非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究*

□ 劉 莉

(大同煤炭職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 大同 037003)

當(dāng)前，隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)駛向深水區(qū)，知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代已經(jīng)完全到來(lái)。我國(guó)的高等教育經(jīng)過(guò)多年來(lái)的發(fā)展，也已經(jīng)由以往的精英式教育轉(zhuǎn)化為普及率更高的大眾化教育。與以往相比，學(xué)生的綜合素質(zhì)與創(chuàng)新能力受到了前所未有的重視。《高等數(shù)學(xué)》是大部分專(zhuān)業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課程，也是后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的重要知識(shí)儲(chǔ)備與方法儲(chǔ)備，在高校的課程體系中有著舉足輕重的地位。一名合格的高校學(xué)生只有具備了扎實(shí)的高等數(shù)學(xué)功底，才能實(shí)現(xiàn)在自己專(zhuān)業(yè)方向的可持續(xù)發(fā)展。然而由于種種原因，當(dāng)前高等數(shù)學(xué)在概念教學(xué)中存在許多亟待解決的問(wèn)題，本文在此背景下進(jìn)行研究，闡述非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方法和策略。

一、高等數(shù)學(xué)課程的概念教學(xué)

“概念”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中是十分重要的，被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)之花”。概念的理解對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握具有舉足輕重的意義，而學(xué)生創(chuàng)新能力和解決問(wèn)題能力的來(lái)源也是高等數(shù)學(xué)的“概念”。概念教學(xué)的重大意義體現(xiàn)在以下一些方面。首先，概念教學(xué)的質(zhì)量是學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生只有在教師的引導(dǎo)下透徹地理解了概念并對(duì)其靈活運(yùn)用，才能夠?qū)W為高數(shù)知識(shí)的掌握做好鋪墊。非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的高等數(shù)學(xué)課程，其目的是使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)的基本思想和基本概念能夠熟知和運(yùn)用，為分析和解決問(wèn)題打下基礎(chǔ)。其次，高等數(shù)學(xué)的概念教學(xué)可以使學(xué)生養(yǎng)成正確的思維方式。對(duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，高等數(shù)學(xué)課程的重要任務(wù)之一便是使其掌握數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的理性思想，這種思路可以用于在其專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域進(jìn)行具體問(wèn)題的分析和解決。而高等數(shù)學(xué)課程的“概念”則可視為是數(shù)學(xué)思想的凝聚。舉例來(lái)講，高數(shù)課程中的“導(dǎo)數(shù)”可以精確地抽象和模擬客觀世界的各類(lèi)變化率，這種“以不變代變”的思路是人類(lèi)思維方式的結(jié)晶。此外，高等數(shù)學(xué)的概念教學(xué)過(guò)程也是學(xué)生增強(qiáng)自身創(chuàng)新能力的過(guò)程。在當(dāng)今時(shí)代，創(chuàng)新是一個(gè)國(guó)家立足于世界的根本，而高等數(shù)學(xué)課程的“概念”教學(xué)有助于學(xué)生對(duì)不同元素間的聯(lián)系進(jìn)行分析和建模，十分有助于培養(yǎng)其創(chuàng)造性思維。

