王濤+沈銳利

摘要：為了研究大跨度鐵路斜拉橋的索-梁相關(guān)振動(dòng)，基于拉索非線性振動(dòng)理論，開(kāi)發(fā)了有限元索動(dòng)力單元，該單元在靜力計(jì)算中為普通直桿單元，動(dòng)力特性計(jì)算中可以計(jì)算拉索局部自振頻率，動(dòng)力時(shí)程計(jì)算中可以計(jì)算拉索非線性振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的相互作用；編制了計(jì)算程序，建立了大跨度鐵路斜拉橋有限元模型，同時(shí)使用索動(dòng)力單元模擬斜拉索，最后研究了列車(chē)通過(guò)斜拉橋時(shí)梁、塔的帶動(dòng)下拉索發(fā)生索-梁相關(guān)振動(dòng)的特性。結(jié)果表明：對(duì)于大跨度鐵路斜拉橋，列車(chē)在設(shè)計(jì)速度范圍內(nèi)通過(guò)橋梁時(shí)索-梁相關(guān)振動(dòng)不會(huì)導(dǎo)致拉索產(chǎn)生大幅振動(dòng)。

關(guān)鍵詞：斜拉橋；拉索；索-梁相關(guān)振動(dòng)；有限元法；列車(chē)；荷載

中圖分類號(hào)：U441.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

對(duì)于單根斜拉索，理論分析、數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)研究均表明當(dāng)拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)頻率與拉索自振頻率達(dá)到1∶1或2∶1時(shí)，拉索容易發(fā)生較大幅度的振動(dòng)[1-10]。從工程實(shí)際來(lái)看，斜拉橋是一個(gè)包含多根拉索的復(fù)雜索-梁組合結(jié)構(gòu)，拉索振動(dòng)的情況較為復(fù)雜。為了研究實(shí)際斜拉橋上拉索是否容易在端點(diǎn)位移激勵(lì)的作用下發(fā)生較大幅度的振動(dòng)，Gattulli等[11]于2002年使用理論方法建立了索-梁作用下振動(dòng)的精細(xì)模型，使用振型分解法研究了拉索局部振動(dòng)與全橋振動(dòng)特性之間的關(guān)系，建立了全橋有限元模型，分析了斜拉橋在風(fēng)荷載和地震荷載作用下索-梁耦合振動(dòng)情況。Lorenzo等[12]于2003年進(jìn)行了索-梁相互作用的振動(dòng)試驗(yàn)研究，測(cè)試了汽車(chē)荷載通過(guò)橋梁時(shí)拉索的振動(dòng)情況。Caetano等[13]于2008年使用有限元法對(duì)橋梁的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析，通過(guò)對(duì)比拉索的振動(dòng)頻率與全橋自振頻率的關(guān)系來(lái)判定拉索發(fā)生大幅振動(dòng)的可能性，使用有限元法研究了在車(chē)輛荷載和風(fēng)荷載激勵(lì)下拉索的振動(dòng)情況，并通過(guò)對(duì)實(shí)際橋梁的測(cè)試來(lái)驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的結(jié)果。Zhang等[14]于2011年使用車(chē)橋動(dòng)力計(jì)算程序得到了斜拉橋拉索端點(diǎn)在車(chē)輛作用下的振動(dòng)位移時(shí)程作為激勵(lì)條件，提取端點(diǎn)位移時(shí)程，使用非線性有限元法分析單根斜拉索的振動(dòng)響應(yīng)，在其研究中忽略了拉索非線性振動(dòng)對(duì)斜拉橋整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。Caetano[15]于2011年在其關(guān)于拉索振動(dòng)的著作中闡明：根據(jù)現(xiàn)有世界各地的實(shí)際斜拉橋調(diào)查研究資料，拉索大幅振動(dòng)通常發(fā)生于較為惡劣的天氣狀況下，橋面的振動(dòng)頻率與拉索頻率達(dá)到一定的匹配關(guān)系是造成拉索大幅振動(dòng)的部分原因。

根據(jù)現(xiàn)有的研究資料可以發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于單根斜拉索在端點(diǎn)位移作用下大幅振動(dòng)的研究較多，但斜拉橋全橋模型中拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)作用下發(fā)生振動(dòng)的研究相對(duì)較少，對(duì)于拉索與全橋振動(dòng)的相互動(dòng)力作用考慮還不夠全面。

