NCCR方程在近平衡氣體流動(dòng)區(qū)域的驗(yàn)證

肖 洪,師羊羊,商雨禾,劉振俠

(西北工業(yè)大學(xué)動(dòng)力與能源學(xué)院，西安710072)

NCCR方程在近平衡氣體流動(dòng)區(qū)域的驗(yàn)證

肖 洪,師羊羊,商雨禾,劉振俠

(西北工業(yè)大學(xué)動(dòng)力與能源學(xué)院，西安710072)

不同于Grad矩方法(R13方程)和Chapman-Enskog展開(Burnett方程)，Eu方法考慮H定理和熵增，由Boltzmann方程導(dǎo)出了氣體動(dòng)力學(xué)守恒方程的高階量本構(gòu)方程，暨NCCR方程，其在二維高Kn數(shù)稀薄氣體領(lǐng)域得到了驗(yàn)證。首先呈現(xiàn)了NCCR與Grad矩方法和Burnett方程的區(qū)別，而后展示了由Boltzmann方程到守恒方程和NCCR本構(gòu)方程暨建立聯(lián)系稀薄統(tǒng)一算法的過程。解決NCCR方程強(qiáng)非線性難題，擴(kuò)展了間斷伽遼金求解NCCR和守恒方程的數(shù)值方法，耦合了Langmuir邊界條件，并在近平衡區(qū)域?qū)Φ湫蛨A柱繞流、三維高超構(gòu)型流場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明，在近平衡區(qū)域NCCR準(zhǔn)確捕捉到了流場(chǎng)信息，包括滯止線參數(shù)分布等；同時(shí)，NCCR模型在高超構(gòu)型的后體區(qū)域，相比于NS方程更吻合于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。研究為NCCR方程在三維領(lǐng)域的完善和在高Kn數(shù)稀薄流動(dòng)區(qū)域的進(jìn)一步驗(yàn)證提供了基礎(chǔ)。

NCCR；非牛頓粘性應(yīng)力理論；非傅里葉熱傳導(dǎo)理論；高超聲速稀薄流動(dòng)

1 引言

連續(xù)、動(dòng)量、能量三大守恒方程耦合牛頓粘性定律和傅里葉熱傳導(dǎo)定律，我們稱為納維-斯托克斯-傅里葉方程(NSF方程)，其在過去近兩百多年里推動(dòng)了流體力學(xué)的發(fā)展，取得了巨大成功。但是隨著新的工程問題出現(xiàn)(特別是解決航天器返回大氣層、臨近空間飛行器空氣動(dòng)力學(xué)等重大工程問題)和流體力學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，基于連續(xù)介質(zhì)(或者平衡態(tài))的NSF方程在稀薄氣體和非平衡態(tài)領(lǐng)域的劣勢(shì)逐漸顯現(xiàn)出來[1]。為了研究稀薄領(lǐng)域的流動(dòng)現(xiàn)象，在過去近半個(gè)世紀(jì)，人們先后從兩大方向做了大量工作:

1)從研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)或分布函數(shù)輸運(yùn)方程方向，發(fā)展了 DSMC[2，3]、DSMC-IP[4，5]、直接求解 Boltzmann方程[6]、BGK-Boltzmann方程[7]、LBM[8]等系列方法，特別是以G.A.Bird為代表的DSMC方法在稀薄氣體領(lǐng)域取得了成功，直接推動(dòng)了稀薄氣體動(dòng)力學(xué)的發(fā)展。同時(shí)為了處理連續(xù)稀薄耦合流動(dòng)問題，人們?cè)?NS/DSMC耦合算法[9]、統(tǒng)一Boltzmann方法[10]方面也開展了卓有成效的工作。我國學(xué)者沈青、樊箐、孫泉華和美國學(xué)者 Boyd[4，5]等在 DSMC的基礎(chǔ)上，發(fā)展的DSMC-IP方法，將DSMC擴(kuò)展至低速領(lǐng)域；同時(shí)李志輝在統(tǒng)一跨流域Boltzmann方法[10]領(lǐng)域做出了重要貢獻(xiàn)。需要特別指出的是徐昆教授提出的UGKS[12]把時(shí)間和空間尺度看成動(dòng)力學(xué)量，發(fā)展了更為基礎(chǔ)的直接建模方法和分布函數(shù)方程，做出了杰出貢獻(xiàn)。

