劉德強(qiáng) 馮杰 李建平 王金成

1 中國科學(xué)院大氣物理研究所大氣科學(xué)和地球流體力學(xué)數(shù)值模擬國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100029

2 中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049

3 北京師范大學(xué)全球變化與地球系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京100875

4 全球變化研究協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100875

5 中國氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報(bào)中心，北京100081

6 福建省氣象臺，福州350001

1 引言

數(shù)值天氣預(yù)報(bào)模式方程組是一組非線性偏微分方程，一般不能求得解析解，多采用數(shù)值方法求其近似解。數(shù)值計(jì)算過程中會不可避免地引入截?cái)嗾`差和舍入誤差（von Neumann，1960）。前者的產(chǎn)生是由于離散化時(shí)使用了差分格式（Henrici，1962,1963; Gear, 1971），后者則是來源于計(jì)算機(jī)的有限精度這一固有屬性（Henrici, 1962, 1963; Wilkinson,1971）。一般情況下，初始時(shí)刻舍入誤差很小，但模型的長時(shí)間積分勢必會造成舍入誤差的累積，從而有可能改變真解的根本性質(zhì)（Quinn, 1983; Skeel,1992）。20世紀(jì)末，Li et al. (2000，2001) 研究了舍入誤差對非線性常微分方程解的影響，驗(yàn)證了最長積分時(shí)間和最優(yōu)時(shí)間步長的存在，并且提出了“計(jì)算不確定性原理”的概念。王鵬飛和黃剛（2006）研究了數(shù)值模式的預(yù)報(bào)時(shí)效與計(jì)算精度和時(shí)間步長的依賴關(guān)系。穆穆等（2002）指出模式的可預(yù)報(bào)性研究必須考慮機(jī)器精度的影響。

對于復(fù)雜的數(shù)值天氣預(yù)報(bào)模式，在利用差分方案對其進(jìn)行離散化的時(shí)候，時(shí)間步長與空間分辨率的選取均會影響截?cái)嗾`差和舍入誤差等，從而對預(yù)報(bào)技巧產(chǎn)生影響。李勇和王雨（2007）比較了不同空間分辨率對 GRAPES_MESO預(yù)報(bào)效果的影響；劉寶超等人（2013）在研究數(shù)值模式對于長江口海域M2分潮的模擬中發(fā)現(xiàn)，空間分辨率的調(diào)整對于潮汐的模擬技巧具有重要影響。從模式運(yùn)行穩(wěn)定度的角度來看，柯朗條件是模式數(shù)值求解收斂的必要條件，它要求時(shí)間步長和空間分辨率必須相協(xié)調(diào)，才能保證積分的穩(wěn)定性。因此，研究不同時(shí)間步長與空間分辨率對模式預(yù)報(bào)效果的影響及二者間的協(xié)調(diào)關(guān)系具有重要意義。

針對時(shí)間步長的影響，前人提出計(jì)算不確定性原理，指出非線性常微分方程組求解中存在最優(yōu)時(shí)間步長使得預(yù)報(bào)效果最好，但是這一結(jié)論在非線性偏微分方程組中是否仍然適用則需要進(jìn)一步驗(yàn)證。中國氣象局的區(qū)域中尺度模式GRAPES_MESO自2004年3月發(fā)布以來，經(jīng)過不斷地系統(tǒng)完善、效能評估和優(yōu)化改進(jìn)（李勇和王雨，2007；陳德輝等，2008；徐國強(qiáng)等，2008），如今已在業(yè)務(wù)上運(yùn)行，并且得到廣泛的應(yīng)用。本文的主要工作就是利用GRAPES_MESO業(yè)務(wù)模式研究時(shí)間步長和空間分辨率對于模式預(yù)報(bào)效果的影響。利用這一業(yè)務(wù)模式進(jìn)行研究可以對其有效積分和預(yù)報(bào)提供指導(dǎo)和改進(jìn)，具有實(shí)際意義。

2 計(jì)算不確定性原理

計(jì)算不確定性原理由Li et al. (2000, 2001) 提出，它反映了微分方程數(shù)值計(jì)算中由數(shù)值方法的不準(zhǔn)確導(dǎo)致的不確定性與由機(jī)器精度有限帶來的不確定性之間的關(guān)系。其理論和數(shù)值研究結(jié)果表明(Li et al., 2000, 2001; 李建平, 2000)，截?cái)嗾`差和舍入誤差隨步長的變化是反向的，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中Δe和Δr分別代表截?cái)嗾`差和舍入誤差，C和η在機(jī)器精度有限時(shí)為正數(shù)。從公式可以看出，截?cái)嗾`差和舍入誤差可以被看作是一對“共軛”量，其中一個(gè)量不確定性的減小，必然導(dǎo)致其共軛量不確定性的增大，在實(shí)踐中，由于機(jī)器精度的限制，舍入誤差不可避免的存在，因此Δe和Δr不可能同時(shí)趨近于零，所以總誤差不可能任意的小 (Li et al.,2000, 2001; 李建平, 2000)。這兩種不確定性之間存在的固有關(guān)系，使得數(shù)值解的有效區(qū)間長度受到限制，所以必然存在最大有效計(jì)算時(shí)間T，在區(qū)間 [0，T] 內(nèi)數(shù)值解可以較好的表現(xiàn)出來，而最大有效計(jì)算時(shí)間對應(yīng)的時(shí)間步長則為最優(yōu)時(shí)間步長，此時(shí)預(yù)報(bào)總誤差最小 (Li et al., 2000, 2001; 李建平, 2000)。

