嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M－矩陣的逆矩陣無(wú)窮大范數(shù)的上界序列

蔣建新，李艷艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山663000)

嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣是一類(lèi)在數(shù)值代數(shù)、數(shù)學(xué)物理和控制論等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的特殊矩陣，例如:線性方程組Ax=b，當(dāng)系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣時(shí)，許多經(jīng)典的迭代算法均是收斂的，同時(shí)對(duì)目前提出的一些修正算法也是收斂的，所以在理論探討和實(shí)際工作中常要估計(jì)矩陣逆的無(wú)窮范數(shù)，尤其是對(duì)大型矩陣的判別，還存在許多困難．經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者不懈努力，已獲得一些重要結(jié)果［1］． 本文繼續(xù)研究嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M－矩陣A的‖A－1‖∞的上界估計(jì)問(wèn)題，給出其新的收斂的上界序列．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［2］記，稱(chēng)Zn×n中的矩陣A為Z－矩陣(簡(jiǎn)記為;設(shè)，如果A可表示為A=αI－P，其中P≥0(即，?i，j∈N)，α≥ρ(P)，則稱(chēng)A為M－矩陣(ρ(P)是非負(fù)矩陣P的譜半徑)．特別，當(dāng)α ＞ρ(P)時(shí)，稱(chēng)A為非奇異M－矩陣;當(dāng)α=ρ(P)時(shí)，稱(chēng)A為奇異M－矩陣．用Mn表示非奇異M－矩陣的集合，q(A)表示非奇異M－矩陣A的最小特征值．

定義2［3］設(shè)且滿(mǎn)足下列條件:

(i，存在非零元素序列aii1ai1i2…airk，其中i≠i1，i1≠i2，…，ir≠k，k∈J(A)，則稱(chēng)A為弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣．

定義3［3］設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若J(A)=N，則稱(chēng)A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣．

注1:由定義2 和定義3 知，若A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A為弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣．

引理1［4］設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，則B=A(2，n)∈R(n－1)×(n－1)也是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，且B－1=(βij)存在，βij≥0(i，j=2，3，…，n)．

引理2［5］設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，B=A(2，n)∈R(n－1)×(n－1)，A－1=(αij)，B－1=(βij)，則:

其中

若J(A)=N，則Δ≥a11(1－d1l1)≥a11(1－d1)．

引理3［4］設(shè)A=(aij)是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M－矩陣，則Δ≥a11(1－d1l1)＞a11(1－d1)＞0．

引理4［6］設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M－矩陣，則A－1=(αij)滿(mǎn)足:

引理5［6］設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M－矩陣，則A－1=(αij)滿(mǎn)足:

引理6［7］設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，A－1=(αij)，令q=q(A)，

2 ||A －1|| ∞的上界序列和q(A)的下界序列

定理1 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，則?t=0，1，…，有

由式(5)知:當(dāng)2≤j≤n時(shí)，故當(dāng)2≤i≤n時(shí)

則定理得證．

定理2 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M－矩陣，則:‖A－1‖∞＜Ωt，

定理3 由定理2 得到的‖A－1‖∞的上界序列是單調(diào)遞減的且以‖A－1‖∞為下界，所以該序列是收斂的．

定理5 由定理4 得到的q(A)的下界序列是單調(diào)遞增的且以q(A)為上界，所以該序列收斂．

3 數(shù)值算例

應(yīng)用文獻(xiàn)［6］中定理3．7，當(dāng)取迭代總數(shù)T=10 時(shí)得‖A－1‖∞≤0．537，應(yīng)用文章［7］中定理3．2 的估計(jì)式得‖A－1‖∞≤0．699;應(yīng)用本文定理2，當(dāng)取迭代總數(shù)T=10 時(shí)得‖A－1‖∞≤0．3952;事實(shí)上，應(yīng)用Matlab 7．1 計(jì)算得

上例表明，在某些條件下本文所得的‖A－1‖∞的上界序列優(yōu)于現(xiàn)有的一些結(jié)果．

［1］ Johnson C R．A Hadamard product involvingM－matrix［J］．Linear and Multilinear Algebra，1997，4:261－264．

［2］ 陳景良，陳向暉．特殊矩陣［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2000．

［3］ 黃廷祝，楊傳勝．特殊矩陣分析及應(yīng)用［M］．北京:科學(xué)出版社，2007．

［4］ Shivakumar P N，Chew K H．A sufficient condition for nonvanishing of determinants［J］．Proc Amer Math Soc，1974，43:63－66．

［5］ Cheng G H，Huang T Z．An upper bound for ‖A－1‖∞of strictly diagonally dominantM－matrices［J］． Linear Algebra Appl，2009，43:511－517．

［6］ 趙建興．M－矩陣最小特征值估計(jì)及其相關(guān)問(wèn)題研究［D］．昆明:云南大學(xué)，2014．

［7］ 王亞強(qiáng)，李耀堂，孫小軍，等．A new upper bound for ||A－1||∞of strictly diagonally dominantM－matrix［J］．山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2010，45(4):43－48．