2)從流動(dòng)守恒方程和本構(gòu)關(guān)系方向發(fā)展了Grad矩方法[13]、以Chapman-Enskog展開為基礎(chǔ)的Burnett方程[14]、Eu方法及NCCR理論[15，16]。目前，人們一般認(rèn)為Boltzmann方程是全流域氣體動(dòng)力學(xué)控制方程，在分布函數(shù)(分子幾率函數(shù))輸運(yùn)過程中，由于存在碰撞不變量，因此同樣可以導(dǎo)出連續(xù)、動(dòng)量和能量三大氣體動(dòng)力學(xué)守恒方程。為了封閉守恒方程中的粘性應(yīng)力、熱傳導(dǎo)等高階量，NSF方程采用了最簡單的線性牛頓粘性定律和傅里葉熱傳導(dǎo)定律。基于同樣的思維，既然連續(xù)、動(dòng)量、能量的守恒方程可以通過Boltzmann方程導(dǎo)出，人們認(rèn)為粘性應(yīng)力、熱傳導(dǎo)等非守恒量的本構(gòu)方程也同樣可以基于Boltzmann方程導(dǎo)出，這就是所謂的模型化Boltzmann方法。在20世紀(jì)，以Grad(1949)提出的矩方法[13](以此為基礎(chǔ)的R-13方程[17])和以Chapman-Enskog展開為基礎(chǔ)的Burnett方程[14](1936)是這類方法的代表。但是部分研究發(fā)現(xiàn)，該兩類方法不滿足熱力學(xué)定律的熵條件，也就不滿足Boltzmann方程的定解條件H定理，可能會(huì)限制該類方法的發(fā)展[18-20]。

20世紀(jì) 90年代，化學(xué)專業(yè)出身的 B.C.Eu[15]對(duì)不可逆熱力學(xué)學(xué)過程進(jìn)行了研究，對(duì)Boltzmann方程進(jìn)行了模型化處理。Eu處理過程不同于Grad矩方法和Chapmann-Enskog展開，其特點(diǎn)是:①從Boltzmann方程的定解條件H定理出發(fā)，抓住了從非平衡態(tài)到平衡態(tài)熵增的特點(diǎn)，構(gòu)造的分布函數(shù)只是一種分布函數(shù)的形態(tài)定義而不是嚴(yán)格的具體表達(dá)式；②根據(jù)熵增耗散的物理概念構(gòu)建了非平衡態(tài)到平衡態(tài)的熵增耗散數(shù)學(xué)模型，其在趨近平衡態(tài)時(shí)熵增數(shù)學(xué)模型收斂為Rayleigh-Onsager耗散函數(shù)；以此為基礎(chǔ)建立了非平衡態(tài)到平衡態(tài)統(tǒng)一的非線性熵增模型，進(jìn)而處理了Boltzmann方程的碰撞項(xiàng)。

依據(jù)上述原則，Eu從Boltzmann方程導(dǎo)出了粘性應(yīng)力、熱傳導(dǎo)等高階量的輸運(yùn)方程暨本構(gòu)方程，耦合同樣由Boltzmann方程導(dǎo)出的守恒方程，完成了氣體動(dòng)力學(xué)方程的封閉。隨后Eu和Myong對(duì)本構(gòu)方程做了不同的處理方法，Eu重點(diǎn)處理了本構(gòu)方程的擴(kuò)散項(xiàng)；而Myong重點(diǎn)處理了本構(gòu)方程高階項(xiàng)并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了非線性耦合本構(gòu)關(guān)系暨NCCR方程[16]。

由于NCCR方程的強(qiáng)非線性關(guān)系，傳統(tǒng)的有限體積法求解流動(dòng)守恒方程和NCCR模型受到限制，為解決這一困難，本文繼續(xù)發(fā)展了混合模態(tài)間斷伽遼金算法(Mixed Modal DG)的NCCR求解體系，作為驗(yàn)證的第一步本文首先在近平衡區(qū)域?qū)Φ湫蛨A柱繞流、三維高超構(gòu)型流場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和驗(yàn)證，為下一步NCCR的完善和在高Kn數(shù)三維稀薄流動(dòng)區(qū)域的驗(yàn)證奠定了基礎(chǔ)。