計(jì)算不確定性原理從理論上給出了達(dá)到模式最好預(yù)報(bào)效果的途徑。它強(qiáng)調(diào)了在現(xiàn)有初始誤差和模式誤差的水平下，空間分辨率和時(shí)間步長的選取對于預(yù)報(bào)效果的重要性。最合適的空間分辨率及與之匹配的時(shí)間步長將最大程度地提高模式的預(yù)報(bào)技巧，尤其是對于業(yè)務(wù)模式具有更重要的意義。

3 模式簡介、試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)和評估方法

本文選用的模式版本為GRAPES_MESO 3.0。關(guān)于 GRAPES_MESO詳細(xì)的介紹可參考薛紀(jì)善和陳德輝（2008）的專著。

由于2011年8月期間發(fā)生的超強(qiáng)臺風(fēng)“梅花”具有強(qiáng)度大、影響范圍廣、路徑難預(yù)測等特點(diǎn)，給人們的生命、經(jīng)濟(jì)和財(cái)產(chǎn)安全造成了重大損失，所以本文選取了該時(shí)段內(nèi)的 16個(gè)積分穩(wěn)定的數(shù)值回報(bào)試驗(yàn)個(gè)例進(jìn)行評估，每個(gè)個(gè)例的起始時(shí)刻均為12時(shí)（北京時(shí)，下同），積分132小時(shí)（5天半），每12小時(shí)輸出一次。為了使結(jié)果更有說服力，除了對所有個(gè)例平均的結(jié)果進(jìn)行了分析，還選取了此次臺風(fēng)事件發(fā)展強(qiáng)盛時(shí)期的一個(gè)個(gè)例（8月5日12時(shí)）進(jìn)行了單獨(dú)分析。分析的變量分別是700 hPa、500 hPa和200 hPa的位勢高度場H，溫度場T，風(fēng)場緯向分量U, 經(jīng)向分量V和地面的降水場。分析的區(qū)域?yàn)椋?5°N～64.2°N，70°E～145°E）。

本文著重于給定模式物理過程條件下，時(shí)間步長和空間分辨率對于預(yù)報(bào)效果的影響。首先研究了給定空間分辨率[0.3°×0.3°（經(jīng)度×緯度）]時(shí)，不同時(shí)間步長對預(yù)報(bào)效果的影響。隨后取出空間分辨率為0.3°×0.3°時(shí)對應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間步長的預(yù)報(bào)結(jié)果，與目前業(yè)務(wù)中空間分辨率為 0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行比較。在本文的試驗(yàn)中沒有使用 GRAPES_MESO中的同化系統(tǒng)，而是直接利用 T213得到區(qū)域模式積分的初始場和邊界條件，將 GRAPES_MESO的初始場作為真實(shí)場與模式預(yù)報(bào)的結(jié)果進(jìn)行比較。

本文采用均方根誤差（RMSE）和距平相關(guān)系數(shù)（ACC）兩個(gè)指標(biāo)，對各變量的預(yù)報(bào)場和分析場的一致性進(jìn)行評估。其公式如下：

這里，M代表模式的模擬結(jié)果，O代表分析場，N為總的格點(diǎn)數(shù)。在計(jì)算時(shí)，均考慮了格點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)cosα，α為格點(diǎn)的緯度。對于地面降水場采用降水客觀評分方法（Threat Score, TS和Bias Score,BIAS）進(jìn)行檢驗(yàn)（黃卓，2001; 王雨，2003），公式為

其中，Af代表模式預(yù)報(bào)的降水面積，Ao代表實(shí)際觀測的降水面積，Ac代表模式預(yù)報(bào)正確（擊中）的降水面積。TS評分方法是衡量降水預(yù)報(bào)水平的重要標(biāo)準(zhǔn)，但是容易忽視降水的空報(bào)和漏報(bào)現(xiàn)象，所以不能準(zhǔn)確了解模式降水預(yù)報(bào)的能力（管成功等，2006）。從圖1b和 1c可以看出，當(dāng)預(yù)報(bào)誤差較大（BIAS=2.0）時(shí)的TS評分（TS=0.5）要大于預(yù)報(bào)誤差較小（BIAS=1.0）時(shí)的結(jié)果（TS=0.3）。聯(lián)合公式（3）和（4）來看，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的可能原因是，較大的預(yù)報(bào)誤差會導(dǎo)致較大的預(yù)報(bào)降水面積，而預(yù)報(bào)面積增大就會增加隨機(jī)預(yù)報(bào)正確的站點(diǎn)數(shù)目，使得預(yù)報(bào)和觀測的交叉面積增大，進(jìn)而導(dǎo)致TS評分增大。因此在衡量不同時(shí)間步長和空間分辨率對應(yīng)的模式降水預(yù)報(bào)能力時(shí)，為了結(jié)果的客觀公平性，應(yīng)保證模式的預(yù)報(bào)降水面積相等，所以考慮對降水預(yù)報(bào)面積大即預(yù)報(bào)誤差大的結(jié)果進(jìn)行懲罰，采用TS/BIAS的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行檢驗(yàn)。此外，還利用絕對誤差方法考察了區(qū)域平均的模式預(yù)報(bào)降水總量與實(shí)際觀測的降水總量之間的差異。全國降雨檢驗(yàn)取400個(gè)雨量站。使用的實(shí)測資料來自全國400個(gè)臺站逐日24小時(shí)實(shí)況降水量。

