李魁 徐鑒

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

壓電諧振驅(qū)動(dòng)三足機(jī)器人的平面運(yùn)動(dòng)*

李魁 徐鑒?

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了一類(lèi)利用壓電陶瓷片作動(dòng)，由三條曲梁足支撐的振動(dòng)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人.建立了在一條足共振驅(qū)動(dòng)下機(jī)器人水平運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，數(shù)值計(jì)算解釋了摩擦作用下的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，尋找到異性摩擦對(duì)運(yùn)動(dòng)方向、速度的影響和壓電激勵(lì)頻率與運(yùn)動(dòng)速度間的關(guān)系.通過(guò)建立圓弧曲梁控制方程求解圓弧型足面內(nèi)振動(dòng)的固有頻率及振型，設(shè)計(jì)了三組不同頻率的圓弧曲梁足參數(shù)，實(shí)驗(yàn)制作了機(jī)器人模型，利用壓電控制三足間振動(dòng)的共振切換，實(shí)現(xiàn)了預(yù)想的三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)以達(dá)到平面運(yùn)動(dòng)的效果，實(shí)驗(yàn)測(cè)量了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)速度與理論計(jì)算吻合得較好.

機(jī)器人，壓電，曲梁共振，摩擦，平面運(yùn)動(dòng)

引言

微型機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)形式和平面運(yùn)動(dòng)的控制正成為近些年的研究熱點(diǎn).Driesen［1］對(duì)已實(shí)現(xiàn)的微型運(yùn)動(dòng)機(jī)器人做了詳細(xì)的分類(lèi)，從結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)形式的角度可分為：輪式機(jī)器人、軀干行走機(jī)器人、尺蠖機(jī)器人、滑移式機(jī)器人、慣性沖擊式機(jī)器人等.從驅(qū)動(dòng)形式的能量轉(zhuǎn)化出發(fā)可分為：機(jī)械能-機(jī)械能的轉(zhuǎn)化，作動(dòng)器常選用馬達(dá)部件；電能磁場(chǎng)能-機(jī)械能的轉(zhuǎn)化，多采用智能材料如電磁材料、壓電材料等.但傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)機(jī)器人中的電機(jī)、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)等原件使得機(jī)器人結(jié)構(gòu)形式十分復(fù)雜，微型化后組裝十分困難且成本較高，近年來(lái)振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的提出實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可封裝一體化的優(yōu)點(diǎn).Chernous’ko［2］和方虹斌［3］提出了內(nèi)部質(zhì)量塊兩相、三相控制的振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)并對(duì)運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行了優(yōu)化.占雄［4］利用內(nèi)部質(zhì)量塊的二維三相控制實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的平面運(yùn)動(dòng).Lobontiu［5］從結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)便、節(jié)省能量的角度提出了彈性振動(dòng)移動(dòng)系統(tǒng)的理念，利用彈性體的振動(dòng)變形與外界環(huán)境作用實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，Minch-Robot原型［6］體現(xiàn)了這種想法，它利用矩形壓電雙晶片帶動(dòng)兩條非對(duì)稱(chēng)足振動(dòng)，控制壓電作動(dòng)頻率在兩足的共振范圍內(nèi)相互切換實(shí)現(xiàn)了向左和向右偏移的運(yùn)動(dòng).Becker利用圓形壓電片作動(dòng)制作了可在陸地和水面運(yùn)動(dòng)的兩棲機(jī)器人［7-8］，通過(guò)改變驅(qū)動(dòng)頻率實(shí)現(xiàn)平面運(yùn)動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)方向較為任意，無(wú)法控制定向運(yùn)動(dòng).Pan［9］使用兩片壓電雙晶梁作動(dòng)，調(diào)節(jié)壓電電壓相位可控制機(jī)器人的直線運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)向.李偉達(dá)［10］設(shè)計(jì)了一種基于跳變電壓下粘滑運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧電壓激勵(lì)下碰撞運(yùn)動(dòng)的復(fù)合驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，利用碰撞模型解釋了驅(qū)動(dòng)原理，實(shí)現(xiàn)了高運(yùn)動(dòng)分辨力和較快的運(yùn)動(dòng)速度，但只能實(shí)現(xiàn)直線運(yùn)動(dòng).然而，大量此類(lèi)彈性振動(dòng)驅(qū)動(dòng)的研究在作動(dòng)方式的嘗試、從概念的角度利用共振制作機(jī)器人原型的階段，建立移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型解釋共振運(yùn)動(dòng)機(jī)理和定量分析的研究還相對(duì)較少.