2 NCCR方程及其與Grad矩方法、Burnett方程的區(qū)別

2.1 NCCR方程

在沒有外場(chǎng)力的假設(shè)前提下，包含慣性矩I和角動(dòng)量j的雙原子分子 Boltzmann動(dòng)力學(xué)方程[15]如式(1):

其中f，v，r，ψ，j，I，R[f]分別表示粒子分布函數(shù)，粒子速度，位置，與分子方向相關(guān)的方位角，角動(dòng)量向量j的標(biāo)量，慣性矩標(biāo)量和碰撞積分。通過f，v，r等微觀量定義質(zhì)量、動(dòng)量、能量等守恒變量和非守恒變量應(yīng)力、熱傳導(dǎo)，并代入Boltzmann動(dòng)力學(xué)方程，無量綱化后可得到流體動(dòng)力學(xué)守恒方程[15，16]式(2)。

式中，U為守恒變量，F(xiàn)inv(U)為無粘項(xiàng)，F(xiàn)vis(U)為粘性項(xiàng)，Π為粘性應(yīng)力，Q為熱傳導(dǎo)，fb為附加應(yīng)力相對(duì)粘性系數(shù)(對(duì)于單原子氣體為0)，I為單位張量。

其中Ec是馬赫數(shù)Ma的函數(shù)。

非守恒變量粘性應(yīng)力、熱傳導(dǎo)等在時(shí)間上微分耦合 Boltzmann方程，由此得到非守恒變量Φ(k)的輸運(yùn)方程[16]如式(3):

其中ψ(k)為Φ(k)的通量，Λk為分子碰撞耗散項(xiàng)，Zk為分子擴(kuò)散引起流體流線效應(yīng)的動(dòng)能項(xiàng)。

根據(jù)Eu和Myong的假設(shè)，解析后非守恒變量輸運(yùn)方程[15-16]如式(4):

式中，q(κ)＝sinhκ/κ，κ2為Rayleigh-Onsager耗散函數(shù)，γ′＝(5－3γ)/2(γ為比熱比)，ηb為附加應(yīng)力粘性系數(shù)，Cp為定壓比熱。

進(jìn)一步將輸運(yùn)方程(4)無量綱化，可得式(5):

此即為NCCR模型。式中c分子模型參數(shù)，R為無量綱Rayleigh-Onsager耗散函數(shù)，Π0為牛頓粘性應(yīng)力，Δ0為線性附加正應(yīng)力，Q0為傅里葉熱傳導(dǎo)。NCCR模型(5)和流動(dòng)守恒方程(2)耦合組成了NCCR的基本理論體系。

如果不考慮附加體積正應(yīng)力，即 fb＝0，Δ＝0。并繼續(xù)對(duì)NCCR模型(5)繼續(xù)演化[16]可得式(6):

上式中，Π0，Q0分別為牛頓粘性應(yīng)力和傅里葉熱傳導(dǎo)；Πi，Qi可以看做各高階量。Nδ為復(fù)合系數(shù)，是馬赫數(shù)和努森數(shù)的函數(shù):

我們遇到的大多數(shù)問題，屬于低馬赫數(shù)和小努森數(shù)的問題，即Nδ取值很小，此時(shí)(6)式中的各高階量可以忽略，變?yōu)槭?7):

同時(shí)由于在Stokes假設(shè)中不考慮附加體積正應(yīng)力，即fb＝0，Δ＝0，流動(dòng)守恒方程(2)變?yōu)槭?8):

方程(7－8)即為NS方程。上述的演化，我們可以得到如下結(jié)論，NCCR理論并沒有推翻NS方程，只不過NS方程是NCCR理論在平衡態(tài)附近或者連續(xù)區(qū)域的演化特例而已，這一點(diǎn)從公式(6)可以看出。

