隨機(jī)利率和分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下的冪期權(quán)定價(jià)

鄧小華，馮世強(qiáng)

(1．四川廣播電視大學(xué)，四川 成都 610073 ;2．西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009)

1 引 言

隨著數(shù)理金融的蓬勃發(fā)展，期權(quán)定價(jià)問(wèn)題逐漸成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)．已經(jīng)從經(jīng)典的B-S 模型，發(fā)展到歐式期權(quán)、亞式期權(quán)、實(shí)物期權(quán)的研究．一方面，偏差因素的隨機(jī)性越來(lái)越高，無(wú)限地貼近交易市場(chǎng)的實(shí)際情形，如標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格、預(yù)期收益率、波動(dòng)率和利率從常數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間t 的隨機(jī)函數(shù)．另一方面，誕生了越來(lái)越多的新型期權(quán)．冪期權(quán)就是其中一種典型的新型期權(quán)．冪期權(quán)根據(jù)到期日的執(zhí)行條件不同分為兩類，每一類都有看漲和看跌兩種情形．它與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的主要區(qū)別在于:持有人在期權(quán)到期日不僅可以得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的價(jià)值損益，還能將這個(gè)價(jià)值損益提高到它的n 次冪． 如:在到期日，看漲冪期權(quán)的價(jià)值為-K(其中，K 是執(zhí)行價(jià)格，ST是到期日標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，n∈N*)．由此，兩類冪期權(quán)在到期日的價(jià)格可以表示為如下形式［1］:

1)第一類冪期權(quán):

2)第二類冪期權(quán):

冪期權(quán)的研究受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的廣泛關(guān)注．Blenman，Clark［2］考慮了B1ack-schok 模型下冪式交換期權(quán)的價(jià)值;趙?。?］提出用測(cè)度變換方法解決隨機(jī)冪式期權(quán)的定價(jià)模型;蘇小囡等［4］假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過(guò)程，市場(chǎng)利率滿足Vasicek 模型，當(dāng)隨機(jī)利率與資產(chǎn)價(jià)格相關(guān)時(shí)，通過(guò)測(cè)度變換的方法，選取不同的概率測(cè)度，給出冪式期權(quán)的價(jià)格公式并得到幾種特殊情況時(shí)的結(jié)論;李超［5］假定股票價(jià)格服從分?jǐn)?shù)O-U過(guò)程，利率服從分?jǐn)?shù)Vasicek 利率模型，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)公式及隨機(jī)分析理論等，給出兩類歐式冪型看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式;筆者［6］也曾在隨機(jī)利率環(huán)境下，研究了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)O-U 過(guò)程的冪期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，得到相應(yīng)的定價(jià)公式．上述模型中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格大都基于Brown 運(yùn)動(dòng)．但在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，突發(fā)事件是不可避免的，如:自然災(zāi)害，政府政策變化等．它們會(huì)對(duì)金融市場(chǎng)產(chǎn)生巨大影響，導(dǎo)致股價(jià)、匯率等出現(xiàn)大幅度的跳躍．Merton 于1976年首次引入跳-擴(kuò)散模型［7］，在幾何Brown 運(yùn)動(dòng)上加入刻畫市場(chǎng)突發(fā)事件引起標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的復(fù)合Poisson 過(guò)程．實(shí)證研究表明，跳-擴(kuò)散模型更切合實(shí)際．同時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率服從一種“尖峰厚尾”的分布，存在長(zhǎng)期相關(guān)的分形特征．

本文假設(shè)期望收益率和波動(dòng)率均為關(guān)于時(shí)間t 的非隨機(jī)函數(shù)，在擴(kuò)展的Vasicek 利率模型和分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下，導(dǎo)出了兩類冪期權(quán)的看漲(看跌)定價(jià)公式．

2 模型介紹

2．1 分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)下的積分定義

分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)具有長(zhǎng)期依耐性、自相似性等特征，是一個(gè)連續(xù)的Gauss 過(guò)程{BH(t)，t∈R}，BH(0)=0，E(BH(t))=0，CH(t，s)=(|t|2H+ |s|2H- |t-s|2H)/2 ．其中，0 ＜H ＜1，H 稱為Hurst 指數(shù)．當(dāng)H =0．5 時(shí)，BH(t)即為幾何Brown 運(yùn)動(dòng)B(t);當(dāng)H≠0．5，{BH(t)，t∈R}既不是馬氏過(guò)程，也不是半鞅，因此不能用通常的隨機(jī)積分理論來(lái)分析．文獻(xiàn)［8］用Wick 積和分?jǐn)?shù)噪聲理論定義了H ＞0．5 時(shí)的一種隨機(jī)積分:

其中，◇為Wick 積．

2．2 Vasicek 利率模型

在分?jǐn)?shù)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q 下，假設(shè)利率r(t)滿足如下的隨機(jī)微分方程:

其中:a(t)描述利率的長(zhǎng)期水平，b(t)是調(diào)整短期和長(zhǎng)期關(guān)系的均值回復(fù)率;BQ(t)為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度Q 下的幾何Brown 運(yùn)動(dòng)，記其與分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)的相關(guān)系數(shù)為ρ，σr(t)是波動(dòng)率．這就是擴(kuò)展的Vasicek 模型［6］．

2．3 分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型

若把跳-擴(kuò)散模型中的幾何Brown 運(yùn)動(dòng)B(t)擴(kuò)展為分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)BH(t)，就得到分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型．即標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程{S(t):t≥0}滿足隨機(jī)微分方程:

其中，{BH(T)，0≤t≤T}為概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)，r(t)是t 時(shí)刻的短期利率，它等于期望收益率，σ(t)是t 時(shí)刻的波動(dòng)率;Qt為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間段［0，t］內(nèi)發(fā)生隨機(jī)跳躍的次數(shù)，它是服從參數(shù)為λ 的Poisson 過(guò)程，J(t)表示跳躍的相對(duì)高度，θ=E［J(t)］且ln(1 +J(t))～N(ln(1 +θ)-δ2/2，δ2)，

由式(2)兩邊同除以S(t)，有

由分?jǐn)?shù)Brown 運(yùn)動(dòng)下的積分定義(1)，得到(詳見文獻(xiàn)［8］):

2．4 引理［6］:

3 期權(quán)定價(jià)公式及其證明

3．1 第一類冪期權(quán)的定價(jià)

定理1:假設(shè)利率滿足擴(kuò)展的Vasicek 模型(2)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型(3)，且在［0，t］內(nèi)發(fā)生n 次跳躍，若執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，則第一類看漲冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的價(jià)格為:

N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率．

證明:根據(jù)無(wú)套利定價(jià)理論，第一類看漲冪期權(quán)在時(shí)刻t 的價(jià)格

記EQ［·］為分?jǐn)?shù)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q 下的擬條件數(shù)學(xué)期望算子，，則有

式(7)中第一項(xiàng)的計(jì)算:由式(4)和引理，有

同理，可以計(jì)算式(7)中的第二項(xiàng)，如下:

將以上兩式的結(jié)果帶入式(7)，從而得到式(6)的結(jié)果．證明完成．

由看漲-看跌平價(jià)關(guān)系，很容易得到第一類看跌冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的定價(jià)公式．

定理2:假設(shè)利率滿足擴(kuò)展的Vasicek 模型(2)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型(3)，且在［0，t］內(nèi)發(fā)生n 次跳躍，若執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，則第一類看跌冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的價(jià)格為:

其中:N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率，

注:1)當(dāng)J(t)=0，H=0．5 時(shí)，定理1 和定理2 就是隨機(jī)利率下第一類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式．2)當(dāng)σr(t)=0，H=0．5 時(shí)，定理1 和定理2 就是跳擴(kuò)散模型下第一類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式．3)當(dāng)J(t)=0 時(shí)，定理1 和定理2 的定價(jià)公式與文獻(xiàn)［5］中隨機(jī)利率和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下冪期權(quán)的定價(jià)公式對(duì)應(yīng)等價(jià)．

3．2 第二類冪期權(quán)的定價(jià)

定理3:假設(shè)利率滿足擴(kuò)展的Vasicek 模型(2)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型(3)，且在［0，t］內(nèi)發(fā)生n 次跳躍，若執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，則第二類看漲冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的價(jià)格為:

證明:根據(jù)無(wú)套利定價(jià)理論，有

由引理，將式(4)代入，得到

將式(13)和式(14)代入式(12)，得到定理3 的結(jié)論．證明完成．

由看漲-看跌平價(jià)關(guān)系，很容易得到第二類看跌冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的定價(jià)公式．

定理4:假設(shè)利率滿足擴(kuò)展的Vasicek 模型(2)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型(3)，且在［0，t］內(nèi)發(fā)生n 次跳躍，若執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T，則第二類看跌冪期權(quán)在到期前任意時(shí)刻t 的價(jià)格為:

注:1)當(dāng)J(t)=0，H=0．5 時(shí)，定理3 和定理4 就是隨機(jī)利率下第二類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式．2)當(dāng)σr(t)=0，H=0．5 時(shí)，定理3 和定理4 就是跳擴(kuò)散模型下第二類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式．3)當(dāng)J(t)=0 時(shí)，定理3 和定理4 的定價(jià)公式與文獻(xiàn)［5］中隨機(jī)利率和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下冪期權(quán)的定價(jià)公式是對(duì)應(yīng)等價(jià)的．

4 結(jié) 論

本文考慮利率的隨機(jī)性和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的跳躍性，在隨機(jī)利率和分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下研究了兩類冪期權(quán)的無(wú)套利定價(jià)．運(yùn)用無(wú)套利定價(jià)原理和隨機(jī)微分理論，導(dǎo)出并證明了兩類看漲(跌)冪期權(quán)的定價(jià)公式，使文獻(xiàn)［5］的結(jié)果得到了相應(yīng)的擴(kuò)展．

［1］ 趙佃立．分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式冪期權(quán)的定價(jià)［J］．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2007，24(1):22 -26．

［2］ BLENMAN L P，CLARK S P． Power exchange options［J］．Finance Research Letters，2005 (2):97 -106．

［3］ 趙 巍，何建敏．基于測(cè)度變換方法的隨機(jī)型創(chuàng)新冪式期權(quán)定價(jià)［J］．中國(guó)管理科學(xué)，2009 ，17 (2):21 - 23．

［4］ 蘇小囡，王文勝．冪式期權(quán)在跳擴(kuò)散模型下的定價(jià)［J］．華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，5(3):12 -20．

［5］ 李 超．分?jǐn)?shù)維Vasicek 模型下歐式冪型期權(quán)的定價(jià)公式［J］．中國(guó)科技信息，2014，2:167 -170．

［6］ 鄧小華，何傳江，方 知．隨機(jī)利率下服從分?jǐn)?shù)O-U 過(guò)程的冪期權(quán)定價(jià)［J］．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2009，26(1):64 -71．

［7］ MERTON R C． Option pricing when underlying stock return are discontinuous［J］．Journal of Economics，1976(3):125 -144．

［8］ HU Y，ФKSENDAL B． Fractional white noise calculus and applications to finance［J］． Infinite Dimensional Analysis，Quantum Probability and Related Topics，2003，6:1 -32．