4 模擬結(jié)果分析

4.1 不同時(shí)間步長對模擬的影響

空間分辨率為 0.3°×0.3°時(shí)，不同時(shí)間步長條件下，200、500和700 hPa對應(yīng)的位勢高度場H，溫度場T，風(fēng)場緯向分量U和經(jīng)向分量V的預(yù)報(bào)的RMSE隨時(shí)間的演變?nèi)鐖D2所示。有些時(shí)間步長出現(xiàn)未完全積分的情況，這是由于一些極大或極小的時(shí)間步長出現(xiàn)了積分不穩(wěn)定而溢出。最穩(wěn)定的步長是 120、180和 240 s。從圖2可以很明顯的看出三層的H,U,V以及高層的T均表現(xiàn)出一個(gè)共同的特征：隨著時(shí)間步長的增加，RMSE逐漸減??；而到了一定的時(shí)間步長240 s附近時(shí)，這種減小就非常不明顯，誤差曲線幾乎重合，甚至有的還有向相反方向增加的趨勢，這和計(jì)算不確定性原理中提到的最優(yōu)步長理論非常吻合。對于低層的溫度場，其呈現(xiàn)出了相反的規(guī)律，這可能是因?yàn)槟Ｊ轿锢磉^程與時(shí)間和空間分辨率在溫度變量上不匹配有關(guān)，需要進(jìn)一步分析。盡管如此，表1結(jié)果顯示，在采用最優(yōu)時(shí)間步長時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果相對時(shí)間步長為 120 s時(shí)的結(jié)果，接近90%的不同高度的變量預(yù)報(bào)技巧均

有改進(jìn)。其中，改進(jìn)最大的是高層的溫度場，其次是位勢高度場，風(fēng)場U，V的改進(jìn)相對較小。以上結(jié)果說明了最優(yōu)步長在復(fù)雜的偏微分方程組中的存在性，初步表明計(jì)算不確定性原理在復(fù)雜業(yè)務(wù)模式中的適用性。ACC的結(jié)果表現(xiàn)出同樣的規(guī)律（圖略）。結(jié)合積分穩(wěn)定性和統(tǒng)計(jì)評分，我們確定最優(yōu)時(shí)間步長為240 s。

圖1 模式預(yù)報(bào)降水和實(shí)際觀測降水呈（a-c）三種極端分布時(shí)對應(yīng)的TS評分和BIAS評分大小。Af代表模式預(yù)報(bào)降水面積，Ao代表實(shí)際觀測降水面積，Ac代表預(yù)報(bào)擊中的降水面積Fig. 1 (a-c) Values of threat score (TS) and BIAS corresponding to three kinds of extreme distributions of model forecasts and observed precipitation. Af, Ao,and Ac denote the forecast precipitation area, the actual observed precipitation area, and the common area between the two, respectively

圖2 空間分辨率為0.3°×0.3°時(shí)，不同時(shí)間步長條件下，200、500和700 hPa對應(yīng)的位勢高度場H、溫度場T、風(fēng)場緯向分量U和經(jīng)向分量V的預(yù)報(bào)場與分析場間所有個(gè)例集合平均的RMSE隨預(yù)報(bào)時(shí)間（單位：d）的演變。四列從左至右分別為位勢高度H、溫度場T和U、V風(fēng)場；三行從上至下分別為200、500和700 hPa。時(shí)間步長分別為60、90、120、180、240、300和360 sFig. 2 The RMSE averaged over all case studies between the forecasted and observed geopotential height (H) as a function of forecast time (d) at (a1) 200,(a2) 500, and (a3) 700 hPa. Panels (b1-b3), (c1-c3) and (d1-d3) are the same as (a1-a3), but for temperature (T) and the zonal (U) and meridional (V)components of wind, respectively. Time-step sizes were 60, 90, 120, 180, 240, 300, and 360 s. Spatial resolution was 0.3°×0.3°

表1 空間分辨率為0.3°×0.3°時(shí)，將時(shí)間步長從120 s替換為240 s后，200、500和700 hPa的位勢高度場（H）、溫度場（T）、緯向（U）和經(jīng)向（V）風(fēng)分量的預(yù)報(bào)場和分析場間的 RMSE變化百分率（正值代表預(yù)報(bào)改進(jìn)，負(fù)值代表預(yù)報(bào)下降）。H200、H500和H700分別代表位勢高度場在200、500和700 hPa上的結(jié)果，其他變量應(yīng)用溫度場、緯向和經(jīng)向風(fēng)場在200、500和700 hPa上的結(jié)果Table 1 Percentage change in the RMSE of forecasts(positive values indicate an improved forecast, negative values a worse forecast) of geopotential height (H),temperature (T), and the zonal (U) and meridional (V)components of wind at 200, 500, and 700 hPa after changing the time-step size from 120 to 240 s. Spatial resolution was 0.3°×0.3°. H200, H500 and H700 represent the result of geopotential height at 200, 500 and 700 hPa,repectively, while other variables represent that of temperature, the zonal and meridional components of wind.