本文根據(jù)［5］中彈性變形振動(dòng)驅(qū)動(dòng)的思路，通過(guò)壓電材料對(duì)彈性體作動(dòng)，利用共振對(duì)振動(dòng)變形的放大作用，提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的壓電作動(dòng)諧振式運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，考慮了機(jī)器人足端在壓電板的激振作用下與地面的摩擦作用，數(shù)值計(jì)算分析了異性摩擦對(duì)運(yùn)動(dòng)方向和速度的影響，并建立曲梁控制方程計(jì)算圓弧型足的固有頻率，根據(jù)所設(shè)計(jì)的三組足參數(shù)研制了三足機(jī)器人，通過(guò)調(diào)節(jié)壓電作動(dòng)頻率實(shí)現(xiàn)了三個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的切換.

1 機(jī)器人實(shí)物原型

本文提出的三足諧振式振動(dòng)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人原型如圖1所示，該機(jī)器人由兩部分結(jié)構(gòu)構(gòu)成：結(jié)構(gòu)一為粘結(jié)有圓形壓電作動(dòng)片的圓形鋁板組成的機(jī)器人身體；結(jié)構(gòu)二為特定曲率圓弧形金屬絲制作的機(jī)器人足，足一端與身體固支另一端與地面接觸.其中，身體的作用是在壓電片作動(dòng)下產(chǎn)生變形，在邊界與足固支處將振動(dòng)傳遞到機(jī)器人的足上，機(jī)器人足在振動(dòng)變形過(guò)程中與地面接觸，系統(tǒng)整體在地面摩擦作用下實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng).

圖1 三足機(jī)器人原型Fig.1 Prototype of three-legged robot

2 圓弧足機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程

本文中機(jī)器人的身體結(jié)構(gòu)如圖1所示，中間為圓形鋁板，上下兩層粘貼有壓電陶瓷片，極化方向?yàn)樯舷聝蓚?cè)法線方向，采用串聯(lián)式接法，上下兩層壓電片的變形相反，即上層伸長(zhǎng)下層縮短，身體圓形鋁板產(chǎn)生彎曲變形，在圓板邊界足端固支處對(duì)機(jī)器人足作用交變轉(zhuǎn)角激勵(lì)，設(shè)為φ（t）＝εφcosΩt，其中εφ為微轉(zhuǎn)角幅值，Ω為壓電驅(qū)動(dòng)頻率.

圖2 機(jī)器人簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig.2 Simplified mechanical model of the robot

如圖2，考慮機(jī)器人三足不同幾何尺寸使得固有頻率不同，足為圓弧曲梁，足端垂直地面放置，圓板半徑r.壓電作動(dòng)頻率在其中一條足的共振頻率附近時(shí)，由于壓電體在較高激勵(lì)頻率下變形一般在微米量級(jí)，根據(jù)共振理論的分析可知，該條足的振動(dòng)幅值亦十分微小但會(huì)明顯高于另兩條支撐足，此時(shí)機(jī)器人在該條足的驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng).模型中考慮該足微幅振動(dòng)慣性力FI，則地面在三足處的支持力Ni以及摩擦力fi（i＝1，2，3）也會(huì)不同，如圖2所示.利用機(jī)器人整體的力系平衡條件可得：

式中，F(xiàn)Ix和FIy為慣性力分量，MI為慣性力對(duì)O點(diǎn)取矩.

