對數(shù)螺旋線在磨漿機磨齒設(shè)計中的應(yīng)用

王成昆 王 平

（天津科技大學(xué)機械工程學(xué)院，天津，300222）

對數(shù)螺旋線在磨漿機磨齒設(shè)計中的應(yīng)用

王成昆 王 平

（天津科技大學(xué)機械工程學(xué)院，天津，300222）

根據(jù)對數(shù)螺旋線的特性，將其應(yīng)用到磨漿機磨齒的設(shè)計中，磨齒在徑向呈對數(shù)螺旋線形狀，使得其在磨漿過程中動磨片（或轉(zhuǎn)子）和靜磨片（或定子）的磨齒交叉角度始終保持恒定。采用這種磨片可以使?jié){料在相同條件下，得到充分的處理并有效地保留纖維長度，改善磨漿質(zhì)量。

對數(shù)螺旋線；磨片；設(shè)計；盤磨機

在造紙行業(yè)素有“三分造紙，七分打漿”的說法，而磨片作為打漿的核心部件，是磨漿機的“心臟”。磨片齒形的設(shè)計、選擇合理與否，將直接影響磨漿機打漿質(zhì)量和效能。在磨（打）漿過程中漿料在兩個相對旋轉(zhuǎn)磨片之間的間隙中，沿著磨齒的引導(dǎo)邊緣在齒槽中移動。位于兩個相對旋轉(zhuǎn)面之間的磨齒重疊形成了瞬時交叉角，交叉角是影響漿料剪切和前緣覆蓋能力的關(guān)鍵因素之一。

對于常規(guī)的盤磨機直形齒磨片，動磨片和靜磨片的磨齒交叉角度在15°～40°之間變化，平均交叉角度為30°。交叉角度的變化，會造成磨片間纖維流動的不穩(wěn)定和纖維的斷裂，使?jié){料在磨片不同位置磨出的纖維質(zhì)量不一致。

根據(jù)對數(shù)螺旋線動點運動方向和極徑夾角恒定的特性，將其運用到錐形磨漿機轉(zhuǎn)子磨齒的設(shè)計中，在增加了磨齒切刃長度的同時，也保證了轉(zhuǎn)子和定子在磨漿時磨齒交叉角度的恒定。在整個磨漿過程中，漿料在相同條件下得以處理，保證了纖維的質(zhì)量。本文介紹了對數(shù)螺旋線在磨漿機磨齒設(shè)計中的應(yīng)用。

1 傳統(tǒng)磨片磨齒和對數(shù)螺旋線的應(yīng)用現(xiàn)狀

1.1 傳統(tǒng)磨片磨齒

傳統(tǒng)磨片磨齒呈徑向放射狀排列，為防止?jié){料因離心力作用快速泵出磨漿區(qū)，在齒槽中設(shè)置漿檔，有效地延長了漿料在磨漿區(qū)的停留時間。磨片從內(nèi)徑到外徑通?？蓜澐譃?個區(qū)，即破碎區(qū)、粗磨區(qū)、精磨區(qū)。

磨齒一般分為直形齒和弧形齒兩種形狀，但弧形齒應(yīng)用不及直形齒普遍，磨齒示意圖如圖1所示。

在一定長度的線段上，弧形齒較直形齒要長，在齒數(shù)一定的情況下，弧形齒可以提高磨片的切斷長。齒紋的排列在國內(nèi)紛繁雜亂沒有標(biāo)準(zhǔn)模式，但總體可分為扇塊分區(qū)齒和圓環(huán)分區(qū)齒兩大類。其中扇塊分區(qū)齒一般為直長齒，圓環(huán)分區(qū)齒可分為直長齒、弧形齒以及直長齒和弧形齒相結(jié)合3種。國外磨齒則相對簡化統(tǒng)一，均為扇塊直長齒，變化的只是齒數(shù)和切斷長［1﹣4］。

圖1 磨齒分類示意圖［2］

1.2 磨片磨齒設(shè)計的理論依據(jù)

磨片磨齒的幾何參數(shù)包括齒寬、齒高、齒傾斜角、齒槽寬、漿檔及齒紋排列分布等。對于現(xiàn)有的磨漿機，無論是盤磨機還是錐形磨漿機齒形設(shè)計選擇的主要理論依據(jù)都是比刀緣負(fù)荷（Specific Edge Load，SEL）理論［5］，計算見式（1）。

