劉 偉，董文博，李宗峰，彭 超

(1.中國科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心，北京100094；2.中國科學(xué)院空間科學(xué)與應(yīng)用總體部，北京100094)

主動隔振系統(tǒng)激勵器電流分配優(yōu)化設(shè)計

劉 偉1，2，董文博1，2，李宗峰1，2，彭 超1，2

(1.中國科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心，北京100094；2.中國科學(xué)院空間科學(xué)與應(yīng)用總體部，北京100094)

主動隔振控制系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)由八個輸出單方向洛倫茲力的激勵器構(gòu)成，輸出六自由度的力/力矩。針對八激勵器輸出力的分配優(yōu)化問題，建立了力學(xué)模型和分配電流模型，并以總功耗最小為性能指標(biāo)設(shè)計了拉格朗日乘子法，獲得激勵器分配電流解析解。當(dāng)激勵器分配電流超出電流邊界時，進行二次優(yōu)化，進一步提高執(zhí)行機構(gòu)輸出零誤差的能力。為保證控制系統(tǒng)對執(zhí)行機構(gòu)輸出精度要求，分析了激勵器各項誤差允許范圍。數(shù)值仿真結(jié)果表明，拉格朗日乘子法進行激勵器電流優(yōu)化分配的力可以達到系統(tǒng)要求，變化平穩(wěn)，同時計算效率較高，具有一定的工程應(yīng)用價值。

主動隔振；洛倫茲力激勵器；電流分配；拉格朗日乘子法；二次優(yōu)化

1 引言

良好的微重力水平是微重力科學(xué)實驗成功的重要保障。然而載人航天器受到各種擾動力的影響，內(nèi)部微重力水平并不理想，為此，美國、加拿大等早在上世紀(jì)八十年代初就已經(jīng)開展主動隔振技術(shù)研究，研發(fā)了STABLE[1](Suppression of Transient Accelerations by Levitation)、MIM[2](Microgravity Vibration Isolation Mount)系列、ARIS[3](Active Rack Isolation System)和g-LIM-IT[4](GLovebox Integrated Microgravity Isolation Technology)等隔振裝置，并在航天飛機和空間站上進行技術(shù)驗證和實際應(yīng)用，有效保證了微重力實驗所需要的加速度水平。中國科學(xué)院空間應(yīng)用工程與技術(shù)中心研發(fā)了一套空間高微重力主動隔振裝置[5]，著力于解決高微重力主動振動隔離技術(shù)問題，在航天器上實現(xiàn)10-4～10-6g量級的微重力環(huán)境，滿足絕大多數(shù)空間科學(xué)實驗的微重力需求。

主動隔振裝置主體(見圖1)分為定子、浮子和屏蔽外箱三部分。定子是裝置的支撐單元，浮子是科學(xué)實驗載荷的安裝臺。浮子和定子之間通過臍帶線(主要是電纜線)相連，臍帶線是定子傳遞給浮子擾動的唯一途徑。為避免貨船密封艙內(nèi)空氣擾動以及解決實驗裝置對貨船平臺的電磁輻射問題，需要對載荷和實驗裝置外圍加裝屏蔽外箱。

圖1 主動隔振裝置示意圖Fig·1 The schem atic diagram of the active vibration isolation device

主動隔振控制系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)由八個輸出單一方向洛倫茲力的激勵器構(gòu)成。每個激勵器由永磁鐵和通電線圈組成，永磁鐵固聯(lián)于浮子上，通電線圈固聯(lián)于定子上，如圖2所示。

為提供六自由度控制力/力矩，八激勵器可以采用兩種工作方案。方案一：選擇六個工作(其余兩個備份)，得到分配電流唯一解[6]。方案二：八個同時工作，采用約束優(yōu)化算法，如拉格朗日乘子法[7]、序列二次規(guī)劃[8]、粒子群算法[9]等，以八激勵器總功耗最小為性能指標(biāo)進行優(yōu)化。比較兩種方案，顯然方案一是方案二的一個特例。方案二充分利用資源，輸出能力和總功耗均優(yōu)于方案一。本文選用方案二進行八激勵器分配電流優(yōu)化設(shè)計，采用拉格朗日乘子法，可以得到解析解，避免迭代計算過程，提高算法效率，適用于工程實際。當(dāng)激勵器分配電流超出電流邊界時，進行拉格朗日乘子法二次優(yōu)化，進一步提高執(zhí)行機構(gòu)輸出零誤差的能力。

圖2 主動隔振裝置激勵器結(jié)構(gòu)示意圖Fig·2 The schematic diagram of the actuator structure of the active vibration isolation device