文獻(xiàn)[16]中分析了索-梁組合結(jié)構(gòu)中在整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的帶動(dòng)下拉索發(fā)生振動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律，提出了索-梁相關(guān)振動(dòng)的概念，其主要包括拉索上常見(jiàn)的強(qiáng)迫振動(dòng)與參數(shù)振動(dòng)，認(rèn)為拉索有可能在索-梁相關(guān)振動(dòng)的作用下發(fā)生1∶1的主共振與2∶1的參數(shù)共振。建立了包含3根拉索的索-梁組合結(jié)構(gòu)計(jì)算模型，初步分析了簡(jiǎn)單索-梁組合結(jié)構(gòu)發(fā)生大幅度索-梁相關(guān)振動(dòng)的性質(zhì)，認(rèn)為當(dāng)拉索發(fā)生大幅振動(dòng)時(shí)，拉索局部振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)不能分開(kāi)考慮，應(yīng)當(dāng)充分考慮拉索局部振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)之間的相互關(guān)系來(lái)分析索-梁組合結(jié)構(gòu)中拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)下大幅振動(dòng)的現(xiàn)象，否則計(jì)算結(jié)果可能與實(shí)際情況有較為明顯的偏差。

為了研究大跨度鐵路斜拉橋在列車(chē)荷載作用下索-梁相關(guān)振動(dòng)的特性，考察列車(chē)荷載作用下索-梁相關(guān)振動(dòng)是否容易導(dǎo)致拉索的大幅振動(dòng)，本文中筆者在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)索動(dòng)力單元，該單元在動(dòng)力時(shí)程計(jì)算中可以計(jì)算斜拉橋拉索局部非線性振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的相互作用，編制有限元程序，針對(duì)有代表性的鐵路斜拉橋進(jìn)行研究，本文結(jié)果可以為大跨度鐵路斜拉橋的設(shè)計(jì)提供理論參考。

1 計(jì)算理論

1.1 拉索動(dòng)拉力計(jì)算

圖1為拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)下的振動(dòng)模型，其中，ΔU（t）為拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)，ΔUX（t），ΔUY（t）分別為ΔU（t）沿拉索局部坐標(biāo)系下X，Y方向的位移分量，θ為拉索傾角，v為拉索振動(dòng)曲線，y為拉索下垂曲線，t為時(shí)間。

根據(jù)拉索振動(dòng)理論[1]與試驗(yàn)研究[10]，ΔUY（t）位移激勵(lì)導(dǎo)致拉索發(fā)生強(qiáng)迫振動(dòng)，當(dāng)頻率成分與拉索自振頻率接近1∶1時(shí)，拉索容易發(fā)生主共振；ΔUX（t）位移激勵(lì)容易導(dǎo)致拉索發(fā)生參數(shù)振動(dòng)，當(dāng)頻率成分與拉索自振頻率接近2∶1時(shí)，拉索容易發(fā)生參數(shù)共振。

在實(shí)際斜拉橋上，拉索發(fā)生上述2種振動(dòng)通常均是由梁、塔的帶動(dòng)導(dǎo)致的[15，17]。與文獻(xiàn)[16]相同，本文將這種斜拉橋拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)作用下發(fā)生的振動(dòng)統(tǒng)稱為索-梁相關(guān)振動(dòng)。

若考慮拉索上同時(shí)發(fā)生了j（j=1，2，3，…）階模態(tài)的大幅振動(dòng)，拉索的振型函數(shù)v（x，t）為[1]

v（x，t）=ji=1Visin（iπxl）

（1）

式中：Vi為拉索振動(dòng)響應(yīng)函數(shù)；sin（·）為拉索的振型函數(shù)；x為拉索上某一點(diǎn)的位置坐標(biāo)；l為拉索兩端點(diǎn)之間的距離。

由圖1中的理論模型及文獻(xiàn)[16]的方法，可以推導(dǎo)得到拉索在端點(diǎn)位移激勵(lì)作用下第n（n∈[1，j]）階振動(dòng)的單自由度非線性振動(dòng)方程為

n+2εωnn+ω2nVn+a1Vn+a2V2n+

a3V3n+a4+B=F

（2）

其中

ω2n=-（Hcnmen+EAdnanlemen）

a1=-EAcnmen[ΔUX（t）l0+ΔU2Y（t）2l20]

a2=-EA（2ancn+bndn）2menle

a3=-EAbncn2menle

a4=-EAdnmen[ΔUX（t）l0+ΔU2Y（t）2l20]

