在分析雙極輸電線路的空間離子流場(chǎng)時(shí)，可將空間區(qū)域劃分為兩部分：?jiǎn)螛O性離子漂移區(qū)和雙極性離子漂移區(qū)，如圖2所示。

圖2 雙極性空間離子流計(jì)算模型示意圖Fig.2 Calculation model of ion current in bipolar region

在單極性離子漂移區(qū)內(nèi)，由于假設(shè)帶電粒子始終沿電力線軌跡移動(dòng)，因此從導(dǎo)線到大地或?qū)Ь€到無限遠(yuǎn)處的電力線上只存在單極性離子，仍可按單極性空間離子流計(jì)算模型進(jìn)行分析；從正極性導(dǎo)線到負(fù)極性導(dǎo)線的電力線需要考慮雙極性空間離子流場(chǎng)計(jì)算模型。建立沿電力線求解雙極性空間離子流的微分方程組。

該計(jì)算模型的邊界條件為

式（15）、式（16）的含義為在正、負(fù)極性導(dǎo)線表面，標(biāo)稱電場(chǎng)和合成電場(chǎng)的電動(dòng)勢(shì)為運(yùn)行電壓U+/-。式（17）、式（18）的含義為當(dāng)導(dǎo)體表面發(fā)生電暈時(shí)，根據(jù)Kaptzov假設(shè)，導(dǎo)體表面的合成電場(chǎng)強(qiáng)度始終保持在起暈場(chǎng)強(qiáng)不變，此時(shí)的合成場(chǎng)強(qiáng)可由Peek公式直接給出。

3 有限差分求解空間離子流微分方程組

3.1 采用有限差分轉(zhuǎn)化微分方程組的基本原理

在上述單極性和雙極性空間離子流一維計(jì)算模型中，對(duì)于某一電力線，邊界條件分別位于電力線的兩端，因此構(gòu)成了典型的兩點(diǎn)邊值問題。本文采用有限差分將原微分方程組轉(zhuǎn)化為非線性代數(shù)方程組進(jìn)行計(jì)算。以單極性空間離子流計(jì)算為例，其原理如圖3所示。

對(duì)于從導(dǎo)線表面出發(fā)終止于大地的電力線，取其上的N個(gè)離散點(diǎn)。第一個(gè)點(diǎn)位于導(dǎo)線表面，第N個(gè)點(diǎn)位于大地，每個(gè)點(diǎn)的未知量設(shè)為ξn、ρn、Φn(n=1,2,3,…,N)。用離散點(diǎn)的有限差商近似代替微分，以前向差分公式為例，最終將原微分方程組轉(zhuǎn)化為

圖3 有限差分轉(zhuǎn)換離子流微分方程組原理圖Fig.3 Finite difference method to discrete the differential equations

由邊界條件得

N個(gè)離散點(diǎn)共有3N個(gè)未知數(shù)，式（19）、式（20）共建立了 3N個(gè)方程，且該方程組直接滿足了邊界條件。對(duì)于雙極性空間離子流計(jì)算的微分方程組，也可采用類似的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，不再贅述。

3.2 歸一化差分方程

觀察各未知量的數(shù)量級(jí)，對(duì)于實(shí)際工程的直流輸電線路，Φ的數(shù)量級(jí)最大可達(dá)105V，ξ的數(shù)量級(jí)在100左右，ρ的數(shù)量級(jí)在10-9～10-7C/m3之間，數(shù)量級(jí)上相差非常大。如果采用最小二乘法原則求解該非線性代數(shù)方程，很可能會(huì)由于未知量數(shù)量級(jí)相差太多而使迭代過程無法收斂，無法找到最優(yōu)解。本文采用的方法為將變量先進(jìn)行歸一化處理，使得求解的變量盡量保持在同一數(shù)量級(jí)，從而增加求解的準(zhǔn)確度。

3.3 選取差分方程初值

計(jì)算非線性代數(shù)方程組時(shí)，需要給出待求解變量的初始迭代值。初值的選取極大影響迭代過程的收斂速度以及計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度。本文采用的初值給定方法如下：