進(jìn)一步地，為了更清楚地了解這種預(yù)報(bào)效果隨時(shí)間步長的變化，我們對預(yù)報(bào)誤差隨時(shí)間步長的變化做了剖面分析。如圖3所示，和圖2分析的結(jié)果類似，預(yù)報(bào)誤差具有隨時(shí)間步長的增大而減小的趨勢，并且這種現(xiàn)象在高層更為明顯。雖然時(shí)間步長較小時(shí)，離散積分更接近于偏微分方程中對于時(shí)間的連續(xù)積分，但積分次數(shù)的顯著增加，必然導(dǎo)致舍入誤差的增大。而選擇較大的時(shí)間步長時(shí)又會伴有截?cái)嗾`差的相應(yīng)增大，所以存在最優(yōu)的時(shí)間步長。并且較大或較小的時(shí)間步長都容易造成積分不穩(wěn)定，而最優(yōu)時(shí)間步長也是最穩(wěn)定的積分步長。

4.2 改變空間分辨率對模擬的影響

GRAPES_MESO不同空間分辨率對于臺風(fēng)模擬的結(jié)果表明高分辨率可以將臺風(fēng)的螺旋云帶模擬得更為精細(xì)（薛紀(jì)善和陳德輝，2008），但是是否分辨率越高預(yù)報(bào)效果越好，仍然需要一個(gè)定量的評估。目前GRAPES_MESO業(yè)務(wù)上采用0.15°×0.15°的空間分辨率和90 s的時(shí)間步長。本部分對業(yè)務(wù)預(yù)報(bào)結(jié)果與空間分辨率為0.3°×0.3°，時(shí)間步長為240 s時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行比較。如圖4所示，空間分辨率為 0.3°×0.3°時(shí)，無論是位勢高度H、氣溫T還是風(fēng)速U，V，在高中低三層的預(yù)報(bào)結(jié)果都比空間分辨率為 0.15°×0.15°時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果要好。整體來看，相對空間分辨率為0.15°×0.15°時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果，0.3°×0.3°時(shí)的預(yù)報(bào)對位勢高度場的改進(jìn)是最大的，溫度場其次，風(fēng)場最小。ACC的結(jié)果表現(xiàn)出同樣的規(guī)律（圖略）?？梢杂妙愃茣r(shí)間步長的原理來解釋，當(dāng)空間分辨率較高時(shí)，模式對差分格式的離散化越逼近連續(xù)微分的形式，舍入誤差越大；當(dāng)空間分辨率較低時(shí)，截?cái)嗾`差的影響又會加劇，所以空間分辨率提高可能會導(dǎo)致舍入誤差增大進(jìn)而使預(yù)報(bào)效果變差。但是我們必須考慮的是區(qū)域模式的最本質(zhì)的目的就是對中小尺度天氣現(xiàn)象的精細(xì)模擬，因此能夠令整體預(yù)報(bào)結(jié)果都較為精確的高分辨率才是最優(yōu)的。

4.3 對降水預(yù)報(bào)結(jié)果的評估

降水預(yù)報(bào)的正確與否對人類的生產(chǎn)和生活活動(dòng)更具有現(xiàn)實(shí)意義。本部分針對該試驗(yàn)里不同空間分辨率和時(shí)間步長條件下模式的降水預(yù)報(bào)能力進(jìn)行了重點(diǎn)評估。

所有個(gè)例平均的降水 TS/BIAS值隨時(shí)間的變化如圖5所示。針對 0.3°×0.3°時(shí)的不同時(shí)間步長及業(yè)務(wù)預(yù)報(bào)的結(jié)果，分別對小雨（≥0.1 mm）、中雨（≥10 mm）和大雨（≥25 mm）三個(gè)雨量等級進(jìn)行了檢驗(yàn)。由于在該試驗(yàn)中，模式對于暴雨（≥50 mm）和大暴雨（≥100 mm）預(yù)報(bào)能力不好，所以略去了對該等級降水的檢驗(yàn)。從結(jié)果可知，當(dāng)空間分辨率為 0.3°×0.3°時(shí)，三個(gè)雨量等級降水的TS/BIAS值均隨著時(shí)間步長的增大而增大，并且在時(shí)間步長為240 s附近變化非常小，這與變量H、T、U和V類似。而且隨著時(shí)間步長增加，積分穩(wěn)定度減小，所以240 s為最優(yōu)時(shí)間步長。空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為 90 s時(shí)的業(yè)務(wù)預(yù)報(bào)的TS/BIAS值明顯小于空間分辨率為 0.3°×0.3°、時(shí)間步長為240 s時(shí)的值，表明并非是模式空間分辨率越高，降水的預(yù)報(bào)效果越好。所有個(gè)例平均的觀測降水和模式預(yù)報(bào)降水間 RMSE隨時(shí)間的演化亦表現(xiàn)出了相同的規(guī)律（圖略），說明給定物理過程的參數(shù)方案，空間分辨率相同時(shí)，存在最優(yōu)的時(shí)間步長能夠使得降水預(yù)報(bào)評分最高、預(yù)報(bào)誤差最??；空間分辨率不同時(shí)，各自最優(yōu)時(shí)間步長對應(yīng)的降水預(yù)報(bào)結(jié)果，并非是空間分辨率越高時(shí)降水預(yù)報(bào)技巧越高。

圖3 空間分辨率為0.3°×0.3°時(shí)，三個(gè)垂直層次的各個(gè)變量在不同預(yù)報(bào)時(shí)刻的預(yù)報(bào)場和分析場間的RMSE隨時(shí)間步長的變化。四列從左至右分別對應(yīng)位勢高度場H、溫度場T和U、V風(fēng)場；四行從上而下分別是預(yù)報(bào)24、36、48、60 h的結(jié)果。空心圓圈實(shí)線代表的是200 hPa，實(shí)心圓點(diǎn)實(shí)線代表的是500 hPa，空心方框?qū)嵕€代表的是700 hPaFig. 3 The RMSE between forecasted and observed geopotential height (H), temperature (T) and the zonal (U) and meridional (V) components of wind at different forecast times and levels as a function of time-step size. Open circles, solid circles, and open squares represent the results at 200, 500,and 700 hPa,respectively. Panels (a1-a4) show H at forecast times of 24, 36, 48, and 60 h, respectively. Panels (b1-b4), (c1-c4) and (d1-d4) are the same as (a1-a4), but for variables T, U, and V, respectively. Spatial resolution was 0.3°×0.3°