式中，SWL為比刀緣負(fù)荷，W·s/m；N為打漿有效功率，W；L為每轉(zhuǎn)切斷長（轉(zhuǎn)刀齒與定刀齒每轉(zhuǎn)交匯的長度），m/r；n為磨漿機轉(zhuǎn)速，r/s；Zt為轉(zhuǎn)刀齒數(shù)；Zn為定刀齒數(shù)；I為刀齒齒長，m。

由轉(zhuǎn)刀齒數(shù)、定刀齒數(shù)和刀齒齒長決定切斷長，間接表征了磨片的齒形，是描述打漿性能的重要參數(shù)。因此設(shè)計選擇磨片磨齒時，首先根據(jù)不同的漿種和打漿方式選擇合適的SEL值，再計算L，最后進行磨齒幾何形狀的設(shè)計。槽寬等于或大于所處理漿料纖維平均長度的2～3倍；齒寬3．5～6．5 mm；齒寬和槽寬之比控制為≤1；齒高一般選擇5．5～7．5 mm，限制在齒寬的1～2倍；齒傾角度一般選10°～20°；漿檔寬度選齒寬的2/3，高度選齒高的1/2～3/5［6﹣8］。

1.3 對數(shù)螺旋線及其應(yīng)用現(xiàn)狀

1.3.1 對數(shù)螺旋線及方程

動點運動方向始終和極徑ρ保持定角λ的動點軌跡，稱之為對數(shù)螺旋線［9］（見圖2），其方程見式（2）和式（3）。

式中，a、m為常數(shù)；θ為極角；ρ為極徑。

圖2 對數(shù)螺旋線［10］

1.3.2 對數(shù)螺旋線的應(yīng)用現(xiàn)狀

在機械設(shè)計與制造工程領(lǐng)域中，由于受傳統(tǒng)制造技術(shù)的限制，本該使用對數(shù)螺旋線的地方卻使用了其他近似曲線代替，使得對數(shù)螺旋線的優(yōu)越性未得到充分發(fā)揮。但隨著先進制造技術(shù)的發(fā)展，使得復(fù)雜曲面形狀的加工成為了可能，對數(shù)螺旋線也逐漸受到人們的重視。

由對數(shù)螺旋線的定義可知，λ是一個定值，所以動點的運動方向（即曲線的切線）與極徑垂線的夾角α也是一定值。這一性質(zhì)在工程應(yīng)用中的成功案例有：在曲線偏心夾緊機構(gòu)中，由于升角恒定，可使夾緊升程限制較少，自鎖性能良好；在無鍵型面連接中，可實現(xiàn)自動定心，載荷分布均勻，承載大的優(yōu)點；作為鏟齒成形刀具的鏟背曲線，保證刀具的切削性能［10］。

2 對數(shù)螺旋線在磨齒設(shè)計中的研究與應(yīng)用

在磨漿過程中，位于兩個相對旋轉(zhuǎn)面之間的磨齒重疊形成了瞬時交叉角，交叉角是影響漿料剪切和前緣覆蓋能力的關(guān)鍵因素之一。所以本文主要探究如何運用對數(shù)螺旋線來保證磨齒交叉角的恒定。

2.1 對數(shù)螺旋在盤磨機磨片設(shè)計上的應(yīng)用

本設(shè)計的初衷是將對數(shù)螺旋線應(yīng)用到磨漿機的磨齒設(shè)計中，尤其是錐形磨漿機。為了更好地理解該設(shè)計理念在錐形磨漿機轉(zhuǎn)子上的應(yīng)用，首先把該理論在盤磨機磨片上的應(yīng)用做簡單介紹。