二、當(dāng)前高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的不足

由于目前不少高校依舊沿襲了傳統(tǒng)的教學(xué)理念和模式，因此無(wú)法激發(fā)學(xué)生的積極性和求知欲，在教師“一言堂”式的授課模式中，學(xué)生難以主動(dòng)地探究知識(shí)，所以教學(xué)效果不佳。主要的不足之處可以總結(jié)為:首先，重視概念的實(shí)質(zhì)，忽略了概念的來(lái)歷及應(yīng)用。教師在授課中往往較為重視“概念”在數(shù)學(xué)意義上的形式，對(duì)于概念的來(lái)歷、概念的證明過(guò)程以及概念在解決具體問(wèn)題中的作用則一筆帶過(guò)甚至不曾提及。依舊以導(dǎo)數(shù)教學(xué)為例，如果教師僅僅在概念本身的范疇內(nèi)講解導(dǎo)數(shù)，則學(xué)生難以理解其實(shí)質(zhì)，也無(wú)法透徹地從“變化率”的角度去理解導(dǎo)數(shù)，更加不明白導(dǎo)數(shù)究竟能夠用在哪些問(wèn)題的解決中，影響了創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。其次是過(guò)于重視抽象層面的講解，忽略了直觀的理解。高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，具有很?qiáng)的理性和邏輯性。然而非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生往往對(duì)教師過(guò)于抽象的講解模式感到乏味，這就限制了其數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。教師在講解概念的過(guò)程中，如果缺乏必要的實(shí)例，使學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)和日常生活的千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，學(xué)生是難以接受和理解的。第三是過(guò)于關(guān)注代數(shù)計(jì)算過(guò)程，忽略了圖象及數(shù)值計(jì)算的過(guò)程。高等數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)概念的呈現(xiàn)模式包括圖形模式、文字模式、數(shù)值模式以及代數(shù)模式。而在我國(guó)不少高校的數(shù)學(xué)課程中，太過(guò)關(guān)注概念函數(shù)的解析式，教師通常在課堂上對(duì)概念的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行大量的現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算，卻不注重概念的圖形和數(shù)值模式的呈現(xiàn)。第四是關(guān)注知識(shí)的傳授卻忽略了思維方法的引導(dǎo)。在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，“方法”與“知識(shí)”是同等重要的。如果學(xué)生聽(tīng)完一節(jié)課之后僅僅知道了一些數(shù)學(xué)結(jié)果，卻沒(méi)有對(duì)獲取結(jié)果的方法和過(guò)程有所了解，則難以體會(huì)到數(shù)學(xué)之美，也無(wú)法培養(yǎng)自己的探究能力。

三、非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)概念教學(xué)策略

(一)協(xié)助和引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念體系

非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的高等數(shù)學(xué)，目的是使學(xué)生形成數(shù)學(xué)的認(rèn)知，并培養(yǎng)自身的思維能力。只有構(gòu)建了高數(shù)課程的概念體系，才能夠系統(tǒng)性地掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)課程以微分學(xué)知識(shí)和積分學(xué)知識(shí)為主體，并以極限知識(shí)為基礎(chǔ)。首先應(yīng)使學(xué)生理解極限思想是高等數(shù)學(xué)的根基。在此基礎(chǔ)上，還應(yīng)使學(xué)生理解高等數(shù)學(xué)課程的最基本研究對(duì)象:函數(shù)。通過(guò)必要的實(shí)例，使學(xué)生理解增量是微積分的靈魂。學(xué)生只有了解了增量間的關(guān)系，才能明白微積分的意義，從而在認(rèn)知中建構(gòu)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)框架。在此基礎(chǔ)上學(xué)生才能夠?qū)Υ苏n程產(chǎn)生探究的欲望，并理解概念間的聯(lián)系。

(二)將符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言融合起來(lái)

對(duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的高等數(shù)學(xué)課程，教師在教學(xué)中應(yīng)合理的運(yùn)用多種表述語(yǔ)言，最主要的語(yǔ)言不但包括文字語(yǔ)言，也包括符號(hào)語(yǔ)言，二者相輔相成。文字語(yǔ)言的優(yōu)點(diǎn)是十分便于學(xué)習(xí)者的理解，但其不足之處在于描述的過(guò)程較為繁瑣。與之相對(duì)比，符號(hào)語(yǔ)言具有極高的概括性及抽象性，但是理解起來(lái)有難度。教師在教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生掌握并習(xí)慣運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言，從而在認(rèn)知的層面上構(gòu)建基于符號(hào)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)。此處依舊以導(dǎo)數(shù)為例，導(dǎo)數(shù)的表達(dá)方式有兩種，一是“y’”;二是“dx/dy”。后者的優(yōu)越之處在于，能夠體現(xiàn)出導(dǎo)數(shù)具有“分?jǐn)?shù)”的屬性，學(xué)生理解了這個(gè)屬性，對(duì)于學(xué)習(xí)后續(xù)的復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t十分有利。教師只有重視不同表述方式的優(yōu)缺點(diǎn)并對(duì)其自由運(yùn)用，才能夠更有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。