2.2 NCCR方程與Grad矩方法、Burnett方程的區(qū)別

為了對(duì)比的需要，圖1給出了Grad矩方法、二階Burnett方程、三階Burnett方程和NCCR的一維無量綱正應(yīng)力對(duì)比圖(具體見文獻(xiàn)[21]圖2和文獻(xiàn)[22]圖1)，可以看出:

圖1 無量綱一維NCCR正應(yīng)力對(duì)比圖［21，22］Fig.1 The comparisons of normal viscous stress in NCCR，Grad，Burnett and NS［21，22］

1)NCCR、Burnett和Grad矩方法在平衡態(tài)附近均和牛頓粘性定律呈現(xiàn)一致的線性關(guān)系，且在近平衡區(qū)域三者非線性關(guān)系吻合；后兩者均能處理近平衡區(qū)域問題，因此從這個(gè)角度基本可以判斷NCCR在近平衡區(qū)域的應(yīng)用是可信的。

2)NCCR在遠(yuǎn)離平衡態(tài)區(qū)域呈現(xiàn)出與Burnett方程和Grad矩方法不同的非線性趨勢(shì)。需要指出的是Burnett方程和Grad矩方法均不能處理遠(yuǎn)離平衡態(tài)氣體流動(dòng)，因此該趨勢(shì)也為NCCR處理遠(yuǎn)離平衡態(tài)區(qū)域的氣體流動(dòng)提供了可能性，且已經(jīng)執(zhí)行的二維研究結(jié)果表明NCCR在遠(yuǎn)離平衡態(tài)區(qū)域取得了和DSMC、UGKS等一致的結(jié)果[23-25]。

3 間斷伽遼金求解NCCR方程

如公式(2)所示，對(duì)于流動(dòng)守恒方程，定義附加參數(shù)S的系列方程組如式(9)，可見粘性應(yīng)力等高階量是S的函數(shù)[16-18]。

在每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)，守恒變量U和附加參數(shù)S近似為式(10):

N的取值取決于精度。

方程(9)對(duì)網(wǎng)格積分得式(11):

為檢驗(yàn)(10)近似的精度，選取檢驗(yàn)函數(shù)帶入(11)式，在間斷伽遼金算法中，檢驗(yàn)函數(shù)也是基函數(shù)，帶入得式(12):

在方程(12)中，每一步迭代可以得到附加參數(shù)S近似表達(dá)式Sh的系數(shù)bi，進(jìn)一步得到NCCR模型(5)中的Π0Q0。以此為基礎(chǔ)，進(jìn)一步通過(5)式迭代NCCR的粘性應(yīng)力和熱傳導(dǎo)ΠΔQ，代入守恒方程[23]，迭代守恒變量U的近似表達(dá)式守恒變量Uh的系數(shù)ai，具體過程參見文獻(xiàn)[23]。

在稀薄流動(dòng)中，壁面速度滑移和溫度跳躍是較為關(guān)鍵的步驟，本文采用 Langmuir邊界條件[19]。

4 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證混合模態(tài)間斷伽遼金算法求解NCCR理論體系的有效性，本文以現(xiàn)有數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別選取高超聲速圓柱繞流和三維高超構(gòu)型對(duì)NCCR理論體系進(jìn)行驗(yàn)證。

4.1 高超聲速圓柱繞流

本算例為高超聲速算例，工質(zhì)為氬氣，氬氣為單原子氣體故體積附加正應(yīng)力為零。計(jì)算域外邊界為圓形，半徑為圓柱半徑的20倍；采用三角形網(wǎng)格，壁面網(wǎng)格和徑向方向數(shù)目分別為100和100。算例計(jì)算條件分別如下:Ma＝5.48，Kn＝0.05，T∞＝26.6 K，TW＝293 K；Ma＝20.00，Kn＝1.0，T∞＝TW＝26.6 K。

圖2給出了計(jì)算網(wǎng)格圖，圖3給出Ma＝5.48、Kn＝0.05算例圓柱中心前滯止線的速度曲線，可以看出NCCR相比于NS方程更吻合于DSMC數(shù)據(jù)。

圖4給出了極高馬赫數(shù)算例Ma＝20圓柱表面熱流分布的DSMC結(jié)果、徐昆教授的UGKS結(jié)果和NCCR結(jié)果?？梢钥闯鲈跓崃鞯挠?jì)算中，NCCR同樣表現(xiàn)出了優(yōu)勢(shì)，其與UGKS結(jié)果在整體趨勢(shì)上極為吻合。

圖2 計(jì)算網(wǎng)格圖Fig.2 Unstructured triangular mesh for the cylinder case

圖3 滯止線無量綱速度分布曲線Fig.3 Non-dimension velocity in stagnation line at Ma＝5.48，Kn＝0.05.