碰撞會(huì)產(chǎn)生非常復(fù)雜的非線性行為［11］，在頻率為kHz量級(jí)的壓電激振下圓板變形很小，且由梁變形理論可知曲梁環(huán)向相對(duì)徑向位移可以忽略，可以認(rèn)為足端始終沒(méi)有離開(kāi)地面，因此僅考慮圓弧足與地面間的滑移，忽略與地面間的碰撞，機(jī)器人不存在跳躍現(xiàn)象，近似認(rèn)為¨y＝0恒成立，代入（1）后兩式解得：

方程組（1）第一式中x（t）即為機(jī)器人的水平位移，可以看出該動(dòng)力系統(tǒng)是在圓弧足振動(dòng)慣性力水平分量和摩擦力的作用下實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，因此我們需要對(duì)圓弧足建模，進(jìn)而求解足的振動(dòng)與機(jī)器人水平運(yùn)動(dòng)的耦合方程組，得到所關(guān)注的機(jī)器人位移x（t）.

根據(jù)圓板變形對(duì)圓弧足的轉(zhuǎn)角激振作用，將圓弧足簡(jiǎn)化為一端固支一端自由的細(xì)長(zhǎng)懸臂曲梁，坐標(biāo)系建立如圖3（a）所示，利用Newton方法可得曲梁微元體平衡方程：

將ε0與χ代入上式積分可得：

圖3 曲梁Fig.3 Curved beam

邊界條件為：

（6）式中第二項(xiàng)由曲梁曲率引起，若曲率半徑R趨于無(wú)窮大，則該項(xiàng)趨于零，方程退化為直梁振動(dòng)方程，也從方程退化的角度驗(yàn)證了我們曲梁建模的正確性.

故主振型W（θ）的通解表達(dá)式可以寫(xiě)作：

將（10）式代入邊界條件（7）令其系數(shù)行列式為零，即可解得懸臂曲梁各階固有頻率ωi及振型解析表達(dá)式Wi（θ）.

現(xiàn)考慮圓弧足在固支端轉(zhuǎn)角激勵(lì)以及自由端地面摩擦力作用下的受迫振動(dòng).由幾何關(guān)系易知，固支端轉(zhuǎn)角引起的曲梁徑向位移wg＝Rsinθφ（t），引入變換w*＝w-wg代入（7）式，并在曲梁自由端引入摩擦力f1，可得（為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便仍用w代替w*）：

聯(lián)立（1）第一式以及（12）式，組成以機(jī)器人水平位移x（t）和圓弧曲梁足一階模態(tài)坐標(biāo)q1（t）為待求函數(shù)的耦合方程組，可得：

其中，F(xiàn)Ix，F(xiàn)Iy，MI的具體表達(dá)式可寫(xiě)作（14）：

在本文中考慮的摩擦形式為庫(kù)倫摩擦，f1，f2，f3的表達(dá)式如下式所示：

式中，sgn為分別關(guān)于驅(qū)動(dòng)足足端振動(dòng)速度、機(jī)器人水平運(yùn)動(dòng)速度的符號(hào)函數(shù).

將（2）、（14）、（15）式代入系統(tǒng)耦合方程組（13），引入曲梁一階阻尼比ξ1，利用狀態(tài)變量變換，化簡(jiǎn)得方程組（16）：

式中，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J均為積分常數(shù).由于庫(kù)倫摩擦中符號(hào)函數(shù)存在階躍性，狀態(tài)方程組（16）的解析解無(wú)法得出，下一小節(jié)中將利用四階龍格-庫(kù)塔法數(shù)值求解得到機(jī)器人位移.

3 數(shù)值求解及運(yùn)動(dòng)機(jī)理

根據(jù)上文所述的機(jī)器人身體圓板彎曲變形對(duì)圓弧足的轉(zhuǎn)角激勵(lì)為φ（t）＝εφcosΩt，但轉(zhuǎn)角幅值無(wú)法根據(jù)測(cè)量給出，本小節(jié)首先利用有限元分析軟件ANSYS（Mechanical APDL 14.5）仿真計(jì)算近似確定圓弧足固支端轉(zhuǎn)角量級(jí).

本文中選用的壓電材料為PZT-5，其壓電體介電常數(shù)矩陣、壓電體勁度系數(shù)矩陣以及壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣參照IEEE標(biāo)定標(biāo)準(zhǔn)（z方向極化）.壓電體選用SOLID5單元建模，壓電片上下兩層銀電極通過(guò)上下兩層位置的單元節(jié)點(diǎn)耦合電壓實(shí)現(xiàn)等電位，圓形鋁板選用SOLID45單元建模，根據(jù)實(shí)際測(cè)量，壓電薄片半徑20mm，厚度0.42mm，圓形鋁板半徑30mm，厚度2mm，網(wǎng)格劃分如圖4（a）.正弦壓電驅(qū)動(dòng)頻率為1100Hz，電壓幅值為120V.