為了考察區(qū)域平均的預(yù)報(bào)降水總量與實(shí)況降水總量之間的差異，選擇了觀測站點(diǎn)較為稠密的中國中東部（100°E以東）國界內(nèi)區(qū)域進(jìn)行區(qū)域平均。圖6為不同空間分辨率和時(shí)間步長條件下，區(qū)域平均的預(yù)報(bào)降水總量與實(shí)況降水總量之間的絕對誤差（AE）隨時(shí)間的變化。可以看出，當(dāng)空間分辨率為0.3°×0.3°時(shí)，AE隨時(shí)間步長的增加而逐漸減小，至?xí)r間步長為240 s附近時(shí)，這種減小不再明顯，AE增長曲線幾乎重合，同時(shí)模式運(yùn)行穩(wěn)定性變差，所以存在最優(yōu)時(shí)間步長使得模式降水預(yù)報(bào)總量的誤差最小，這與位勢高度場H、風(fēng)速U,V場和溫度場T中的結(jié)果是一致的。此外，當(dāng)空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)，降水預(yù)報(bào)總量的AE值要明顯大于空間分辨率為0.3°×0.3°、時(shí)間步長為240 s時(shí)的AE值，這說明模式的空間分辨率和時(shí)間步長之間存在一定的協(xié)調(diào)關(guān)系，并非是模式精度越高，降水總量的預(yù)報(bào)效果越好。

4.4 個(gè)例分析

本文前面分別針對16個(gè)個(gè)例的位勢高度場H，溫度場T，風(fēng)場緯向分量U，經(jīng)向分量V和地面降水場的預(yù)報(bào)的平均結(jié)果進(jìn)行了整體評估，發(fā)現(xiàn)時(shí)間步長和空間分辨率之間存在一定的協(xié)調(diào)關(guān)系。下面選取臺風(fēng)“梅花”發(fā)展強(qiáng)盛時(shí)期的一個(gè)個(gè)例，試驗(yàn)初始時(shí)刻為2011年8月5日12時(shí)，考察了500 hPa位勢高度場以及地面降水場的預(yù)報(bào)技巧隨時(shí)間步長的變化情況。對于500 hPa位勢高度場，空間分辨率為 0.3°×0.3°的不同時(shí)間步長及業(yè)務(wù)空間分辨率條件下，預(yù)報(bào)60小時(shí)（2011年8月8日00時(shí)）后的誤差空間分布呈現(xiàn)在圖7中。從圖中可以很明顯地看出，空間分辨率為 0.3°×0.3°時(shí)，預(yù)報(bào)誤差隨著時(shí)間步長的增加而減小，尤其是中國華東至華南一帶，預(yù)報(bào)誤差從70左右減小到30附近。而到了240 s以后，誤差大小則基本不再變化。從圖7還可以看出，空間分辨率為 0.3°×0.3°，時(shí)間步長為240 s時(shí)的預(yù)報(bào)誤差要明顯小于業(yè)務(wù)上的空間分辨率為0.15°×0.15°，時(shí)間步長為90 s時(shí)的結(jié)果。

圖4 同圖2，但實(shí)心圓點(diǎn)實(shí)線（空心圓圈實(shí)線）代表空間分辨率為0.3°×0.3° (0.15°×0.15°) 和時(shí)間步長為240 s（90 s）時(shí)的結(jié)果Fig. 4 As in Fig. 2, but the solid circles (open circle ) line represents results with a spatial resolution of 0.3°×0.3° (0.15°×0.15° ) and time-step size of 240 s(90 s)

預(yù)報(bào) 36～60小時(shí)累積降水預(yù)報(bào)誤差的空間分布如圖8所示，當(dāng)空間分辨率為 0.3°×0.3°時(shí)，降水預(yù)報(bào)誤差隨著時(shí)間步長的增大而減小。特別是東北地區(qū)，在時(shí)間步長為240 s時(shí)的降水預(yù)報(bào)誤差要明顯小于時(shí)間步長為60 s時(shí)的結(jié)果。與空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的降水預(yù)報(bào)誤差相比較，空間分辨率為 0.3°×0.3°、時(shí)間步長為240 s時(shí)的誤差明顯減小。圖9為該個(gè)例預(yù)報(bào)與觀測降水間RMSE隨時(shí)間的演化，其結(jié)果與所有個(gè)例平均的結(jié)果類似，驗(yàn)證了最優(yōu)時(shí)間步長的存在，說明了并非是模式空間分辨率越高，降水預(yù)報(bào)效果越好。