（1）對(duì)于變量Φn(n=1,2,3,…,N)，初值選取相應(yīng)離散點(diǎn)的標(biāo)稱電場(chǎng)電動(dòng)勢(shì)φn(n=1,2,3,…,N)。

（2）對(duì)于變量ξn(n=1,2,3,…,N)，由于其值一般在1附近，所以選取初值為1。

（3）對(duì)于變量ρn(n=1,2,3,…,N)，在單極性空間離子流計(jì)算模型中，以ρm作為初值能夠較好保證初值數(shù)量級(jí)在真值附近，ρm的計(jì)算公式由下式給出

對(duì)于雙極性離子流計(jì)算模型，由于還沒有相應(yīng)的估算方法，而且其大小隨線路幾何參數(shù)和運(yùn)行電壓的變化而差別很大，因此先以離子濃度一般的數(shù)量級(jí)10-8C/m3作為初值，計(jì)算得到一組解，再利用該解估算相應(yīng)數(shù)量級(jí)作為第二次計(jì)算的迭代初值，這樣即可得到較為準(zhǔn)確的解。

3.4 差分方法的取點(diǎn)方式及其收斂性

離散點(diǎn)的選取個(gè)數(shù)會(huì)直接影響方程的個(gè)數(shù)，而方程個(gè)數(shù)又影響求解的準(zhǔn)確度及求解速度。假設(shè)已繪制的輸電線路空間中某根電力線由N′個(gè)離散的繪制點(diǎn)擬合而成，即在該電力線的弧長坐標(biāo)系上已有N′個(gè)離散點(diǎn)，在選取有限差分離散點(diǎn)時(shí)，可直接利用這些點(diǎn)求取。本文的取點(diǎn)原則為：

（1）導(dǎo)線附近電場(chǎng)強(qiáng)度變化速度較快，為了較準(zhǔn)確描述導(dǎo)體表面附近的信息，需要選取較多的離散點(diǎn)。對(duì)于單極性離子流計(jì)算模型，先選取N′個(gè)離散點(diǎn)中離導(dǎo)線表面最近的N1=10個(gè)點(diǎn)；對(duì)于雙極性離子流計(jì)算模型，分別選取電力線上離正、負(fù)極性導(dǎo)線表面最近的N1=10個(gè)點(diǎn)，共 2N1=20個(gè)點(diǎn)。

（2）剩余的N′-N1個(gè)離散點(diǎn)中，根據(jù)相鄰離散點(diǎn)標(biāo)稱電動(dòng)勢(shì)差相等原則選取N2個(gè)點(diǎn)，該N2個(gè)點(diǎn)的弧長坐標(biāo)、標(biāo)稱電場(chǎng)強(qiáng)度以及標(biāo)稱電場(chǎng)電動(dòng)勢(shì)根據(jù)N′-N1個(gè)離散點(diǎn)的數(shù)據(jù)，采用插值方式進(jìn)行計(jì)算。

圖 4為葛-上線單回雙極四分裂輸電線路地面離子流的計(jì)算結(jié)果。其中N2分別取 10、20、30、40?？梢钥闯觯S著離散點(diǎn)數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果逐漸收斂。當(dāng)N2增大到20后，隨著離散點(diǎn)數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果的變化已經(jīng)不明顯。因此，可以認(rèn)為N2=20時(shí)，計(jì)算結(jié)果已經(jīng)較為準(zhǔn)確。線路參數(shù)：導(dǎo)線高度H=12.5m，極間距離D=14m，導(dǎo)線半徑r=1.185cm，分裂間距s=0.45m，運(yùn)行電壓U=±500kV。

圖4N2不同時(shí)地面離子流計(jì)算比較Fig.4 Comparison of ion current density on the ground level with differentN2

表1為單極性離子流模型中N2取不同值時(shí)計(jì)算單根電力線離子流的平均時(shí)間。綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間，最終N2的取值為20。

表1N2取不同值時(shí)計(jì)算單根電力線離子流的時(shí)間Tab.1 Computing time of space charge density on one flux line with differentN2