圖4 機(jī)器人圓板壓電作用下變形仿真計(jì)算Fig.4 Deformation simulation of robot body excited by piezoelectric actuator

根據(jù)ANSYS瞬態(tài)分析仿真計(jì)算結(jié)果可知，由于機(jī)器人身體幾何外形軸對(duì)稱(chēng)，壓電體施加的等效荷載也是軸對(duì)稱(chēng)的，因此身體在壓電體作動(dòng)下變形等高線圖呈軸對(duì)稱(chēng)分布，如圖4（b），圓板邊緣處一周位移相等、轉(zhuǎn)角相等.取邊界處任意一節(jié)點(diǎn)位移時(shí)程如圖4（c）所示，位移幅值為1.1×10-6m，即在壓電高頻激勵(lì)下板的振動(dòng)位移為微米量級(jí).邊緣處轉(zhuǎn)角如圖4（d），轉(zhuǎn)角幅值也十分微小，弧度制為1.7×10-4，即10-2角度量級(jí).因此，根據(jù)仿真計(jì)算結(jié)果可知，在數(shù)值求解圓弧曲梁振動(dòng)與機(jī)器人位移耦合方程組（16）時(shí)曲梁固支端轉(zhuǎn)角激勵(lì)幅值取為10-4量級(jí)是較為合適的.計(jì)算參數(shù)選取如表1所示，該組圓弧曲梁足設(shè)計(jì)參數(shù)下，利用上一小節(jié)中推導(dǎo)的圓弧曲梁固有頻率計(jì)算得到一階固有頻率為1107 Hz.

表1 數(shù)值計(jì)算參數(shù)Table 1 Parameters of numerical Simulation

首先考慮系統(tǒng)在壓電作動(dòng)下庫(kù)倫摩擦對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，激勵(lì)頻率在曲梁一階共振點(diǎn)附近，為1100Hz.圖5（a）的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，在地面絕對(duì)光滑無(wú)摩擦情況下，系統(tǒng)水平方向不受外力，機(jī)器人在足振動(dòng)慣性力作用下，在原點(diǎn)附近往復(fù)振動(dòng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)定向運(yùn)動(dòng).在異性庫(kù)倫摩擦作用下，雙向摩擦因數(shù)的相對(duì)大小決定了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方向，系統(tǒng)朝庫(kù)倫摩擦因數(shù)小的方向?qū)崿F(xiàn)定向運(yùn)動(dòng)，如圖5（b）所示.圖5（c）計(jì)算了多組不同異性摩擦下機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)位移，結(jié)果表明在異性摩擦的定向驅(qū)動(dòng)下，兩個(gè)方向的摩擦系數(shù)差異越大，即摩擦的非對(duì)稱(chēng)越明顯，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度也就越快.

圖5 庫(kù)倫摩擦作用下運(yùn)動(dòng)情況Fig.5 Effects of Coulomb friction respect on robot locomotion

為了進(jìn)一步研究曲梁振動(dòng)頻率對(duì)運(yùn)動(dòng)速度影響，在共振頻率點(diǎn)附近選擇不同的激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)作動(dòng)，以最大速度歸一化后的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度如圖6所示.計(jì)算結(jié)果說(shuō)明不論異性庫(kù)倫摩擦形式如何，壓電激振頻率總是越靠近圓弧足共振頻率，機(jī)器人移動(dòng)得越快，即機(jī)器人速度在足共振頻率點(diǎn)附近達(dá)到最大值.根據(jù)圖5（c）中的局部放大圖可知，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)可分解為振動(dòng)位移和移動(dòng)位移，直觀地理解，圓弧曲梁足在共振點(diǎn)附近受迫振動(dòng)時(shí)，由于共振對(duì)振動(dòng)的放大作用，足與地面在一個(gè)周期內(nèi)受到地面的摩擦的作用越大，由摩擦產(chǎn)生的移動(dòng)位移越大，N個(gè)周期累積后使得機(jī)器人移動(dòng)得越快.計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了我們利用彈性足共振驅(qū)動(dòng)，在節(jié)省能量的同時(shí)達(dá)到較快運(yùn)動(dòng)速度的設(shè)想.利用共振點(diǎn)激勵(lì)下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度會(huì)明顯高于非共振點(diǎn)這一結(jié)論，在諧振機(jī)器人的實(shí)驗(yàn)研制中我們?cè)O(shè)計(jì)了三組不同參數(shù)達(dá)到不同共振頻率的曲梁足，利用每一根足的共振驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)切換的效果，從而實(shí)現(xiàn)平面運(yùn)動(dòng).