F=-fnenΔY（t）

B=B1+B2

B1=-EAVncnlemen[ji=1Viai-Vnan+

12（ji=1V2ibi-V2nbn）]

B2=-EAdnlemen[ji=1Viai-Vnan+

12（ji=1V2ibi-V2nbn）]

式中：H為拉索在自重靜力狀態(tài)下的軸力；le為拉索長(zhǎng)度的換算值；l0為拉索的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度；E為彈性模量；A為拉索截面面積；m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量；n為模態(tài)階數(shù)；Vn為拉索第n階振動(dòng)響應(yīng)；ωn為拉索第n階自振頻率；ε為全橋結(jié)構(gòu)阻尼比；a1為邊界條件變動(dòng)造成的參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)；a2為由垂度效應(yīng)導(dǎo)致的非線性項(xiàng)系數(shù)；a3為由大幅振動(dòng)位移導(dǎo)致的非線性項(xiàng)系數(shù)；a4為由于垂度效應(yīng)使軸向力在橫向產(chǎn)生的外激勵(lì)；F為由拉索橫向位移加速度導(dǎo)致的橫向外激勵(lì)；B為拉索上包含的j階模態(tài)中其他階模態(tài)的大幅振動(dòng)對(duì)第n階模態(tài)振動(dòng)方程的影響。

對(duì)于第n階模態(tài)，設(shè)模態(tài)函數(shù)為sin（nπx/l），可以推導(dǎo)得到上述各系數(shù)分別為

an=-lmgcos（θ）[cos（nπ）-1]nHπ，bn=n2π22l，cn=-n2π22l，dn=lmgcos（θ）[cos（nπ）-1]nHπ，en=l2，fn=-lcos（nπ）nπ

式中：g為重力加速度。

不同于文獻(xiàn)[1]，[10]，[15]的推導(dǎo)，本文拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)作用下非線性振動(dòng)方程式（2）中多了B這一項(xiàng)，B表示拉索上包含的j階模態(tài)中其他階模態(tài)的大幅振動(dòng)對(duì)第n階模態(tài)振動(dòng)方程的影響。

由文獻(xiàn)[1]，[16]可知，平面拉索大幅振動(dòng)動(dòng)拉力h為

h=EAle（∫l0yxvxdx+12∫l0v2xdx）

（3）

式中：vx為對(duì)拉索局部坐標(biāo)系下的x坐標(biāo)求導(dǎo)。

將式（1）代入式（3），將拉索下垂曲線y近似為拋物線[18]，可以得到拉索上同時(shí)存在j階振動(dòng)時(shí)拉索非線性振動(dòng)的動(dòng)拉力表達(dá)式為

h=EAle{2mglcos（θ）πHji=1[1-cos（iπ）]Vi2i+

π24lji=1（iVi）2}

（4）

1.2 索動(dòng)力單元

基于拉索的直桿單元開(kāi)發(fā)索動(dòng)力單元，其單元?jiǎng)偠?、質(zhì)量矩陣與一般直桿單元相同[19]。當(dāng)考慮索-梁相關(guān)振動(dòng)時(shí)，有限元整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程為

M（t）+C（t）+Kδ（t）=F（t）+Fc（t）

（5）

式中：M為結(jié)構(gòu)總體質(zhì)量矩陣；K為總體剛度矩陣；C為總體阻尼矩陣；F（t）為結(jié)構(gòu)上的總體外力向量；Fc（t）為在每一步計(jì)算中拉索非線性振動(dòng)造成的等效總體節(jié)點(diǎn)外力向量；（t），（t），δ（t）分別為結(jié)構(gòu)的加速度向量、速度向量和位移向量。

在本文編制的有限元計(jì)算程序中，為了使用索動(dòng)力單元計(jì)算拉索振動(dòng)，需要在有限元建模時(shí)通過(guò)設(shè)置，將某一根直桿單元標(biāo)記為索動(dòng)力單元，并設(shè)置拉索振動(dòng)包含的模態(tài)階數(shù)。

在動(dòng)力特性計(jì)算中，程序會(huì)提取拉索靜力構(gòu)型下的軸力，根據(jù)式（2）各參數(shù)中拉索自振頻率計(jì)算公式來(lái)計(jì)算拉索各階自振頻率。