圖10是與該個(gè)例預(yù)報(bào)36～60小時(shí)相對應(yīng)的觀測累積降水量的空間分布，可以看出降水主要集中在東北（區(qū)域 D1），膠東半島（區(qū)域 D2）至華南（區(qū)域 D3）一帶，將雨帶分為三個(gè)區(qū)域便于定量考察空間分辨率以及時(shí)間步長對于模式預(yù)報(bào)降雨帶和極值的影響。圖11為三個(gè)主要降水區(qū)域里，空間分辨率和時(shí)間步長對于站點(diǎn)平均降水（Stn_ave）和最大降水極值（MaxV）的影響，可以看出觀測的雨帶分布型為膠東半島雨量最大，華南次之，東北最??；最大降水極值位于膠東半島，東北地區(qū)極值最小。在空間分辨率為 0.3°×0.3°，時(shí)間步長為 60、90和 120 s時(shí)，雨帶的分布型為膠東半島最大，東北次之，華南最小，與觀測雨型明顯不符，隨著時(shí)間步長增大到180 s后，雨型分布與觀測一致，同時(shí)降水極值分布亦與觀測相同。而對于業(yè)務(wù)中空間分辨率為 0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果，雨型分布與觀測明顯不同。

圖5 不同空間分辨率和時(shí)間步長條件下，地面降水場的TS/BIAS評分結(jié)果。(a-c) 分別為小雨、中雨和大雨的檢驗(yàn)結(jié)果。OPER代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的檢驗(yàn)結(jié)果。60、90、120、180、240、300和360分別代表空間分辨率為0.3°×0.3°、時(shí)間步長為60、90、120、180、240、300和360 s時(shí)的檢驗(yàn)結(jié)果Fig. 5 The TS/BIAS scores for surface precipitation at various spatial resolutions and time-step sizes. Panels (a-c) show the results for light, moderate,and heavy rain, respectively. OPER is the result for a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s, while the lines labeled 60, 90, 120, 180, 240, 300 and 360 are the results for those time steps (in s) at a spatial resolution of 0.3°×0.3°

圖6 中國中東部區(qū)域平均的預(yù)報(bào)降水總量與實(shí)況降水總量之間的絕對誤差（AE, 單位：mm）隨時(shí)間的變化Fig. 6 The absolute error (AE, units: mm) between the forecasted and observed precipitation averaged over east-central China as a function of time (d)

圖12是空間分辨率為0.3°×0.3°，時(shí)間步長分別為 60、90、120、180、240、300 和 360 s時(shí)的三個(gè)區(qū)域的站點(diǎn)平均降水的預(yù)報(bào)誤差，OPER則代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的結(jié)果，可以看出，空間分辨率為 0.3°×0.3°時(shí)，三個(gè)區(qū)域的站點(diǎn)平均預(yù)報(bào)誤差均隨著時(shí)間步長的增大而減小，說明時(shí)間步長越大時(shí)，預(yù)報(bào)降水的雨帶分布型與觀測越為符合，而且這種誤差減小在時(shí)間步長達(dá)到240 s附近時(shí)明顯變緩。當(dāng)時(shí)間步長進(jìn)一步增大時(shí)，積分穩(wěn)定度下降，所以存在最優(yōu)的時(shí)間步長使得雨帶預(yù)報(bào)誤差最小；此外，空間分辨率為0.3°×0.3°、時(shí)間步長為240 s時(shí)的雨帶預(yù)報(bào)誤差要明顯小于空間分辨率為 0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的結(jié)果；圖12亦表明，膠東半島和華南地區(qū)的站點(diǎn)平均降水預(yù)報(bào)誤差隨時(shí)間步長的變化較小，而東北地區(qū)對時(shí)間步長比較敏感，變化較大，說明降水的預(yù)報(bào)誤差大部分集中在東北地區(qū)。

圖7 初始時(shí)刻為2011年8月5日12時(shí)，預(yù)報(bào)60小時(shí)后（2011年8月8日00時(shí)，北京時(shí)，下同）500 hPa位勢高度場預(yù)報(bào)誤差 (單位：gpm) 的空間分布：（a）空間分辨率為0.15°×0.15°和時(shí)間步長為90 s時(shí)的結(jié)果(OPER)；（b-h）分別對應(yīng)空間分辨率為0.3°×0.3°，和時(shí)間步長為60、90、120、180、240、300和360 s時(shí)的結(jié)果Fig. 7 Spatial distribution of error between the observed and forecasted 500-hPa geopotential height fields (gpm) at a forecast time of 60 h [0000 BT (Beijing time, same as below) 8 August 2011]. Panel (a) is the result for a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s (OPER). Panels (b-h) are the results for a spatial resolution of 0.3°×0.3° and time steps of 60, 90, 120, 180, 240, 300, and 360 s, respectively. The initialization time was 1200 BT 5 August 2011

圖8 同圖7，但是為降水預(yù)報(bào)誤差(單位：mm)的空間分布情況Fig. 8 As in Fig 7, but for precipitation error (mm)

為了從環(huán)流場特征的角度闡明該個(gè)例中東北地區(qū)降水預(yù)報(bào)誤差較大的原因，本文考察了位勢高度場與地面降水場之間的配置關(guān)系。圖13為 500 hPa位勢高度場的分析場和不同空間分辨率、時(shí)間步長的預(yù)報(bào)場的空間分布（等值線）以及對應(yīng)時(shí)刻的地面降水場的空間分布（陰影），容易看出，500 hPa位勢高度場的分析場中，5840（單位：gpm）脊線位于東北地區(qū)上空，其對應(yīng)的東北地區(qū)的觀測降水較少。而對于500 hPa位勢高度場的預(yù)報(bào)場，與空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的情形類似，當(dāng)空間分辨率為 0.3°×0.3°、時(shí)間步長為60、90、120和180 s時(shí)，5840脊線預(yù)報(bào)的位置偏于海上，此時(shí)東北地區(qū)的預(yù)報(bào)降水較大，與實(shí)際降水不符；而當(dāng)時(shí)間步長取為240、300和360 s時(shí)，5840脊線預(yù)報(bào)位置與觀測十分相似，均位于東北地區(qū)上空，對應(yīng)的東北地區(qū)的預(yù)報(bào)降水雨量較小，與實(shí)際相符。其原因可能是當(dāng)空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為 90 s時(shí)或者空間分辨率為0.3°×0.3°、時(shí)間步長分別為60、90、120和180 s時(shí)，模式對實(shí)際位于東北地區(qū)的高壓脊線強(qiáng)度的模擬偏弱，導(dǎo)致模擬的下沉氣流強(qiáng)度偏弱，使臺風(fēng)云系向東北地區(qū)過度延伸，預(yù)報(bào)雨量偏大。而對于空間分辨率為0.3°×0.3°、時(shí)間步長分別為240、300和360 s時(shí)，模式對于東北地區(qū)高壓脊線的模擬強(qiáng)度與實(shí)際觀測相符，此時(shí)下沉氣流較強(qiáng)，雨量較小。