圖6 不同激勵(lì)頻率下的速度Fig.6 Velocity-frequency curves

4 三足機(jī)器人實(shí)驗(yàn)研究

為了通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上文中所闡述的利用機(jī)器人足諧振驅(qū)動(dòng)下的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)在三條足間共振切換使得機(jī)器人朝三條足各自的方向運(yùn)動(dòng)的設(shè)想，我們研制了如圖1中所示的三足諧振驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，身體直徑3cm，總質(zhì)量為6.5g，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)表面材質(zhì)為玻璃.根據(jù)第二小節(jié)建立的曲梁振動(dòng)方程的求解，設(shè)計(jì)機(jī)器人原型的三組足特征參數(shù)如表2所示，這三條足的一階固有頻率分別在1100Hz、2500Hz、4000Hz附近.機(jī)器人實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示，利用信號(hào)發(fā)生器（型號(hào)為：RIGOL-DG1022）生成正弦信號(hào)，將此信號(hào)輸入壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源（型號(hào)為：HPV-3C0150A0300D）模擬輸入端，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)電源對(duì)信號(hào)進(jìn)行15倍放大后對(duì)機(jī)器人身體上的壓電作動(dòng)片施加正弦電壓信號(hào).

表2 機(jī)器人足參數(shù)Table 2 Leg parameters of robot prototype

圖7 三足機(jī)器人實(shí)驗(yàn)：（a）實(shí)驗(yàn)裝置圖，（b）機(jī)器人足編號(hào)Fig.7 Three-legged robot experiment：（a）Experimental set-up，（b）Serial number of robot legs

當(dāng)壓電片驅(qū)動(dòng)電源信號(hào)頻率為1100Hz時(shí)，可知由于激勵(lì)頻率在1號(hào)足一階固有頻率附近，因此1號(hào)足的振動(dòng)幅值會(huì)明顯高于另兩條足，表現(xiàn)為L(zhǎng)eg1振動(dòng)驅(qū)動(dòng)，從攝像機(jī)拍攝機(jī)器人運(yùn)動(dòng)視頻中截取不同時(shí)刻的位移如圖8（a）所示.實(shí)驗(yàn)中利用測(cè)力計(jì)測(cè)得沿三條足各自前后方向的摩擦系數(shù)近似值分別為：Leg1前后兩方向μ+＝0.3335，μ-＝0.3876；Leg2前后兩方向μ+＝0.3612，μ-＝0.3494；Leg3前后兩方向μ+＝0.3412，μ-＝0.3653.按照上一小節(jié)數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明機(jī)器人會(huì)朝著摩擦因數(shù)小的方向前進(jìn)，即沿著Leg1正方向前進(jìn).同理，另外兩條足振動(dòng)驅(qū)動(dòng)下應(yīng)沿著Leg2負(fù)方向前進(jìn)和Leg3正方向前進(jìn).實(shí)驗(yàn)拍攝記錄如圖8（a）、（b）、（c）所示，運(yùn)動(dòng)方向與我們的理論分析一致，從而驗(yàn)證了模型及數(shù)值計(jì)算的正確性.