在動(dòng)力時(shí)程計(jì)算中，程序首先根據(jù)拉索靜力構(gòu)型下的軸力計(jì)算索動(dòng)力單元中拉索振動(dòng)方程式（1）的各個(gè)參數(shù)，然后在積分步循環(huán)中提取單元兩端的位移響應(yīng)，根據(jù)式（1）使用4階Runge-Kutta數(shù)值積分方法計(jì)算拉索各階模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)，再根據(jù)式（4）疊加各個(gè)模態(tài)振動(dòng)造成的拉索動(dòng)拉力，按照式（5）計(jì)入有限元總體節(jié)點(diǎn)力中，從而計(jì)算得到拉索大幅度非線性振動(dòng)與整體結(jié)構(gòu)振動(dòng)的互相作用。

在方程式（1）的建模過(guò)程中，拉索單元局部坐標(biāo)系的解析方程建模坐標(biāo)始終保持不變，而有限元模型單元坐標(biāo)系中單元始末端可能不同，拉索的傾斜方向不同導(dǎo)致有限元單元坐標(biāo)系的變化。在有限元計(jì)算中，提取節(jié)點(diǎn)在總體坐標(biāo)系下的位移、速度、加速度后，程序自動(dòng)按圖2所示轉(zhuǎn)換到理論方程建模坐標(biāo)系，以保證端點(diǎn)位移激勵(lì)的方向與理論方程式（1）的描述相統(tǒng)一，這樣才能得到正確的拉索振動(dòng)力，然后按照有限元法的規(guī)則得到拉索非線性振動(dòng)力造成的單元節(jié)點(diǎn)力向量。

1.3 算法流程

斜拉橋全橋模型使用Newmark-β法動(dòng)力時(shí)程積分[19]計(jì)算列車(chē)通過(guò)時(shí)動(dòng)力荷載作用下的索-梁相關(guān)振動(dòng)，本文程序基本計(jì)算流程見(jiàn)圖3。

由圖3可以看出，由于在有限元Newmark-β法動(dòng)力時(shí)程計(jì)算中計(jì)入了各拉索大幅度非線性振動(dòng)的動(dòng)拉力導(dǎo)致的總體節(jié)點(diǎn)力，結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)時(shí)拉索與整體有限元結(jié)構(gòu)振動(dòng)是相互影響的。

當(dāng)列車(chē)過(guò)橋時(shí)，在每一步動(dòng)力時(shí)程積分中提取的拉索端點(diǎn)位移反映了列車(chē)荷載對(duì)拉索的作用。拉索索力（對(duì)應(yīng)端點(diǎn)位移變化）導(dǎo)致的振動(dòng)狀態(tài)變化在式（2）的參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)中可以體現(xiàn)出來(lái)。為了修正列車(chē)過(guò)橋時(shí)結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的變化，在動(dòng)力時(shí)程計(jì)算每個(gè)時(shí)間步中首先計(jì)算列車(chē)通過(guò)時(shí)拉索索力的增量，然后計(jì)算每個(gè)索動(dòng)力單元的應(yīng)力剛度矩陣，再疊加到自重靜力構(gòu)型狀態(tài)的總體剛度矩陣上。

由于本文主要研究橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，所以在計(jì)算中模擬列車(chē)通過(guò)橋梁時(shí)，列車(chē)模型使用了較為簡(jiǎn)單的平面雙軸模型。列車(chē)與橋梁的耦合振動(dòng)作用迭代計(jì)算方法與文獻(xiàn)[20]相同，如圖4所示。

2 算例分析

對(duì)于大跨度鐵路斜拉橋，列車(chē)通過(guò)時(shí)的動(dòng)力荷載是一個(gè)長(zhǎng)期荷載，如果由于橋梁結(jié)構(gòu)本身的特性，索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致較大幅度的拉索振動(dòng)，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)安全是一個(gè)較大的威脅[21]。本文以具有代表性的天興洲大橋南汊主橋?yàn)檠芯繉?duì)象，考察其在列車(chē)通過(guò)時(shí)索-梁相關(guān)振動(dòng)的特性。天興洲大橋各設(shè)計(jì)參數(shù)可參考文獻(xiàn)[17]。

2.1 拉索與全橋的動(dòng)力特性

使用本文程序建立了天興洲大橋簡(jiǎn)化的二維有限元模型（圖5），主梁、橋塔使用平面梁?jiǎn)卧M，單元參數(shù)按照實(shí)際橋梁的設(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)?yè)Q算。由于天興洲大橋?yàn)槿髅娴男崩瓨?，拉索處使?根重合的索動(dòng)力單元，各拉索編號(hào)如圖5所示。全橋共202個(gè)節(jié)點(diǎn)，549個(gè)單元。

