基于MATLAB優(yōu)化工具箱算法的深溝球軸承的優(yōu)化設計

廖東升 卓明勝 何偉光 藺維君

(珠海格力電器股份有限公司 廣東珠海 519070)

MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，和Mathematical、Maple并稱為三大數(shù)學軟件。它在數(shù)學類科技應用軟件中，在科學計算方面首屈一指。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域[1]。在空調(diào)領域，深溝球軸承主要用在商用空調(diào)的風機和電機中。目前，軸承的失效在商用空調(diào)的故障率方面占據(jù)了很大的比重，軸承的磨損和發(fā)熱是軸承失效的重要原因。因此，我們尋求一種方法來優(yōu)化軸承的結構，降低軸承失效率，提高商用空調(diào)的質量和使用壽命。

1 MATLAB優(yōu)化工具箱描述[2]

MATLAB優(yōu)化工具箱可以求解線性、非線性最小化、最大和最小化、二次規(guī)劃、半無限問題、線性、非線必方程（組）以及線性和非線性最小二乘問題。另外，MATLAB優(yōu)化工具箱還提供線性和非線性最小化、方程求解、曲線擬合以及二次規(guī)劃問題的求解方法。

1.1 線性規(guī)劃

線性規(guī)劃標準形式為：

其中：f—目標函數(shù)；A—不等式約束函數(shù)的系數(shù)矩陣；b—不等式約束函數(shù)的常數(shù)向量；Aeq—等式約束函數(shù)的系數(shù)矩陣；beq—等式約束函數(shù)的常數(shù)向量；lb—設計變量下限；ub—設計變量上界。

MATLAB 優(yōu)化工具箱中,求解線性規(guī)劃的linprog 函數(shù)標準形式為：

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

其中,x—最優(yōu)解；fval—最優(yōu)函數(shù)值；options—設置優(yōu)化選項參數(shù)。

1.2 非線性規(guī)劃

非線性規(guī)劃問題包括無約束多元函數(shù)極小值和有約束函數(shù)極小值問題。

1.2.1 無約束多元函數(shù)極小值

無約束多元函數(shù)極小值標準形式為：

求解無約束多元函數(shù)極小值的fminsearch函數(shù)標準形式為：

[x ,fval]=fminsearch (fun, x0, options, P1,P2,……)

其中,P1,P2—函數(shù)fun的附加參數(shù)。

1.2.2 有約束多元函數(shù)極小值

有約束多元函數(shù)極小值標準形式為：

其中，C(x)—等式約束函數(shù)的返回向量；Ceq(x)—不等式約束函數(shù)的返回向量。

求解有約束多元函數(shù)極小值的fmincon函數(shù)標準形式為：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,……)

其中，nonlcon—非線性約束函數(shù)的調(diào)用函數(shù)。

2 深溝球軸承的優(yōu)化設計[3]

深溝球軸承是最具代表性的滾動軸承，用途廣泛。適用于高轉速甚至極高轉速的運行，而且非常耐用，無需經(jīng)常維護。該類軸承摩擦系數(shù)小、極限轉速高、結構簡單、制造成本低，易達到較高制造精度。尺寸范圍與形式變化多樣，應用在精密儀表、低噪音電機、汽車、摩托車及一般機械等行業(yè)，是機械工業(yè)中使用最為廣泛的一類軸承。在電器行業(yè)領域，深溝球軸承也可以用在商用空調(diào)風機、電機等部件中。

2.1 優(yōu)化設計變量和目標函數(shù)

深溝球軸承的摩擦力矩是其磨損和發(fā)熱量的體現(xiàn)，把摩擦力矩作為目標函數(shù)，影響這個目標函數(shù)值的主要因素有滾珠直徑、滾珠所在圓的直徑，滾珠數(shù)量以及滾道位置角等幾個參數(shù)，把這些參數(shù)作為設計變量，尋找摩擦力矩最小時的設計變量的最優(yōu)解。

表1 優(yōu)化結果對比

2.1.1 設計變量

其中：d—滾珠直徑；D—滾珠所在圓的直徑；Z—滾珠數(shù)量；α—滾道位置角。

2.1.2 目標函數(shù)

目標函數(shù)是設計問題尋優(yōu)的準則和基礎。本文以摩擦力矩最小為目標函數(shù)，則有：

式中，M—摩擦力矩；Fa—軸承的軸向載荷；Fr—軸承的徑向載荷。于是，目標函數(shù)為：

2.2 約束條件的建立

（1）滾珠的接觸強度條件：

式中，HB為布氏硬度，于是，約束函數(shù)為：

（2）設計結構尺寸條件：

約束函數(shù)為：

3 優(yōu)化實例和結果分析[4]

已知，軸承軸向載荷Fa=1000N,軸承徑向載荷Fr=2500N。應用MATLAB優(yōu)化工具箱函數(shù)fmincon來求解最優(yōu)解。

3.1 編寫MATLAB優(yōu)化設計程序

3.1.1 主程序

x0=[13 220 40 43]；%設計變量的初使值；

lb=[6 40 5 30]；%設計變量的下限值；

ub=[14.5 250 200 60]；%設計變量的上限值；

[x,fval]=fmincon(@xiul8_4,x0 ,[],[],[],[],lb,ub,@fcon). %求解程序

3.1.2 目標函數(shù)子程序

function f=xiul8_4(x)

f=0.04*((1.5*1000+1.5*2500*tan(pi/180*x(4)))/x(3)/sin(pi/180*x(4)))*x(1)/x(2);

3.2 優(yōu)化結果

x(1)= 12.9697；%滾珠直徑%

x(2)= 250.0000；%滾珠所在圓的直徑%

x(3)= 45.8762；%滾珠數(shù)量%

x(4)= 35.3921；%滾道位置角%

f= 0.3252；%摩擦力矩%

3.3 優(yōu)化結果分析

由表1可以看出，優(yōu)化結果是令人滿意的，與優(yōu)化前相比，滾珠所在圓直徑增大了12%，滾珠數(shù)量增加了6個，滾道位置角減小了17.7%,摩擦力矩減小了25%。通過優(yōu)化，使摩擦力矩明顯減小，有效地降低了軸承磨損和發(fā)熱量，從而說明MATLAB對深溝球軸承進行優(yōu)化是可行的。

4 結語

MATLAB軟件具有優(yōu)越的計算功能和優(yōu)化功能，應用MATLAB的優(yōu)化工具箱功能解決生產(chǎn)實際中的單目標多約束非線性規(guī)劃或者多目標多約束非線性規(guī)劃問題，可以大幅度提高設計和計算的速度和效率，是解決和處理設計問題的有效工具。將這種方法應用于商用空調(diào)中，可以有效延長軸承的壽命，減小空調(diào)的損壞機率，減少售后維修率，對于空調(diào)品質的改善可以起到重要的作用。

[1] 周靈.詳解MATLAB工程科學計算與典型應用[M].電子工業(yè)出版社,2010:298-304.

[2] 蘇金明，阮沈勇，王永利.MATLAB工程數(shù)學[M].電子工業(yè)出版社,2005:245-253.

[3] 田璐，孫華，戴躍洪，馬宇庭.基于遺傳算法的深溝球軸承優(yōu)化設計研究[J].設計與研究,2010,10(37):12-14.

[4] 朱愛華，朱成九，張衛(wèi)華.滾動軸承摩擦力矩的計算分析[J].軸承,2008,7:1-3.