2 激勵器電流分配模型

首先建立各坐標(biāo)系，如圖2所示。定子形心坐標(biāo)系○S，原點在定子形心Sc，固聯(lián)于定子。浮子形心坐標(biāo)系?，原點在浮子形心Fc，固聯(lián)于浮子。浮子質(zhì)心坐標(biāo)系?，原點在浮子質(zhì)心F0，固聯(lián)于浮子，且三軸方向與?系三軸方向相同。

2.1 單激勵器作用力模型

根據(jù)洛倫茲力原理，單個激勵器作用力如式(1)：

式中，I為線圈通電電流；L為線圈等效長度；B為線圈處等效磁通密度。式(1)計算得到的是磁場對通電線圈的作用力F，而激勵器對浮子的作用力Fzd，即通電線圈對磁場的作用力，與F是一對作用力與反作用的關(guān)系，根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)和Fzd大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。

由于磁場分布不均勻，在磁場和線圈確定的條件下，激勵器對浮子的作用力Fzd可以表示為式(2)：

式中，B×表示矢量B的斜對稱矩陣。

2.2 八激勵器作用力和力矩模型

定義激勵器固聯(lián)坐標(biāo)系，原點位于激勵器安裝點位置，x軸沿磁感強度正方向，y軸沿電流正方向，z軸滿足右手坐標(biāo)系法則。八個激勵器分別編號為1～8，用下腳標(biāo)m表示，如圖3所示。

圖3 八個激勵器安裝方式示意圖Fig·3 The installation schematic diagram of eight actuators

已知m號激勵器安裝點在?系中表示為(F)Rfm＝RfmxRfmyRfmz

[ ]T，m號激勵器電流

設(shè)浮子質(zhì)心F0在?系中的坐標(biāo)表示為(F)rFcF0，則激勵器輸出對浮子質(zhì)心力矩的力臂在?系中的表示為式(5)：

由控制器計算出控制指令力(S)Fc、指令力矩(F)Mc，則各激勵器輸出力滿足式(6)：

為簡化表達，設(shè)式(7)：

將式(4)、式(7)帶入式(6)，并整理可得八激勵器作用力和力矩模型如式(8)：

3 激勵器分配電流優(yōu)化設(shè)計

3.1 拉格朗日乘子法

考慮到功耗最小，取優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)f(I)如式(9)：

求一階導(dǎo)數(shù)得到式(11)所示的方程組：

整理可得式(12)：

3.2 二次優(yōu)化

當(dāng)式(13)計算得到的分配電流中有電流超出電流邊界值iborder時，根據(jù)式(14)重新賦值分配電流。

并將超出電流邊界的電流下標(biāo)號按順序存儲記錄在矩陣K中，假設(shè)有p個電流超出電流邊界，則有式(15)：

剩余8-p個電流按順序存儲記錄在矩陣C中，即式(16)：

根據(jù)K和C將分配電流重新整理，如式(17)所示：

同時調(diào)整系數(shù)矩陣N的列向量順序如式(18)：

因此，式(8)可改寫為式(19)：

按照3.1節(jié)拉格朗日乘子法計算電流IZDQ，如式(20)所示：

3.3 飽和電流處理

若二次優(yōu)化的分配電流均在電流邊界范圍內(nèi)，則采用式(20)計算分配電流結(jié)果；否則采用式(13)計算分配電流，并進行限幅處理。有兩種分配電流限幅處理方案：方案A是將超出電流邊界的電流值設(shè)定為電流邊界值，其余電流不變，如式(14)所示；方案B是將分配電流絕對值中的最大值設(shè)定為電流邊界值，其余電流按該比例縮小，如式(21)所示：

4 誤差分析

為保證主動隔振控制性能指標(biāo)，執(zhí)行機構(gòu)輸出精度要求如下：

1)輸出力常值偏差ΔFzdconst不大于1 mN，輸出力矩常值偏差ΔMzdconst不大于0.1 N·mm；

2)輸出力和力矩隨機誤差用高斯白噪聲表征，均值為0，輸出力標(biāo)準(zhǔn)差ΔFzdrand不大于1mN，輸出力矩標(biāo)準(zhǔn)差ΔMzdrand不大于0.1 N·mm。

八激勵器輸出對浮子質(zhì)心的作用力和力矩，輸出誤差產(chǎn)生的原因包括：模型誤差、安裝誤差、浮子質(zhì)心位置測量誤差以及線圈的輸入電流誤差。

模型誤差是指單個激勵器輸出力和輸入電流按一次擬合得到的數(shù)學(xué)模型與實際模型之間的偏差，表現(xiàn)為系數(shù)矩陣L Bm的測量誤差，該誤差將同時引起激勵器對浮子質(zhì)心的輸出力和力矩誤差。