有限元模型的各約束設(shè)置為：各橋塔、橋墩底部完全約束，主梁兩端約束Y0方向（豎向），主梁跨中約束X0方向（橫向），塔梁連接處使用桿單元連接模擬支座。重力加速度g=9.8 m·s-2，拉索阻尼比設(shè)置為ε=0.001。文獻(xiàn)[20]認(rèn)為對(duì)于鋼橋全橋結(jié)構(gòu)阻尼比可設(shè)置為ε=0.02，為了得到偏于安全的結(jié)果，本文設(shè)置偏小的全橋結(jié)構(gòu)阻尼比ε=0.01。

使用本文程序計(jì)算得到全橋在自重靜力狀態(tài)下的前6階模態(tài)，如圖6所示。

由圖6可以看出，由于天興洲大橋的主梁剛度較大，整體結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)以主梁的振動(dòng)為主。本文計(jì)算得到的全橋面內(nèi)自振頻率與文獻(xiàn)[17]中的結(jié)果較為接近。

使用索動(dòng)力單元可以一次計(jì)算得到所有拉索的前n階自振頻率。全橋?yàn)閷?duì)稱結(jié)構(gòu)，全橋整體前10階自振頻率與第1～36號(hào)拉索的前2階自振頻率對(duì)比如圖7所示，其中，J1表示全橋第1階自振頻率，其余類推。

由圖7可以看出，對(duì)于天興洲大橋，全橋振動(dòng)的1階自振頻率接近跨中最長(zhǎng)的32號(hào)拉索的1階自振頻率（0.430 1 Hz），全橋振動(dòng)的2階自振頻率接近部分拉索的1階自振頻率，而全橋的3階自振頻率也接近部分拉索的2階自振頻率等。

由圖7還可以看出，按照頻率匹配的原則[1]，從理論上可以判斷，由于跨中最長(zhǎng)的32號(hào)拉索1階自振頻率接近全橋的1階自振頻率，主梁發(fā)生振動(dòng)時(shí)，索-梁相關(guān)振動(dòng)導(dǎo)致拉索發(fā)生大幅共振的可能性是最大的。筆者認(rèn)為列車(chē)通過(guò)時(shí)動(dòng)力荷載作用下是否容易導(dǎo)致拉索產(chǎn)生較大幅度的振動(dòng)需要通過(guò)計(jì)算才能明確判斷。

2.2 外激勵(lì)作用下斜拉橋索-梁相關(guān)振動(dòng)特性

為了討論拉索產(chǎn)生大幅度索-梁相關(guān)振動(dòng)時(shí)全橋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，在模型跨中最長(zhǎng)的32號(hào)拉索主梁上端點(diǎn)處施加動(dòng)態(tài)力P=P0sin（ωt）（P0為力的幅值，ω為激勵(lì)頻率），見(jiàn)圖8。

根據(jù)非線性振動(dòng)理論可知[1-10]，拉索發(fā)生2∶1的參數(shù)共振相對(duì)于1∶1的主共振需要更大的外激勵(lì)頻率。本文只考慮主共振的情況，探討拉索發(fā)生大幅索-梁相關(guān)振動(dòng)時(shí)橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。

由拉索非線性振動(dòng)理論可知，當(dāng)端點(diǎn)位移激勵(lì)頻率接近拉索的1階自振頻率時(shí)，拉索容易在索-梁相關(guān)振動(dòng)的作用下發(fā)生1∶1的主共振。設(shè)P0=-5×105 N，激勵(lì)頻率ω=0.430 Hz，接近跨中最長(zhǎng)拉索的1階自振頻率。在動(dòng)力時(shí)程積分中取時(shí)間步長(zhǎng)為0.02 s，共計(jì)算12 500步。使用索動(dòng)力單元，得到各拉索的1階最大響應(yīng)（最大振動(dòng)響應(yīng)絕對(duì)值），如圖9所示。

從圖9可以看出，32號(hào)拉索與33號(hào)拉索發(fā)生較大幅度的1階振動(dòng)，根據(jù)加載條件，可以判斷拉索在索-梁相關(guān)振動(dòng)的作用下發(fā)生1階主共振。