圖9 初始時(shí)刻為2011年8月5日12時(shí)的個(gè)例的降水預(yù)報(bào)場與觀測場間的RMSE（mm）隨時(shí)間（單位：d）的演化Fig. 9 The RMSE (mm) between the forecasted and observed precipitation as a function of forecast time (d) in the case study beginning at 1200 BT on 5 August 2011

5 結(jié)論和討論

數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的模式方程組是一組非線性偏微分方程組，在數(shù)值求解過程中會不可避免地要受到截?cái)嗾`差和舍入誤差的影響，而這兩種誤差大小依賴于時(shí)間步長和空間分辨率的大小。Li et al.(2000，2001)提出了“計(jì)算不確定性原理”的概念，研究了舍入誤差對于非線性常微分方程解的影響。本文在前人工作基礎(chǔ)上，利用中國氣象局的GRAPES區(qū)域中尺度數(shù)值預(yù)報(bào)系統(tǒng)（GRAPES_MESO）針對700、500和200 hPa的位勢高度場H，溫度場T，風(fēng)速U,V場和地面降水場等變量，給定模式的物理過程，考察了時(shí)間步長和空間分辨率對于模式預(yù)報(bào)效果的影響，得到以下結(jié)論。

圖10 初始時(shí)刻為2011年8月5日12時(shí)的預(yù)報(bào)個(gè)例中，與預(yù)報(bào)36～60小時(shí)累計(jì)降水量相對應(yīng)的觀測的累計(jì)降水量（單位：mm）分布的三個(gè)主要區(qū)域：東北地區(qū)（D1; 40°N～50°N，120°E～130°E），膠東半島（D2; 30°N～40°N，115°E～125°E），華南地區(qū)（D3; 20°N～30°N，110°E～120°E）Fig. 10 Three regions of 24-h observed accumulated precipitation corresponding to the forecasted accumulated precipitation (mm) between forecast times of 36 and 60 h: northeastern China (D1; 40°-50°N, 120°-130°E); Shandong peninsula (D2; 30°-40°N, 115°-125°E); southern China (D3; 20°-30°N,110°-120°E). The initialization time of the case study was 1200 BT 5 August 2011

圖11 初始時(shí)刻為2011年8月5日12時(shí)的預(yù)報(bào)個(gè)例中，三個(gè)主要降水區(qū)域內(nèi)（D1，東北地區(qū)；D2，膠東半島；D3，華南地區(qū)）站點(diǎn)（a）平均降水量（mm）和（b）最大降水量極值（mm）隨時(shí)間步長的變化。OBS代表觀測的結(jié)果，OPER代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的模式預(yù)報(bào)結(jié)果Fig. 11 (a) Station averaged precipitation (mm) and (b) its maximum value as (mm) a function of time steps in the three main rainfall regions (D1,northeastern China; D2 Shandong peninsula; D3, southern China). OBS indicates the observed results, while OPER represents the forecasts based on a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s. The initialization time of the case study was 1200 BT 5 August 2011

圖12 初始時(shí)刻為2011年8月5日12時(shí)的預(yù)報(bào)個(gè)例中，三個(gè)主要降水區(qū)域內(nèi)（D1，東北地區(qū)；D2，膠東半島；D3，華南地區(qū)）站點(diǎn)平均降水的預(yù)報(bào)誤差（mm）隨時(shí)間步長的變化。OPER代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的模式預(yù)報(bào)結(jié)果Fig. 12 Prediction error (mm) of station-averaged precipitation versus time-step size in the three main rainfall regions (D1, northeasternChina;D2 Shandong peninsula; D3, southern China). OPER represents the forecasts based on a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s. The initialization time of the case study was 1200 BT 5 August 2011

（1）當(dāng)空間分辨率為 0.3°×0.3°時(shí)，時(shí)間步長的選取對于變量H、U、V、T和地面降水場的預(yù)報(bào)效果具有明顯影響：隨著時(shí)間步長的增加，變量H、U、V和高層溫度場的預(yù)報(bào)技巧逐漸提高，而到了一定的時(shí)間步長240 s附近時(shí)這種提高就非常不明顯，甚至有的還有向相反方向下降的趨勢；在對地面降水場的考察中發(fā)現(xiàn)，無論是TS/BIAS評分、區(qū)域平均的預(yù)報(bào)降水總量與實(shí)況降水總量之間的絕對誤差（AE）還是所有個(gè)例平均的降水預(yù)報(bào)RMSE，均與變量H、U、V、T類似，存在最優(yōu)時(shí)間步長，在240 s附近。初步說明計(jì)算不確定性原理中的最優(yōu)時(shí)間步長理論在復(fù)雜的偏微分方程組中的適用性。