圖8 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向切換Fig.8 Direction shift

實(shí)驗(yàn)中由于機(jī)器人足端異性摩擦難以定量實(shí)現(xiàn)，我們利用斜面等效異性摩擦的方法來(lái)驗(yàn)證異性摩擦對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的影響.在水平表面Leg1前后方向異性摩擦為μ+＝0.3335，μ-＝0.3876，將機(jī)器人分別放置在角度為2.81°、4.16°、5.56°的斜面上，由于沿斜面方向重力分量的作用，使得異性摩擦得以等效實(shí)現(xiàn)，分別為（a）μ+＝0.3825，μ-＝0.3386；（b）μ+＝0.4061，μ-＝0.3150；（c）μ+＝0.4303，μ-＝0.2908.施加正弦壓電電壓頻率為1100Hz，電壓峰峰值幅值為225V，此時(shí)激發(fā)Leg1的共振，利用Polytec（型號(hào)為：PSV-400）激光測(cè)振儀測(cè)量機(jī)器人在斜面上運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)速度和位移.圖9為上述等效異性摩擦作用下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)位移實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值計(jì)算的對(duì)比圖，在異性摩擦的作用下理論預(yù)測(cè)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性一致，且運(yùn)動(dòng)速度定量上也相對(duì)吻合.實(shí)驗(yàn)表明異性摩擦的確可以控制機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方向，使得機(jī)器人朝著摩擦較小的方向前進(jìn)，而前后方向摩擦異性差異越大運(yùn)動(dòng)速度也就越快.

圖9 異性摩擦對(duì)運(yùn)動(dòng)方向和速度的影響實(shí)驗(yàn)理論對(duì)比Fig.9 Experimental and numerical resultsof the effect of anisotropic friction

圖10 三足振動(dòng)驅(qū)動(dòng)時(shí)頻率與運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系Fig 10 Frequency-velocity relationships of leg vibration-driven robot

正弦壓電頻率在Leg1共振頻率附近間隔取值，保持驅(qū)動(dòng)電壓幅值恒定為112.5V，激光測(cè)量機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)速度與數(shù)值計(jì)算對(duì)比如圖10（a）所示，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)在激勵(lì)頻率越靠近機(jī)器人足的共振頻率運(yùn)動(dòng)速度越快，且在共振點(diǎn)附近達(dá)到速度最大值，實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度與驅(qū)動(dòng)頻率關(guān)系與理論計(jì)算定性吻合.由于實(shí)驗(yàn)中拉力計(jì)測(cè)量滑動(dòng)摩擦系數(shù)與實(shí)際存在一定誤差，在數(shù)值計(jì)算中對(duì)異性摩擦測(cè)量值作微調(diào)得到得的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值定量上也吻合得較好，驗(yàn)證了上一小節(jié)的理論分析，說(shuō)明了模型的正確性.在另外兩組實(shí)驗(yàn)中，Leg2和Leg3共振驅(qū)動(dòng)下也得到了相同的結(jié)論，如圖10（b）和10（c）所示.

5 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種結(jié)構(gòu)十分簡(jiǎn)單的微小型機(jī)器人，實(shí)驗(yàn)研制了機(jī)器人原型樣機(jī)，從理論和數(shù)值兩個(gè)方面分析了其運(yùn)動(dòng)機(jī)理，通過(guò)數(shù)值計(jì)算、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得到了以下結(jié)論：

（1）建立機(jī)器人考慮足彈性振動(dòng)、系統(tǒng)摩擦力作用下的力學(xué)模型，數(shù)值計(jì)算結(jié)果說(shuō)明圓弧足振動(dòng)慣性力引起振動(dòng)位移，而驅(qū)動(dòng)機(jī)器人前進(jìn)的是摩擦力的作用.異性庫(kù)倫摩擦可實(shí)現(xiàn)定向運(yùn)動(dòng)，且異性摩擦差異越大運(yùn)動(dòng)速度越快.

（2）機(jī)器人身體激發(fā)圓弧足共振時(shí)，系統(tǒng)水平方向運(yùn)動(dòng)速度明顯高于其他頻率.推導(dǎo)得出了曲梁面內(nèi)振動(dòng)的頻率計(jì)算公式及模態(tài)函數(shù)，設(shè)計(jì)了三組不同頻率的足參數(shù)，利用三條足間共振切換達(dá)到三足分別驅(qū)動(dòng)的效果，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng).

（3）實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值計(jì)算吻合較好，驗(yàn)證了異性摩擦對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度的影響，以及在機(jī)器人足共振點(diǎn)附近激振可實(shí)現(xiàn)最大運(yùn)動(dòng)速度的結(jié)論.

