導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問題的解答策略

葉良銓

摘 要：在全國(guó)卷中，導(dǎo)數(shù)幾乎是年年作為必考綜合，它是研究函數(shù)問題的一把“利劍”，但模式還是比較固定的，都是利用下一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來研究上一階導(dǎo)數(shù)的增減，從而求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).所以當(dāng)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求時(shí)就成了一道攔路虎，但也不是無法逾越，可以通過猜想驗(yàn)根，虛擬設(shè)根，多次求導(dǎo)，局部求導(dǎo)，泰勒展式幾個(gè)策略來應(yīng)對(duì)解決.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)；虛擬設(shè)根；多次求導(dǎo)；局部求導(dǎo)；泰勒展式

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)強(qiáng)有力的工具，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值.通過導(dǎo)數(shù)值的正、負(fù)來區(qū)分原函數(shù)的增、減性，進(jìn)而來求極值，最值或是其它問題.可見求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵，然而事與愿違，有些時(shí)候，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不易求，更甚是有的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是不可求的，如果此“點(diǎn)”得不到解決，那后繼的問題將戛然而止，導(dǎo)數(shù)的作用也就暗然失色，那怎么辦呢？本文就這個(gè)問題通過具體的例子談?wù)勎覀€(gè)人的看法.

1 觀察猜想，代入驗(yàn)根

當(dāng)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求時(shí)，可猜想在特殊值處取得，如x=0，x=1……是經(jīng)常被拿來猜想驗(yàn)證的.

通常情況下，當(dāng)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求時(shí)，首先想到的應(yīng)該是猜想可能的幾個(gè)特殊值去試驗(yàn).在含ex的復(fù)合函數(shù)中，一般取x=lnk（k>0）去驗(yàn)；在含lnk的復(fù)合函數(shù)中，一般取x=ek去驗(yàn).

2 虛擬設(shè)根，謀求代換

在近幾年的高考全國(guó)卷中，導(dǎo)數(shù)問題都出現(xiàn)了求函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)，這就需要通過其導(dǎo)函數(shù)來分析，然而經(jīng)常會(huì)遇到導(dǎo)函數(shù)具有零點(diǎn)但求解很煩瑣，更甚是根本無法求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).此時(shí)我們可類比解析幾何中“設(shè)而不求”思想，可以把導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)只設(shè)不求，如設(shè)x=x0，則有f'（x0）=0，此時(shí)我們就可以得到一個(gè)關(guān)于x0的代換式，然后尋求一種整體的代換，再結(jié)合已有的條件，從而使問題得以解決.

以上所述的幾個(gè)策略，是解決導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求的有效途徑，成功逾越了障礙，有效擺脫了解題過程中的一些困境，時(shí)常給人一種“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的心靈愉悅.