由于斜拉橋?yàn)橐粋€(gè)整體結(jié)構(gòu)，所以外激勵(lì)能量通過(guò)主梁與橋塔傳遞，導(dǎo)致全橋中與32號(hào)拉索自振頻率接近的各拉索（1，33，64號(hào)拉索）都發(fā)生了較為明顯的1階振動(dòng)。

得到32號(hào)拉索的1階振動(dòng)響應(yīng)（圖2中的局部坐標(biāo)系下）以及拉索在主梁（節(jié)點(diǎn)39豎向振動(dòng)）、橋塔上（節(jié)點(diǎn)177橫向振動(dòng)）端點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)程、頻譜曲線如圖10，11所示，其中，f為頻率。

由圖10，11可以看出，當(dāng)外激勵(lì)造成拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)頻率接近拉索的1階自振頻率時(shí)，即使橋梁端點(diǎn)位移激勵(lì)幅值較小，拉索也發(fā)生了較為明顯的1階主共振。拉索與主梁的振動(dòng)體現(xiàn)了較為明顯的非線性振動(dòng)“拍振”現(xiàn)象[1]。

根據(jù)本文的研究，對(duì)于大跨度鐵路斜拉橋，如果列車(chē)動(dòng)力荷載造成拉索端點(diǎn)的位移激勵(lì)頻率接近拉索的自振頻率，則索-梁相關(guān)振動(dòng)必然會(huì)導(dǎo)致拉索發(fā)生較大幅度的共振。

2.3 列車(chē)通過(guò)時(shí)的全橋索-梁相關(guān)振動(dòng)

與文獻(xiàn)[20]類似，本文研究采用的列車(chē)模型為CRH2動(dòng)車(chē)組平面雙軸模型，共10節(jié)車(chē)廂，動(dòng)力時(shí)程計(jì)算時(shí)空間步長(zhǎng)取為0.15 m，時(shí)間步長(zhǎng)按照車(chē)速與空間步長(zhǎng)進(jìn)行換算，軌道高低不平順采用美國(guó)6級(jí)譜進(jìn)行模擬，考慮拉索非線性振動(dòng)包含前4階模態(tài)。

以列車(chē)通過(guò)天興洲大橋的最高設(shè)計(jì)時(shí)速250 km·h-1為上限，每隔10 km·h-1計(jì)算1次列車(chē)通過(guò)天興洲大橋時(shí)的振動(dòng)狀態(tài)，共計(jì)算25次，從列車(chē)第1輪對(duì)進(jìn)入橋梁開(kāi)始計(jì)算，列車(chē)完全通過(guò)橋梁后第1輪對(duì)行駛至1 546 m時(shí)計(jì)算結(jié)束。

根據(jù)本文計(jì)算方法得到各拉索1，2階振動(dòng)最大響應(yīng)與列車(chē)速度的關(guān)系，如圖12所示，即列車(chē)過(guò)橋時(shí)各拉索1，2階振動(dòng)位移響應(yīng)最大絕對(duì)值。

從圖12（a）可知，邊跨和跨中較長(zhǎng)拉索在列車(chē)作用下有相對(duì)較為明顯的響應(yīng)，隨著列車(chē)速度的增加，各拉索1階最大響應(yīng)的整體特性并無(wú)明顯變化，只是隨著列車(chē)速度的增加有了相對(duì)較小的增加。由圖12（b）可以看出，拉索的2階最大響應(yīng)分布規(guī)律相對(duì)不明顯，不同列車(chē)速度下拉索的2階響應(yīng)都很小。

為了考察不同速度下跨中最長(zhǎng)拉索（32號(hào)拉索）在圖2中拉索局部坐標(biāo)系下的振動(dòng)響應(yīng)，以列車(chē)第1輪對(duì)位置為橫坐標(biāo)，繪制出在不同速度下一列列車(chē)通過(guò)天興洲大橋時(shí)拉索的1階振動(dòng)響應(yīng)，如圖13所示。

由圖13可以看出，跨中最長(zhǎng)拉索在列車(chē)達(dá)到橋梁跨中（650 m處）時(shí)拉索有最大響應(yīng)。當(dāng)列車(chē)速度較小時(shí)，通過(guò)橋梁后拉索的周期振動(dòng)不明顯，當(dāng)列車(chē)速度較大時(shí)，通過(guò)橋梁后拉索有較小的周期振動(dòng)，幅值很小（約為0.01 m）。