4.2 三維高超聲速構(gòu)型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本算例為三維高超聲速算例，構(gòu)型如圖5所示。工質(zhì)為空氣。計(jì)算域外邊界為圓形，半徑為構(gòu)型長度的20倍；采用四面體網(wǎng)格。三算例計(jì)算條件如下(其中Re特征長度取為1米):

圖4 圓柱表面熱流分布曲線Ma＝20，Kn＝1.0［23］Fig.4 Normalized heat flux at solid surface of high mach number gas flow around a cylinder at Ma＝20，Kn＝1.0［23］

圖5 三維構(gòu)型圖Fig.5 3D vehicle configuration

(1)Ma＝7.0，Re＝5.3×105/m，零迎角

(2)Ma＝6.0，Re＝4.2×105/m，零迎角

(3)Ma＝6.0，Re＝4.2×105/m，4°迎角

圖6－8分別給出了上述三算例的壓力分布計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯?，前體區(qū)域NCCR、NSF結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均吻合良好；但是在后體區(qū)域NS方程結(jié)果的預(yù)測(cè)均比實(shí)驗(yàn)結(jié)果低，而NCCR預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，同時(shí)該結(jié)果對(duì)于后續(xù)湍流的研究具有啟示意義。

圖6 Ma＝7.0，Re＝5.3×105/m壓力分布Fig.6 The pressure coefficient，Cp，at Ma＝7.0 and Re＝5.3×105

5 結(jié)論

Eu方法NCCR方程不同于Grad矩方法和Bunrett方程，其在模型化Boltzmann過程中考慮了H定理和熵增模型。為解決NCCR模型強(qiáng)非線性難題，本文發(fā)展了間斷模態(tài)伽遼金求解NCCR和流動(dòng)守恒方程的數(shù)值算法。并在近平衡區(qū)域?qū)Φ湫蛨A柱繞流、三維高超構(gòu)型流場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明，驗(yàn)證結(jié)果表明，在近平衡區(qū)域NCCR準(zhǔn)確捕捉到了流場(chǎng)信息。同時(shí)驗(yàn)證表明NCCR模型在高超構(gòu)型的后體區(qū)域，相比于NS方程更吻合于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖7 Ma＝6.0，Re＝4.2×105/m壓力分布Fig.7 The pressure coefficient，Cp，at Ma＝6.0 and Re＝4.2×105

圖8 Ma＝4.0，Re＝4.2×105/m 4°迎角壓力分布Fig.8 The pressure coefficient，Cp，at Ma＝6.0，Re＝4.2×105and α＝40

NCCR方程作為一種新的氣體動(dòng)理學(xué)理論體系，雖然在二維高Kn數(shù)區(qū)域得到驗(yàn)證，但仍舊需要經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)，不排除其理論推導(dǎo)存在缺陷甚至致命性錯(cuò)誤的可能。就本文開展的DG-NCCR工作而言，作者認(rèn)為其局限性和未來工作在于:

1)相對(duì)于NS方程計(jì)算時(shí)間資源較大，一般NCCR相當(dāng)于NS方程計(jì)算資源的2～4倍。在實(shí)際計(jì)算中，我們一般采用先計(jì)算NS方程，收斂后以此為初值計(jì)算NCCR，其時(shí)間資源仍舊為NS方程的1.5～2倍。

2)對(duì)粘性應(yīng)力、熱傳導(dǎo)等高階量的本構(gòu)方程處理，Eu和Myong的處理方式不同，前者封閉了通量項(xiàng)但是簡化了碰撞項(xiàng)，后者(包括申請(qǐng)者前期工作)封閉了碰撞項(xiàng)但是簡化消去了通量項(xiàng)。上述封閉方法和簡化對(duì)氣體動(dòng)力學(xué)特別是對(duì)于三維高Kn數(shù)流動(dòng)影響的研究和驗(yàn)證是空白領(lǐng)域。