1 Driesen W.Concept，modeling and experimental characterization of the modulated friction inertial drive（MFID）locomotion principle-application to mobile microrobots［PhD Thesis］.Lausanne：Swiss federal Institute of Technology in Lausanne，2008

2 Chernous′ko F L.Analysis and optimization of the motion of a body controlled by means of a movable internal mass.Journal of Applied Mathematics and Mechanics，2006，70（6）：819～842

3 FangH B，Xu J.Dynamic analysis and optimization of athree-phase control mode of a mobile system with an internal mass.Journal of Vibration and Control，2011，17（1）：11～17

4 Zhan X，Xu J.Locomotion analysis of a vibration-driven system with three acceleration-controlled internal masses.Advances in Mechanical Engineering，2015，doi：10.1177/1687814015573766

5 Lobontiu N O，Gordon M K，F(xiàn)isher G，et al.Design and analysis of elastodynamic locomotion for robotic insects.In：Sulzmann A，Nelson B J eds.Microrobotics and Micromanipulation，Proceedings SPIE 3519，Boston，1998：118～127

6 Zimmermann K，Behn C，Zeidis I.Mechanics of terrestrial locomotion：with a focus on non-pedal motion systems.Heidelberg，Springer-Verlag，2009：269～273

7 Becker F，Minchenya V，Zimmermann K，et al.Single piezo actuator driven micro robot for 2-dimensional locomotion.In：Ananthasuresh G K，Corves B，Petuya V eds.MicromechanicsandMicroactuators，Proceedingsof MAMM 2010，Aachen，2010.Netherlands：Springer，2012：1～10

8 Becker F，Zimmermann K，Volkova T，et al.An amphibious vibration-driven microrobot with a piezoelectric actuator.Regular and Chaotic Dynamics，2013，18（1-2）：63～74

9 Pan C H，Tzou S S，Shiu R Y.A novel wireless and mobile piezoelectric micro robot.In：Mechatronics and Automation（ICMA），Proceedings of the IEEE International Conference on Mechatronics and Automation，Xi＇an，2010：1158～1163

10 孫立寧，李偉達(dá)，蔣振宇，等.一種單構(gòu)件雙運(yùn)動(dòng)機(jī)理微小型機(jī)器人移動(dòng)機(jī)構(gòu).機(jī)器人，2010（1）：41～47（Sun L N，Li W D，Jiang ZH Y，et al.A single component locomotion mechanism with dual driving principles for micro and miniature robot.Robot，2010（1）：41～47（in Chinese））

11 邊菁，徐鑒.懸臂梁限位器非線性動(dòng)力學(xué)效應(yīng)實(shí)驗(yàn)分析.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2015，13（2）：144～153（Bian J，Xu J.The experimental analysis of the nonlinear dynamics in a cantilever system with the stopper.Journal of Dynamics and Control，2015（2）：144～153（in Chinese））

Received 4 June 2015，revised 15 June 2015.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11272236）

?Corresponding author E-mail：xujian@#edu.cn

LOCOMOTION OF THREE-LEGGED VIBRATION-DRIVEN ROBOT USING PIEZOELECTRIC ACTUATOR*

Li Kui Xu Jian?
（The School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China）

A three-legged resonant vibration driven robot using piezoelectric actuator is presented in this paper.The dynamical equations of the horizontal locomotion is established as one of the three legs vibrating in resonant condition.Numerical results illustrates the motion mechanism and the effect of anisotropic friction on direction and velocity of the robot.The approximate relationship between the frequency of piezoelectric actuator and the velocity of locomotion is obtained.The governing equation of in-plane vibration for a curved beam is developed to calculate the natural frequencies and the corresponding mode shapes.Based on this equation，three sets of geometrical parameters for the curved legs are devised.It is found that their frequencies are respectively different.The robot prototype is also created according to these parameters.The planar locomotion is accomplished through robot testing by switching the frequencies of alternating voltage applied on piezoelectric actuator to the shift resonant among the legs.Experimental results reasonably match with the numerical simulation.

robot，piezoelectric actuator，curved beam resonant，friction，planar locomotion

10.6052/1672-6553-2015-064

2015-06-04收到第1稿，2015-06-15收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272236）

?通訊作者E-mail：xujian@#edu.cn