以列車(chē)第1輪對(duì)位置為橫坐標(biāo)，繪制出不同速度下一列列車(chē)通過(guò)天興洲大橋時(shí)32號(hào)拉索在主梁上的端部節(jié)點(diǎn)（靠近主梁1/2點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)39）的豎向振動(dòng)響應(yīng)，如圖14所示。

從圖14可以看出，隨著列車(chē)速度的增加，在設(shè)計(jì)速度250 km·h-1范圍內(nèi)，列車(chē)經(jīng)過(guò)橋梁時(shí)主梁的振動(dòng)響應(yīng)特性是接近的。列車(chē)以較快速度通過(guò)橋梁時(shí)主梁有相對(duì)較為明顯的周期振動(dòng)，但幅值很小。

本文模擬的軌道不平順中包含較高的頻率成分，但靠近主梁1/2點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)39響應(yīng)曲線較為平滑，這說(shuō)明由于天興洲大橋主梁質(zhì)量較大，軌道不平順導(dǎo)致的列車(chē)振動(dòng)力相對(duì)較小，對(duì)主梁作用不明顯。3 計(jì)算結(jié)果分析與討論

由以上分析可以看出，盡管跨中最長(zhǎng)拉索較接近全橋的1階自振頻率，但對(duì)于天興洲大橋，列車(chē)在設(shè)計(jì)時(shí)速范圍內(nèi)通過(guò)橋梁時(shí)各拉索并未觀察到大幅度的索-梁相關(guān)振動(dòng)現(xiàn)象。

根據(jù)本文第2節(jié)中的討論以及文獻(xiàn)[1]，[10]中的研究，斜拉橋上的拉索如果在端點(diǎn)位移激勵(lì)下發(fā)生較大幅度的振動(dòng)，激勵(lì)必須滿足的條件為：①拉索端點(diǎn)具有相對(duì)較大激勵(lì)幅值；②端點(diǎn)位移激勵(lì)頻率與拉索自振頻率達(dá)到1∶1（主共振）或2∶1（參數(shù)共振）的匹配。筆者認(rèn)為列車(chē)經(jīng)過(guò)橋梁時(shí)，動(dòng)力荷載未導(dǎo)致拉索發(fā)生較大幅度振動(dòng)的原因在于列車(chē)通過(guò)時(shí)端點(diǎn)位移激勵(lì)未達(dá)到上述條件。

從圖14還可以看出，列車(chē)通過(guò)時(shí)拉索端部節(jié)點(diǎn)最大響應(yīng)約為0.05 m，端點(diǎn)位移激勵(lì)幅值已經(jīng)達(dá)到激發(fā)共振的條件[1]。拉索雖然在列車(chē)通過(guò)時(shí)有較為明顯的響應(yīng)，但周期振動(dòng)響應(yīng)很?。▓D12）。因此，拉索未發(fā)生大幅振動(dòng)的主要原因在于列車(chē)作用下拉索的端點(diǎn)位移激勵(lì)頻率相對(duì)拉索的自振頻率較小。

列車(chē)作用下等效外激勵(lì)頻率與其通過(guò)速度有關(guān)，列車(chē)速度越快，等效外激勵(lì)頻率越高。提取列車(chē)以最高速度250 km·h-1通過(guò)橋梁時(shí)32號(hào)拉索主梁上端節(jié)點(diǎn)39的振動(dòng)時(shí)程與頻譜曲線，如圖15所示。

從圖15可以看出，列車(chē)作用下32號(hào)拉索在主梁上端節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)幅值相對(duì)較大，但造成的等效外激勵(lì)頻率較小，主梁上拉索端點(diǎn)振動(dòng)頻率僅為0.044 9 Hz，而拉索的1階自振頻率為0.430 1 Hz，頻率的差別較為明顯。因此，列車(chē)經(jīng)過(guò)橋梁時(shí)拉索的振動(dòng)響應(yīng)更接近一個(gè)靜力過(guò)程，如圖16所示。

文獻(xiàn)[22]針對(duì)列車(chē)引起橋梁共振的問(wèn)題作了一系列的討論，筆者研究發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[22]中的計(jì)算方法僅適用于簡(jiǎn)支梁的計(jì)算，并不適用于大跨度橋梁。究其主要原因是：從直觀上來(lái)看，相對(duì)于小跨度的簡(jiǎn)支梁，列車(chē)的長(zhǎng)度對(duì)于大跨度鐵路斜拉橋全橋是較短的，大跨度斜拉橋主梁是較柔的，二者的整體宏觀性質(zhì)差別較為明顯。