3)Myong和本文的工作，是成功將Mixed-DG引入NCCR計(jì)算理論體系，但是對(duì)三維問題特別是上述封閉方法的不同引起的計(jì)算解耦方法不同，是空白領(lǐng)域，也需要重新發(fā)展。

4)目前NCCR理論沒有考慮化學(xué)反應(yīng)，如考慮化學(xué)反應(yīng)需要重新推導(dǎo)。

5)本文的工作為后續(xù)三維高Kn數(shù)區(qū)域流動(dòng)的驗(yàn)證提供了基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)后續(xù)研究湍流問題也具有很強(qiáng)的啟示意義。

致謝:感謝韓國慶尚國立大學(xué)R.S.Myong教授的公式檢查工作和孫泉華研究員的DSMC數(shù)據(jù)支持，同時(shí)感謝香港科技大學(xué)徐昆教授的UGKS數(shù)據(jù)支持。和美國圣地亞哥州立大學(xué) Arnab.Chaudhuri博士多次在壁面處理上的開展討論，在此表示感謝。

同時(shí)特別感謝CFD領(lǐng)域的前輩Roe格式提出者密歇根大學(xué)Phil.Roe教授在通量計(jì)算上的多次指點(diǎn)和幫助。

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[1]Hadjiconstantinou N G.The limits of Navier-Stokes theory and kinetic extensions for describing small-scale gaseous hydrodynamics[J].Physics of Fluids(1994-present)，2006，18(11):111301.

[2]Bird G A.Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows[M].Claredon:Oxford，1994:115-123.

[3]Bird G A The DSMC Method[M].Version 1.1.Claredon: Oxford，2013:101-136.

[4]Fan J，Boyd I D，Cai C P，et al.Computation of rarefied gas flows around a NACA 0012 airfoil[J].AIAA journal，2001，39(4):618-625.

[5]Sun Q，Boyd I D.Flat-plate aerodynamics at very low Reynolds number[J].Journal of Fluid Mechanics，2004，502: 199-206.

[6]Frezzotti A，Ghiroldi G P，Gibelli L.Solving the Boltzmann equation on GPUs[J].Computer Physics Communications，2011，182(12):2445-2453.

[7]Bellouquid A，Calvo J，Nieto J，et al.On the relativistic BGK-Boltzmann model:asymptotics and hydrodynamics[J].Journal of Statistical Physics，2012，149(2):284-316.

[8]Nabovati A，Sellan D P，Amon C H.On the lattice Boltzmann method for phonon transport[J].Journal of Computational Physics，2011，230(15):5864-5876.

[9]Wu J S，Lian Y Y，Cheng G，et al.Development and verification of a coupled DSMC-NS scheme using unstructured mesh [J].Journal of Computational Physics，2006，219(2):579-607.

[10]Li Z H，Zhang H X.Study on gas kinetic unified algorithm for flows from rarefied transition to continuum[J].Journal of Computational Physics，2004，193(2):708-738.

[11]He X，Chen S，Zhang R.A lattice Boltzmann scheme for incompressible multiphase flow and its application in simulation of Rayleigh-Taylor instability[J].Journal of Computational Physics，1999，152(2):642-663.

[12]Liu S，Yu P，Xu K，et al.Unified gas-kinetic scheme for diatomic molecular simulations in all flow regimes[J].Journal of Computational Physics，2014，259:96-113.

[13]Grad H.On the kinetic theory of rarefied gases[J].Communications on pure and applied mathematics，1949，2(4): 331-407.

[14]Burnett D.The distribution of molecular velocities and the mean motion in a non-uniform gas[J].Proceedings of the London Mathematical Society，1936，2(1):382-435.

[15]Eu B C.Kinetic Theory and Irreversible Thermodynamics [M].Candana:Wiley，1992.

[16]Myong R S.A generalized hydrodynamic computational model for rarefied and microscale diatomic gas flows[J].Journal of Computational Physics，2004，195(2):655-676.