根據(jù)激勵器輸出力數(shù)學(xué)模型(6)可知，安裝誤差和浮子質(zhì)心位置測量誤差與輸出力無關(guān)，僅與對浮子質(zhì)心作用力矩的力臂計算相關(guān)，如式(5)所示。

通電線圈的輸入電流誤差直接影響激勵器輸出力的精度，如式(3)所示，將同時引起激勵器對浮子質(zhì)心的輸出力矩誤差。

在分析激勵器各項誤差對執(zhí)行機構(gòu)輸出誤差的影響時，采用變參數(shù)分析方法，單獨加入某一誤差而忽略其余誤差，考察其對主動隔振控制系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)輸出力和力矩的影響。

4.1 模型誤差

八激勵器分配電流計算模型中，L和B以乘積的形式存在。工程上，L和B不是分開測量，而是得到二者的乘積。因此，統(tǒng)一考慮二者的乘積誤差對激勵器輸出誤差的影響。

二者乘積誤差產(chǎn)生的原因包括：1)由于測量儀器精度引起的測量誤差；2)數(shù)據(jù)擬合處理產(chǎn)生的模型誤差。因此模型誤差可以用常值偏差ΔL Bmconst和高斯白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差ΔL Bmrand表征，則實際激勵器輸出力計算模型系數(shù)L Bmreal如式(22)：

根據(jù)式(13)可得實際解算得到的八激勵器分配電流，代入式(8)可得八激勵器對浮子質(zhì)心的合力(S)Fzd和合力矩(F)Mzd如式(23)：

由此，可得激勵器輸出誤差如式(24)：

數(shù)值仿真分析模型誤差引起的激勵器輸出力和力矩誤差流程圖如圖4所示。

圖4 L和B乘積誤差引起激勵器輸出誤差計算流程圖Fig·4 Flow diagram of actuator output error caused by the product of L and B

4.2 力臂誤差

從式(5)可知，激勵器安裝位置誤差和浮子質(zhì)心位置測量誤差引起激勵器輸出對浮子質(zhì)心力矩的力臂計算誤差，該誤差為常值偏差，用表示，則實際力臂可以表示為式(25)：

數(shù)值仿真分析力臂誤差引起的激勵器輸出力和力矩誤差流程圖如圖5所示。

4.3 電流誤差

通過式(13)計算得到激勵器期望電流為IZD，實際輸出存在常值誤差ΔIZDconst和隨機噪聲誤差ΔIZDrand，隨機噪聲誤差用matlab中rand()函數(shù)生成，則實際輸入電流如式(26)：

圖5 力臂誤差引起的激勵器輸出力和力矩誤差流程圖Fig·5 Flow diagram of actuator output error caused by measurement error of force arm

數(shù)值仿真分析激勵器輸入電流誤差引起的激勵器輸出力和力矩誤差流程圖如圖6所示。

圖6 輸入電流誤差引起的激勵器輸出誤差計算流程圖Fig·6 Flow diagram of actuator output error caused by input current error

5 仿真

設(shè)計如下仿真參數(shù)：

1)考慮到主動隔振裝置在工作狀態(tài)時執(zhí)行機構(gòu)輸出力和力矩與臍帶線預(yù)緊力和預(yù)緊力矩大小相當(dāng)，因此選擇控制指令力和力矩如式(27)所示：

3)浮子質(zhì)心在F下的坐標(biāo)表示(F)rFcF0為式(29)：

4)仿真時間1 s，采樣頻率1000 Hz。

5.1 無電流有界約束

無電流有界約束下仿真結(jié)果如圖7～9所示。

圖7 八激勵器分配電流優(yōu)化計算結(jié)果Fig·7 Optimization result of assignment current of eight actuators

圖8 激勵器輸出力及誤差Fig·8 Actuator output force and its error

上述仿真結(jié)果表明，拉格朗日乘子法可以實現(xiàn)八激勵器輸出力/力矩零誤差，并且輸入電流連續(xù)平穩(wěn)變化，工程上是可實現(xiàn)的。

為驗證拉格朗日乘子法在降低總功耗上的優(yōu)勢，將其與最大值最小化方法比對。本文采用matlab中的優(yōu)化函數(shù)fminimax()，以八激勵器電流中最大值最小為性能指標(biāo)進行優(yōu)化計算。在相同的輸入條件下，兩種方法激勵器總功耗(以八激勵器電流平方和表征)如圖10所示。