(三)以直觀的方式進(jìn)行合情推理

合情推理的優(yōu)勢(shì)在于，十分有利于激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)新力。合情推理可以通過(guò)類(lèi)比進(jìn)行，也可以通過(guò)不完全歸納來(lái)實(shí)現(xiàn)。合情推理與論證推理相比，其推理的步驟并非完全按照標(biāo)準(zhǔn)的邏輯，也并非全部基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)思路。大部分高校的非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程，采用的還是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟Ｊ?，這種模式可以凸顯高等數(shù)學(xué)“理論科學(xué)”的特征，卻使學(xué)生難以體會(huì)到數(shù)學(xué)之美和探究的樂(lè)趣。素質(zhì)教育的核心是使學(xué)習(xí)者在自身內(nèi)在探究興趣的驅(qū)動(dòng)下去分析和解決問(wèn)題，合情推理十分適合于鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新，學(xué)生在積極而廣泛的猜想中，不再覺(jué)得高等數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)而抽象的，體會(huì)到了知識(shí)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，在很大的程度上增強(qiáng)可學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能動(dòng)性。舉例來(lái)講，筆者在講授“函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)”的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，如果單純地向?qū)W生灌輸“自變量增量趨于零則函數(shù)增量趨于零”，學(xué)生顯然是一時(shí)難以理解其含義的。因此筆者結(jié)合一些日常生活的實(shí)例，包括水的連續(xù)流動(dòng)，溫度的連續(xù)變化等，使學(xué)生首先構(gòu)建了“連續(xù)”的思想。這就使合情推理的典型應(yīng)用，學(xué)生在理解概念之余，也體會(huì)到了高等數(shù)學(xué)有趣的一面。

(四)在概念教學(xué)中引入建模方法

筆者一直將“數(shù)學(xué)建?！崩斫鉃閿?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)以致用過(guò)程。通常的數(shù)學(xué)建模遵循如圖所示的流程。

圖:高等數(shù)學(xué)的建模過(guò)程

在建模教學(xué)中，應(yīng)該向?qū)W生說(shuō)明:所有的建模過(guò)程均是以理想化的形式來(lái)描述現(xiàn)實(shí)中的元素或者過(guò)程，因此是實(shí)際問(wèn)題的抽象化。建模的關(guān)鍵在于確定各個(gè)變量之間的約束和聯(lián)系，最終將現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題。而建模結(jié)束之后，還應(yīng)將所得到的完全以數(shù)學(xué)語(yǔ)言所描述的結(jié)果轉(zhuǎn)化成便于現(xiàn)實(shí)理解的語(yǔ)言描述模式?？芍儆谝粋€(gè)雙向的過(guò)程，學(xué)習(xí)者在這個(gè)過(guò)程中能夠?qū)崿F(xiàn)兩種描述模式的轉(zhuǎn)換，從而感受到高等數(shù)學(xué)理論與實(shí)際的完美結(jié)合。舉例來(lái)講，筆者在進(jìn)行“極限”概念的時(shí)候，避免了直接將概念展示給學(xué)生的傳統(tǒng)教學(xué)方式，而是從如何求圓面積開(kāi)始，一點(diǎn)一點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解極限的含義。在例如筆者在講授導(dǎo)數(shù)概念的時(shí)候，首先給學(xué)生列舉現(xiàn)實(shí)生活中的速度、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際概念等，學(xué)生在思索中逐漸強(qiáng)化了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

［1］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社.2001.

［2］吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］劉金霞，陳娟，趙淑芹.高校經(jīng)濟(jì)及管理類(lèi)高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革［J］.集美大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版)，2007(4):90-92.

［4］楊麗賢，曹新成，關(guān)麗紅.談高等數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用［J］.長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2006(12):73-76.