[17]Torrilhon M，Struchtrup H.Boundary conditions for regularized 13-moment-equations for micro-channel-flows[J].Journal of Computational Physics，2008，227(3):1982-2011.

[18]Torrilhon M.Special issues on moment methods in kinetic gas theory[J].Continuum Mechanics and Thermodynamics，2009，21(5):341-343.

[19]Comeaux K A，Chapman D R，MacCormack R W.An analysis of the Burnett equations based on the second law of thermodynamics[C]//AIAA，Aerospace Sciences Meeting and Exhibit，33 rd，Reno，NV.1995.

[20]Balakrishnan R，Agarwal R K，Yun K Y.Higher-order distribution functions，BGK-Burnett equations and Boltzmann′s H-theorem[R].AIAA-1997-2551，1997.

[21]Myong R S.Thermodynamically consistent hydrodynamic computational models for high-Knudsen-number gas flows[J].Physics of Fluids，1999，11(9):2788-2802.

[22]Myong R S.On the high Mach number shock structure singularity caused by overreach of Maxwellian molecules[J].Physics of Fluids，2014，26(5):056102.

[23]肖洪，商雨禾，吳迪，等.稀薄氣體動(dòng)動(dòng)力學(xué)的NCCR理論及其驗(yàn)證[J/OL].航空學(xué)報(bào)，2014，35.http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/article/downloadArticleFile.do？attachT-ype＝PDF＆id＝15759.Xiao H，Shang Y H，Wu D，et al.Nonlinear coupled constitutive relations and its validation for rarefied gas flows[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35.http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/article/downloadArticleFile.do？attachT-ype＝PDF＆id＝15759.(in Chinese)

[24]Le N T P，Xiao H，Myong R S.A triangular discontinuous Galerkin method for non-Newtonian implicit constitutive models of rarefied and microscale gases[J].Journal of Computational Physics，2014，273:160-184.

[25]Xiao H，Myong R S.Computational simulations of microscale shock-vortex interaction using a mixed discontinuous Galerkin method[J].Computers＆Fluids，2014，105:179-193.

Validation of Nonlinear Coupled Constitutive Relations in Near-equilibrium Gas Flows

XIAO Hong，SHI Yangyang，SHANG Yuhe，LIU Zhenxia
(School of Power and Energy，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China)

Different from Grad moment method(R-13 equations)and Chapman-Enskog method (Burnett equation)，the Nonlinear Coupled Constitutive Relations(NCCR)of high order terms including viscous stress and heat flux were derived from Boltzmann equation in B.C.Eu method by considering the H theorem and entropy generation.And it was validated in the two dimensional rarefied gas flow.Firstly，the difference between Grad moment method，Burnett equation and NCCR were presented.Conservations laws and transport equations of non-conservation variables were derived from Boltzmann equation and then a unified scheme of continuum-rarefied gas flows，named by nonlinear coupled constitutive relations(NCCR)，was proposed.For solving the conservation laws with NCCR model，a modal mixed discontinuous Galerkin(DG)method with Langmuir slip condition，was developed based on unstructured grids.To validate the present DG-NCCR method，hypersonic rarefied gas flow over a cylinder and 3D hypersonic configuration，were considered by NCCR.It is observed that，compared with DSMC results，DG-NCCR could capture shockwave which is better than NSF.Investigations also showed that the DG-NCCR results were close with DSMC data than the NSF results in velocity at stagnation line.Furthermore，NCCR results were found to be in good agreement with experiment in pressure distribution of the gas flow in the afterbody of 3D hypersonic configuration.The present study provided a foundation for the improvement of NCCR and its validation in 3D high Kn number gas flows.

NCCR；non Newton viscous stress；non Fourier heat flux；hypersonic rarefied gas flows

O356

A

1674-5825(2015)03-0303-06

2014-08-13；

2015-03-11

韓國國家自然科學(xué)基金(NRF 2012-R1A2A2A02-046270)

肖洪(1978－)，男，博士，副教授，研究方向?yàn)檫B續(xù)稀薄統(tǒng)一氣體動(dòng)力學(xué)方程。E-mail:xhong＠nwpu.edu.cn