天興洲大橋全橋1階振動(dòng)的振型以中跨1階正對(duì)稱振動(dòng)為主（圖6）。從直觀上來(lái)看，對(duì)于對(duì)稱的大跨度橋梁，列車(chē)在橋梁1階振動(dòng)的1個(gè)周期內(nèi)通過(guò)橋梁跨中時(shí)可能造成橋梁共振而導(dǎo)致主梁大幅度的振動(dòng)。

已知天興洲大橋跨中長(zhǎng)度為504 m，全橋的1階自振頻率為0.378 Hz，故列車(chē)引起橋梁共振的速度為685.8 km·h-1。設(shè)定一列列車(chē)經(jīng)過(guò)橋梁的速度為686 km·h-1，其他設(shè)置不變，得到列車(chē)通過(guò)橋梁時(shí)32號(hào)拉索和拉索梁上端點(diǎn)（靠近主梁1/2點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)39）的振動(dòng)時(shí)程曲線和頻譜曲線，見(jiàn)圖17。

從圖17可以看出，當(dāng)列車(chē)以686 km·h-1的速度通過(guò)橋梁時(shí)，節(jié)點(diǎn)39振動(dòng)頻率成分以接近全橋1階頻率0.378 Hz為主。這說(shuō)明列車(chē)在該速度下，列車(chē)的等效外激勵(lì)頻率接近了全橋的1階自振頻率，車(chē)橋耦合作用下全橋結(jié)構(gòu)發(fā)生了明顯的1階共振。跨中最長(zhǎng)拉索由于1階自振頻率較為接近梁上端節(jié)點(diǎn)振動(dòng)頻率，發(fā)生了相對(duì)較為明顯的振動(dòng)，幅值接近0.15 m。

對(duì)于天興洲大橋，列車(chē)通過(guò)橋梁的最高設(shè)計(jì)速度為250 km·h-1，由以上分析可以判斷，列車(chē)的設(shè)計(jì)速度遠(yuǎn)小于造成斜拉橋主梁發(fā)生較大幅值與較高頻率振動(dòng)的速度，在列車(chē)動(dòng)力荷載的作用下斜拉橋拉索端點(diǎn)位移激勵(lì)頻率不會(huì)與拉索自振頻率達(dá)到1∶1或2∶1的頻率匹配，拉索不具備發(fā)生大幅度索-梁相關(guān)振動(dòng)的條件。4 結(jié) 語(yǔ)

（1）計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于天興洲大橋這樣具有代表性的大跨度鐵路斜拉橋，在設(shè)計(jì)速度范圍內(nèi)，列車(chē)過(guò)橋的動(dòng)力荷載作用對(duì)橋梁造成的等效外激勵(lì)頻率較低，拉索端點(diǎn)振動(dòng)頻率不會(huì)達(dá)到拉索發(fā)生1∶1主共振或2∶1參數(shù)共振的條件。索-梁相關(guān)振動(dòng)不會(huì)導(dǎo)致拉索發(fā)生大幅度振動(dòng)。拉索的響應(yīng)接近一個(gè)靜力過(guò)程（列車(chē)速度較大時(shí)僅發(fā)生很小幅度的周期振動(dòng)），本文認(rèn)為該拉索是安全的。

（2）由于大跨度鐵路斜拉橋主梁質(zhì)量通常很大，軌道不平順導(dǎo)致的列車(chē)振動(dòng)力相對(duì)很小，盡管本文模擬的軌道不平順包含一些高頻率的成分，但不會(huì)導(dǎo)致橋梁發(fā)生共振，橋梁的動(dòng)力響應(yīng)主要來(lái)源于列車(chē)過(guò)橋時(shí)在自重作用下的沖擊力作用。

（3）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，筆者建議在一般斜拉橋的設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)使全橋各拉索中最低的1階自振頻率（通常是最長(zhǎng)拉索）超過(guò)全橋整體結(jié)構(gòu)的2階自振頻率，這樣是更為安全的。對(duì)于大跨度斜拉橋，由于主梁質(zhì)量較大，全橋整體結(jié)構(gòu)自振頻率較小，這個(gè)條件通常是自然滿足的。對(duì)于某些特殊的斜拉橋，如跨度小、主梁質(zhì)量小、索力小、拉索自振頻率也相對(duì)較小的人行斜拉橋，應(yīng)當(dāng)按照上述原則充分考慮避免拉索局部頻率與整體結(jié)構(gòu)頻率的匹配。

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