圖3為在盤磨機磨片上運用對數(shù)螺旋線設(shè)計的磨齒。該磨片不同于傳統(tǒng)磨片，沒有破碎區(qū)故適合于精漿。

圖3中的1、2、3分別為粗細(xì)不同的磨區(qū)，在不同磨區(qū)由于齒槽和磨齒的寬度不同以達到精漿的要求；每個區(qū)的磨齒都遵循對數(shù)螺旋形狀，當(dāng)然也可以是只有兩個或者一個磨區(qū)有螺旋線磨齒分布，比如只有磨區(qū)1或磨區(qū)1、磨區(qū)2有曲線磨齒，其余磨區(qū)設(shè)計為其他形狀；特定的形狀參數(shù)γ角在每個區(qū)域可以不同，但形狀參數(shù)在動磨片和靜磨片相同磨區(qū)上最好是相同的；如果只有一個磨片上的磨齒具有對數(shù)螺旋線的曲線分布，而與之對應(yīng)的磨片是一個傳統(tǒng)的磨齒模式，相對于兩個磨片都是傳統(tǒng)磨齒的磨漿機，仍能有效地減少磨齒交叉角的變化。

形狀參數(shù)γ角的定義如圖4所示。

圖3 對數(shù)螺旋線齒形在盤磨機磨片上的應(yīng)用［11］

圖4 形狀參數(shù)的定義［11］

從圖4可知，β為兩條對數(shù)螺旋線的切線t1和t2之間的夾角，兩條對數(shù)螺旋曲線C1和C2相交于Pi（即彎曲磨齒的前沿交叉點）。螺旋曲線的切線與通過中心點Pc的母線L成γ角。

形狀參數(shù)γ角具有很大的靈活性，可取±90°范圍內(nèi)的數(shù)值，圖5（a）和圖5（b）是γ角分別取60°和-30°時的磨齒彎曲示意圖。

值得注意的是，因為在螺旋線上靠近徑向內(nèi)緣位置的點所擬合的曲線，可能不完全符合理論對數(shù)螺旋線。所以在實際生產(chǎn)制造時，通過確定起始半徑和角度建立的完整曲線（代表“母齒”的引導(dǎo)線），近似地接近數(shù)學(xué)表達式所確定的螺旋線。而后確定磨齒寬度并對該螺旋線偏移做出母齒，通過母齒的復(fù)制和旋轉(zhuǎn)形成一個完整的扇形磨片單元。

在實際生產(chǎn)中，安德里茲公司推出的ANDRITZ MDF Spiral磨片就是應(yīng)用恒定磨齒交叉角設(shè)計磨齒的典型實例。該機型在磨漿時不僅提高了纖維的質(zhì)量，而且在能耗和磨漿效率以及生產(chǎn)能力方面較之常規(guī)磨片，都有著良好的表現(xiàn)。且該磨片可用于任何制造商生產(chǎn)的熱磨機，適用性較好。

圖5 γ分別取60°和-30°時的磨齒彎曲示意圖［11］

2.2 對數(shù)螺旋線在錐形磨漿機轉(zhuǎn)子磨齒設(shè)計上的應(yīng)用

以下主要介紹對數(shù)螺旋線在錐形磨漿機轉(zhuǎn)子磨齒設(shè)計中的應(yīng)用。極坐標(biāo)系中的兩個坐標(biāo)ρ和可以由式（5）、式（6）和式（7）轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。

當(dāng)m取0時，ρ=a即為平面圓形。

式中，ρ是磨齒沿徑向中心線的長度；a是磨片半徑ρ的尺度參數(shù)；γ是任何交叉角曲線的切線與母線之間夾角；在γ=90°或-90°的情況下，對數(shù)螺旋線上任何點的切線都是和母線正交的，曲線即為一個半徑為a的圓。

本文所描述的對數(shù)螺旋線是以X、Y平面定義的。在運用到錐形轉(zhuǎn)子的過程中，曲線形成了X、Y、Z三個方向的變化，加上錐形表面的傾斜和曲率使得在投影長度與在X、Y平面有所不同。這導(dǎo)致了在磨齒寬、交叉角度、齒槽寬度和邊緣引導(dǎo)線長度的變化。但對數(shù)螺旋線相對于圓錐母線交叉角恒定的性質(zhì)仍然存在。圖6為對數(shù)螺旋線在圓錐面上的形狀。

結(jié)合圖4推導(dǎo)出對數(shù)螺旋線的形狀參數(shù)在平面和錐體上的變換函數(shù)見式（8）。

式中，γ為磨齒交叉角曲線的切線與母線之間夾角；γc為錐形磨漿機轉(zhuǎn)子磨齒交叉角曲線的切線與母線之間夾角；ε為圓錐體的半錐角。

圖6 對數(shù)螺旋線在圓錐面上的形狀［12］

角度γc意味著對數(shù)螺旋線在錐形磨漿機轉(zhuǎn)子磨齒的目標(biāo)角度，而角γ則指在原有X、Y盤磨平面上對數(shù)螺旋磨齒角度的數(shù)值。