（3）由于按照等電動(dòng)勢(shì)差的原則選取N2個(gè)點(diǎn)，這會(huì)導(dǎo)致在電場(chǎng)強(qiáng)度幅值較小的位置選取的離散點(diǎn)之間的弧長距離過大，影響計(jì)算精度。因此需在弧長間距過大的兩離散點(diǎn)之間插入新的離散點(diǎn)。

3.5 有限差分計(jì)算方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證有限差分計(jì)算方法的正確性，與文獻(xiàn)[6,12]比較單極性和雙極性空間離子流計(jì)算結(jié)果。文獻(xiàn)[12]采用積分解析法進(jìn)行葛-上線地面離子流以及合成場(chǎng)強(qiáng)的求解，計(jì)算結(jié)果比較如圖5a、5b。文獻(xiàn)[6]給出了雙極性輸電線路，兩極之間的一根電力線的雙極性離子濃度計(jì)算結(jié)果，比較結(jié)果如圖6線路參數(shù)為：極間距離D=10.36m，導(dǎo)線半徑r=1.02cm，運(yùn)行電壓U=±350kV。

圖5 單極模型有限差分法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果比較Fig.5 Comparison between the results of proposed method and previous ones in unipolar region

圖6 雙極模型有限差分法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果比較Fig.6 Comparison between the results of proposed method and previous ones in bipolar region

表2為不同方法計(jì)算單回輸電線路全空間離子流場(chǎng)的用時(shí)?？梢钥闯觯瑢?duì)于單極性和雙極性空間離子流模型的計(jì)算，本文方法的用時(shí)分別是優(yōu)化方法的4.25%和2.6%，該方法大幅提高了計(jì)算速度。

表2 不同方法求解離子流場(chǎng)用時(shí)比較Tab.2 Computing time using different methods

4 雙回直流輸電線路離子流計(jì)算舉例

采用本文方法計(jì)算雙回水平排布和縱向排布直流輸電線路地面離子流場(chǎng)及合成電場(chǎng)。線路排布如圖7、8所示，計(jì)算結(jié)果如圖9、10所示。

圖7 雙回水平排布直流輸電線路排布結(jié)構(gòu)Fig.7 Geometric configuration of a double-circuit DC transmission line

圖8 雙回縱向排布直流輸電線路排布結(jié)構(gòu)Fig.8 Geometric configuration of a double-circuit DC transmission line

圖9 雙回直流輸電線路地面離子流Fig.9 Ion current density on the ground level of the double-circuit DC transmission line

圖10 雙回直流輸電線路地面合成場(chǎng)強(qiáng)Fig.10 Total electric field on the ground level of the double-circuit DC transmission line

另外，本文計(jì)算了雙回輸電線路空間離子流場(chǎng)分布。結(jié)果顯示水平排布方式空間離子濃度最大值約為2.5×10-6C/m3，縱向排布方式空間離子濃度最大值約為4×10-7C/m3，水平排布的整個(gè)空間離子濃度比縱向排布高一數(shù)量級(jí)。與水平排布方式相比，縱向排布對(duì)于限制地面最大合成場(chǎng)強(qiáng)并沒有優(yōu)勢(shì)，但其可以有效降低線路外側(cè)的合成場(chǎng)強(qiáng)大小，節(jié)約線路占地面積。從限制地面離子流和合成場(chǎng)強(qiáng)的角度考慮，雙回直流輸電線路應(yīng)采用縱向排布方式。

5 結(jié)論

本文提出采用有限差分方法計(jì)算直流輸電線路空間離子流場(chǎng)及合成電場(chǎng)，該方法直接滿足邊界條件，降低了方程求解難度，有效提高了計(jì)算速度，并且能夠適用于任意回?cái)?shù)的單、雙極直流輸電線路空間離子流場(chǎng)的求解。對(duì)于差分方程的建立與求解，本文針對(duì)方程的歸一化方法、初值選取以及取點(diǎn)方式給出了一定的參考原則。基于本文方法，計(jì)算了雙回直流輸電線路的地面離子流場(chǎng)與合成電場(chǎng)。結(jié)果顯示雙回直流輸電線路應(yīng)采用縱向排布方式。

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