（2）在相同的試驗(yàn)配置條件下，將空間分辨率為0.3°×0.3°時(shí)對應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間步長（240 s）的預(yù)報(bào)結(jié)果與當(dāng)前業(yè)務(wù)中的空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，前者中變量H、T、U、V的預(yù)報(bào)技巧均高于后者。而且在針對地面降水場的評估中，無論是TS/BIAS評分、區(qū)域平均降水總量的絕對預(yù)報(bào)誤差（AE）還是降水預(yù)報(bào)誤差（RMSE），也是如此?？梢姡诒疚脑囼?yàn)配置條件下，并不一定是空間分辨率越高，預(yù)報(bào)效果越好。

圖13 500 hPa位勢高度場（等值線，單位：gpm）以及與其相匹配的地面降水量（陰影，單位：mm）的空間分布。500 hPa 位勢高度場為預(yù)報(bào)60小時(shí)后的結(jié)果，地面降水量為預(yù)報(bào)36～60小時(shí)的累計(jì)降水量。(a) OBS代表與預(yù)報(bào)時(shí)刻相對應(yīng)的觀測結(jié)果，(b) OPER代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時(shí)間步長為90 s時(shí)的模式預(yù)報(bào)結(jié)果，(c-i) 分別代表空間分辨率為0.3°×0.3°，時(shí)間步長為60、90、120、180、240、300和360 s時(shí)的模式結(jié)果。紅色曲線為位勢高度場5840線。該個(gè)例初始時(shí)刻為2011年8月5日12時(shí)Fig. 13 Spatial distribution of 500-hPa geopotential height field (contours, units: gpm) and the corresponding surface precipitation (color shading, units: mm).The 500-hPa geopotential height field is the forecast result at a forecast time of 60 h, while the surface precipitation is the forecasted accumulated precipitation between forecast times of 36 and 60 h. (a) OBS indicates the observed result, while (b) OPER denotes the operational forecast based on a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s. Panels (c-i) are the forecast results for a spatial resolution of 0.3°×0.3° and time steps of 60, 90, 120, 180, 240, 300, and 360 s, respectively. The red line indicates the 5840 gpm line of the 500-hPa geopotential height field. The initialization time of the case study was 1200 BT 5 August 2011

（3）初始時(shí)刻為2011年8月5日12時(shí)的個(gè)例分析結(jié)果表明：空間分辨率為0.3°×0.3°時(shí)，500 hPa位勢高度場和地面降水場的預(yù)報(bào)誤差均隨著時(shí)間步長的增大而逐漸減小，在時(shí)間步長達(dá)到240 s后，這種減小不再明顯，而且在針對地面降水場的評估結(jié)果中，觀測場和預(yù)報(bào)場間的RMSE以及站點(diǎn)平均降水的預(yù)報(bào)誤差都是在時(shí)間步長為240 s附近時(shí)較小，同時(shí)位勢高度預(yù)報(bào)場和降水預(yù)報(bào)場與觀測較為接近，預(yù)報(bào)技巧較高。此后，隨著時(shí)間步長繼續(xù)增大，模式運(yùn)行穩(wěn)定度變差，說明在該個(gè)例里最優(yōu)時(shí)間步長仍然存在；隨后比較了空間分辨率為0.3°×0.3°，時(shí)間步長為 240 s時(shí)和空間分辨率為0.15°×0.15°，時(shí)間步長為90 s時(shí)的預(yù)報(bào)結(jié)果，得到與所有個(gè)例平均分析中相同的結(jié)論。

為了保證模式積分的穩(wěn)定性，本文依據(jù)模式數(shù)值求解收斂的必要條件——柯朗條件，將空間分辨率為0.3度時(shí)的時(shí)間步長分別選取為60、90、120、180、240、300和 360 s，并得到最優(yōu)時(shí)間步長為240 s左右這個(gè)結(jié)論。在該試驗(yàn)里，240 s只是最優(yōu)時(shí)間步長的近似值，要想得到其更精確的數(shù)值，應(yīng)該將時(shí)間步長的間隔進(jìn)一步細(xì)化。由于本文所關(guān)注的問題是最優(yōu)時(shí)間步長的存在性問題，所以對于時(shí)間步長間隔的選取較大，而在實(shí)際業(yè)務(wù)應(yīng)用當(dāng)中，應(yīng)該盡量選取較小的時(shí)間步長間隔，從而得到與空間分辨率相匹配的最優(yōu)時(shí)間步長的精確值。

另外，本文中的結(jié)論均是在給定模式物理過程的條件下得到的。對于模式預(yù)報(bào)效果的影響，除了計(jì)算不確定性原理外，也可能與時(shí)間步長和模式物理過程（包括不確定參數(shù)）的匹配、模式物理過程和動(dòng)力框架的相互作用或者三者之間的共同作用有關(guān)。對于模式物理過程與時(shí)間步長和空間分辨率之間的相互作用，還需要進(jìn)一步的研究。

最后，本文重點(diǎn)討論了時(shí)間步長對于模式預(yù)報(bào)效果的影響，但由于計(jì)算資源的限制，空間分辨率僅僅考慮了 0.15°×0.15°和 0.3°×0.3°時(shí)的兩種情形。在未來的工作中，可以考慮選取更多的空間分辨率，重復(fù)該試驗(yàn)，更進(jìn)一步考察空間分辨率對于模式預(yù)報(bào)效果的影響。

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