在交叉角度變化的同時，磨齒寬和齒槽寬度也參與這種轉(zhuǎn)變，變換函數(shù)關(guān)系見式（9）和式（10）。

式中，bw為在X、Y平面或盤磨機磨片上磨齒寬度；bwc為在錐形磨漿機轉(zhuǎn)子上的磨齒寬度；gw為在盤磨機磨片上的齒槽寬度；gwc為在錐形磨漿機轉(zhuǎn)子上的齒槽寬度。

為了更好地理解以上公式的含義，可以借助圖7～圖9加以說明，圖7為一個實施該設(shè)計的錐形磨漿機轉(zhuǎn)子。

圖8為在X、Y平面生成對數(shù)螺旋線的設(shè)計，在這種情況下，定義在盤磨機磨片上磨齒的形狀參數(shù)角度γ為恒定的54°。

當(dāng)取錐體半錐角ε為20°時，通過式（8）即可計算出在錐形磨漿機轉(zhuǎn)子磨片上γc這個角度的變化，計算結(jié)果為25°，如圖9所示。

此外，磨齒的其他物理參數(shù)，如齒高、齒寬、槽寬等都可以通過上文中盤磨機磨齒設(shè)計理論依據(jù)這部分內(nèi)容進行設(shè)計計算。

為了使纖維在齒槽和齒面上交換，避免纖維未叩解而直接通過磨區(qū)，可在齒槽內(nèi)設(shè)置漿檔。設(shè)計原則是防止?jié){檔弧心與磨片圓心同心，原因是當(dāng)同心時兩個相同磨片為同一磨區(qū)，兩磨片漿檔重合造成磨區(qū)內(nèi)壓力變大，通漿阻力驟大，不利于磨片穩(wěn)定工作。蔣小軍等人［13］的新型磨漿機磨片專利中漿檔的設(shè)計可以參考，此外Luc Gingras［14］的可變角度的磨齒中其深淺不同的漿檔也具有較大參考價值。

圖7 應(yīng)用對數(shù)螺旋線設(shè)計的錐形磨漿機轉(zhuǎn)子［11］

圖8 在盤磨機磨片上的形狀參數(shù)［11］

圖9 在錐形轉(zhuǎn)子上所對應(yīng)的形狀參數(shù)［11］

3 結(jié) 語

傳統(tǒng)磨漿機磨齒的幾何形狀，無論是平行齒或是弧形齒，在打漿過程中都不可避免的存在磨齒交叉角度的變化，而交叉角度的變化，會造成磨片間纖維流動的不穩(wěn)定和纖維的斷裂，使?jié){料在磨片不同位置磨出的纖維質(zhì)量不一致。

根據(jù)對數(shù)螺旋線動點運動方向和極徑夾角恒定的特性，將其運用到了磨漿機磨齒的設(shè)計中去。在增加了磨齒切刃長度的同時，也保證了動磨片（或轉(zhuǎn)子）和靜磨片（或定子）在磨漿工作時磨齒交叉角度的恒定。使得漿料纖維在相同的條件下得以進行磨漿處理，保證了纖維的質(zhì)量。

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（責(zé)任編輯：董鳳霞）

Logarithm ic Spiral and Its Application in the Design of Refiner Plate

WANG Cheng﹣kun*WANG Ping
（College of Mechanical Engineeting，Tianjin Univetsity of Science&Technology，Tianjin，300222）（*E﹣mail：wangchengkun1990@163．com）

Logarithmic spiralwas applied to the design of disc refiner plate and conical refiner rotor based on its features．The teeth on the surface of refiner plate in the radial show logarithmic spiral shape，so that the refiner teeth intersecting angle of the rotor and stator remained constant during the refining process．The refiner with such plate could increase fiber collapse and effectively retained fiber length under the same conditions，and improved the refining quality．

logarithmic spiral；refiner plate；design；disc refiner

王成昆先生，在讀碩士研究生；研究方向：磨漿造紙機械的研究。

TS733+．3

A

0254﹣508X（2015）09﹣0037﹣05

2015﹣03﹣30（修改稿）