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      《數(shù)學分析》中的分析與綜合方法研究

      2015-12-04 02:30:22鄒健宋述剛陳忠長江大學信息與數(shù)學學院湖北荊州434023
      長江大學學報(自科版) 2015年19期
      關(guān)鍵詞:數(shù)學分析微積分梯形

      鄒健,宋述剛,陳忠 (長江大學信息與數(shù)學學院,湖北 荊州434023)

      分析與綜合是歷史唯物主義與辯證唯物主義的基本思維方法之一,也是形式邏輯的方法之一[1]。按照哲學的觀點,分析是把整體事物分解為各個部分、方面、階段或要素,用相對靜止、孤立的觀點逐個加以研究的思維方法。分析即為化整為零。分析方法是多種多樣的,有定性分析、定量分析、因果分析、結(jié)構(gòu)分析、功能分析等。而綜合則是在分析的基礎(chǔ)上,將事物各個部分有機整合的思維方法。綜合即為積零為整。這種整合,不是簡單的、機械的部分相加,而是把思維對象的各個方面按其內(nèi)在聯(lián)系有機結(jié)合為一個統(tǒng)一的整體,從而把握事物的宏觀本質(zhì)的性質(zhì)。

      分析與綜合雖然是2種不同的思維方法,但它們象一對孿生兄弟一樣,形影相隨,相互依賴,相互影響與轉(zhuǎn)化。首先,分析是綜合的前提和基礎(chǔ),沒有系統(tǒng)、全面、科學的分析,就不可能有正確的綜合。其次,分析離不開綜合的指導(dǎo),分析以綜合為目的,綜合是分析的完成。分析與綜合的思維過程是從感性具體到思維抽象,再從思維抽象到客觀具體的過程。一般的,前者多用分析法,后者多用綜合法。

      《數(shù)學分析》的主要內(nèi)容是微積分理論,其創(chuàng)立者是英國科學家牛頓與德國科學家萊布尼茲[2,3]。微積分的創(chuàng)立是人類文明史上的一個里程碑,其理論在18、19世紀得到了極大的發(fā)展,形成了分析數(shù)學的基礎(chǔ)理論,并在物理學、化學、天文學、生物學等自然科學與工程技術(shù)中有著廣泛的重要應(yīng)用。在大學非數(shù)學專業(yè)中,關(guān)于微積分的課程被稱為《高等數(shù)學》,但在數(shù)學專業(yè)中,則稱為《數(shù)學分析》,這表明《數(shù)學分析》更著重強調(diào)微積分的分析綜合思想方法。

      雖然微積分研究的對象是函數(shù),但其研究的課題涉及到無窮的世界,包括無窮集合、無窮過程等,如實數(shù)集、無窮數(shù)列、無窮級數(shù)、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分等。在《數(shù)學分析》中,有窮與無窮是一對典型的相互對立統(tǒng)一的矛盾。有窮中包含著無窮,而無窮更是包含著有窮,它們在一定的條件之下可以相互轉(zhuǎn)化。例如,有窮區(qū)間(0,1)包含了無窮多個點,無窮區(qū)間(0,+∞)包含了無窮多個有窮區(qū)間;在變換y=tanx之下,兩者相互轉(zhuǎn)化。

      人類對無窮的認識,經(jīng)歷了一個艱難、漫長的過程。第1次數(shù)學危機(無理數(shù)危機)、第2次數(shù)學危機(無窮小量危機)、第3次數(shù)學危機(無窮集合悖論)都與對無窮的認識有關(guān)。無窮的世界千姿萬態(tài),充滿了難以想象的奧秘。這是因為人的認識、思維過程乃至生命都是有限的。如何運用有限的思維過程去認識、把握無限的集合與變化過程?適當?shù)姆绞骄褪腔療o窮為有窮、化復(fù)雜為簡單,這就需要運用分析與綜合方法。

      下面,筆者以《數(shù)學分析》課程中極限和定積分這2個重要概念為例,探討其中的分析與綜合方法。

      1 極限概念中的分析與綜合方法

      極限理論是《數(shù)學分析》的基礎(chǔ)與工具,而數(shù)列極限又是極限論的基本概念。這里,筆者僅以數(shù)列極限的概念為例,探討其中的分析與綜合方法??紤]數(shù)列極限:

      其定性的定義為:當n趨近于無窮大時,an無限趨近于a。如何尋求其定量的定義呢?事實上,an趨近于a是一個無窮的復(fù)雜過程,運用分析的方法,可以把它分解為各個變化階段,如:

      對于進入每個變化階段,可以用相對靜止、孤立的觀點研究它們需要具備什么樣的條件。以具體的極限=0為例,要求:

      所得條件是自變量n必須分別大于某個正整數(shù)N=10,N=100,N=500。這成為每個變化階段所具備的共性,即可以綜合為:對于給定的任意小的正數(shù),總存在一個正整數(shù),使得數(shù)列的項數(shù)大于這個正整數(shù)時,數(shù)列的變化進入相應(yīng)的階段。

      正是運用了分析與綜合的方法,德國著名數(shù)學家魏爾斯特拉斯才首次給出了極限的現(xiàn)代定義。

      運用同樣的思維方法,可以得到函數(shù)極限的定義。以此為基礎(chǔ),又可定義函數(shù)連續(xù)的概念與導(dǎo)數(shù)的概念。

      2 定積分概念中的分析與綜合方法

      首先,使用分析法,將曲邊梯形用鉛錘的直線分割成若干個小的窄曲邊梯形,然后對每個小曲邊梯形,用孤立、靜止的觀點處理,將其近似看著小矩形,即函數(shù)f(x)在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上看作是不變的,其值可任取f(ξi),ξi∈ [xi-1,xi]。于是第i個小曲邊梯形面積近似值為f(ξi)Δxi(Δxi=xi-xi-1)。

      其次,使用綜合法,將各小曲邊梯形面積近似值相加,得到整個曲邊梯形面積的近似值:

      但這僅僅是一個近似值,需要有機整合。不難發(fā)現(xiàn),隨著分割越來越細密,和式(ξi)Δxi的近似程度就越高。因此,有機整合的手段就是讓分割T越來越細密,當分割的細度 ‖T‖ →0時,和式的極限(如果存在的話)就是該曲邊梯形的面積(精確值)。經(jīng)過抽象概括,即得定積分的定義:

      由此可知,在定積分的定義中,分割、近似即為分析過程,作和、取極限則為綜合過程??梢哉f,定積分的定義是分析法與綜合法相結(jié)合的完美范例。

      運用同樣的思維方法,可以定義重積分、曲線積分、曲面積分等概念。

      3 結(jié)語

      《數(shù)學分析》現(xiàn)已成為現(xiàn)代分析數(shù)學(包括函數(shù)論、泛函分析、微分方程等學科)的重要基礎(chǔ),因而學好該課程就顯得尤為重要。由于大學與中學數(shù)學教學的差異與銜接等問題,導(dǎo)致相對一部分大學新生往往不能適應(yīng)《數(shù)學分析》的學習,特別是感到基本概念難于理解,思維方式與表達形式不易掌握。因此,對《數(shù)學分析》課程中基本概念與思維方式教學的探討就顯得十分重要。極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念是《數(shù)學分析》中至關(guān)重要的基本概念,對它們的理解與掌握,是學好該課程的關(guān)鍵所在。而對這些概念的認識,又恰好是教學的重點與難點。由上所述,當了解了導(dǎo)入這些概念的分析與綜合的思想方法以后,化解難點、突出重點就變得迎刃而解了。當然,除了上述探討的分析與綜合思維方法以外,《數(shù)學分析》中還蘊含客觀世界普遍聯(lián)系與運動、發(fā)展的觀念,人類認識與實踐的觀念與規(guī)律,唯物辯證法的基本發(fā)展規(guī)律如質(zhì)量互變規(guī)律、對立統(tǒng)一規(guī)律、否定之否定規(guī)律等等[4]。因此,在《數(shù)學分析》教學中,注重相關(guān)的哲學思想與方法,可以提升教師與學生雙方的認識高度與水平,真正培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,對指導(dǎo)《數(shù)學分析》及其相關(guān)后繼課程的教學,提高教學質(zhì)量,都有十分重要的意義。

      [1]李秀林,王于,李懷春 .辯證唯物主義和歷史唯物主義原理 [M].第5版,北京:中國人民大學出版社,2004.

      [2]華東師大數(shù)學系 .數(shù)學分析 [M].第4版 .北京:高等教育出版社,2010.

      [3]徐利治 .數(shù)學方法論選講 [M].第3版 .武漢:華中科技大學出版社,2000.

      [4]張景中 .數(shù)學哲學 [M].北京:北京師范大學出版社,2010.

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