圖9 激勵器輸出力矩及誤差Fig·9 Actuator output torque and its error

圖10 表明，同一時刻最大值最小化方法激勵器電流平方和大于拉格朗日乘子法，驗證了拉格朗日乘子法在降低八激勵器總功耗方面的優(yōu)勢。

在無電流邊界約束條件下，為保證激勵器輸出力和力矩精度要求，允許的各項誤差如表1所示。

表1 激勵器各項誤差精度要求Table 1 Accuracy requirement of each error of in actuator

5.2 電流有界約束

考慮實際工程激勵器輸入電流有界，設(shè)為式(30)：

為分析激勵器輸入電流超出電流邊界的情況，選擇如式(31)所示控制指令力和力矩：

忽略各項誤差，比對圖11～14所示拉格朗日乘子法一次優(yōu)化和二次優(yōu)化、A方案和B方案激勵器輸出力誤差。

圖11 拉格朗日乘子法一次優(yōu)化A方案輸出力誤差Fig·11 The actuator output force error in once optimized Lagrange multiplier method with A program

圖12 拉格朗日乘子法一次優(yōu)化B方案輸出力誤差Fig·12 The actuator output force error in once optimized Lagrange multiplier method with B program

分析上述仿真結(jié)果可知，當(dāng)激勵器輸入電流超出電流邊界約束時：1)拉格朗日乘子法二次優(yōu)化相比于一次優(yōu)化，能夠明顯降低激勵器輸出誤差；2)A方案與B方案對比，A方案激勵器輸出誤差小于B方案。因此，當(dāng)激勵器輸入電流超出電流邊界約束時，選用拉格朗日乘子法二次優(yōu)化A方案進行八激勵器分配電流設(shè)計。

圖13 拉格朗日乘子法二次優(yōu)化A方案輸出力誤差Fig·13 The actuator output force error in twice optimized Lagrange multiplier method with A program

圖14 拉格朗日乘子法二次優(yōu)化B方案輸出力誤差Fig·14 The actuator output force error in twice optimized of Lagrange multiplier method used B program

6 結(jié)論

激勵器輸出力精度是影響主動隔振控制系統(tǒng)實現(xiàn)高微重力水平的關(guān)鍵因素。八激勵器輸出六自由度力/力矩有冗余，在保證輸出控制力和力矩零誤差的約束條件下，以總功耗最小為性能指標(biāo)，采用拉格朗日乘子法推導(dǎo)獲得了八激勵器分配電流解析解。通過與最大值最小化方法進行仿真比對，可知拉格朗日乘子法避免了優(yōu)化迭代計算過程，提高了算法效率，降低了八激勵器總功耗。為進一步提高八激勵器輸出力的能力，當(dāng)激勵器輸入電流超出電流邊界約束時，設(shè)計了拉格朗日乘子法二次優(yōu)化A方案，仿真結(jié)果驗證了該方法可以有效降低激勵器輸出誤差。最后分析了引起激勵器輸出力和力矩誤差的各項因素，并根據(jù)主動隔振控制系統(tǒng)對激勵器輸出力和力矩精度要求，通過仿真分析得到了各項誤差允許范圍，為工程實踐提供了依據(jù)。

References)

[1] Edberg D，Boucher R，Nurre G，et al.Performance assessment of the STABLE microgravity vibration isolation flight demonstration[C]//38th Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference.1997：1202.

[2] Tryggvason B，Stewart W，de Carufel J，et al.Acceleration levels and operation of the microgravity vibration isolation mount(MIM)on the Shuttle and the MIR space station [C]//37th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit，AIAA-99-05781999.

[3] NASA Facts.Active Rack Isolation System(ARIS)[R]. FS-2005-05-40-MSFC，2005.

[4] Whorton M S.g-LIMIT：A microgravity vibration isolation system for the international space station[R].AIAA 2001-5090，2001.

[5] Ren W，Li Z，Gao Y.Microgravity active vibration isolation system for space science in china[R].IAC-10-A2.5.10，Prague，CZ，IAC，2010.

[6] 王佳，于英杰，任維佳，等.高微重力振動隔離系統(tǒng)激勵器分配優(yōu)化設(shè)計[J].計算機工程與設(shè)計，2012，33(1)：351-356. Wang Jia，Yu Yingjie，Ren Weijia，et al.Optimal design of assignment of actuators in space high quality microgravity active vibration isolation system[J].Computer Engineering and Design，2012，33(1)：351-356.(in Chinese)

[7] 郭燁，吳文傳，張伯明，等.拉格朗日乘子法電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)錯誤辨識研究[J].中國電機工程學(xué)報，2013，33 (7)：86-91. Guo Ye，Wu Wenchuan，Zhang Boming，et al.Power system network parameter error identification by lagrange multiplier based method[J].Proceedings of the CSEE，2013，33(7)：86-91.(in Chinese)

[8] 馬聰，劉哲，甄小仙.結(jié)合罰函數(shù)與序列二次規(guī)劃的lp范數(shù)優(yōu)化方法[J].計算機工程與應(yīng)用，2013，49(18)：212-216. Ma Cong，Liu Zhe，Zhen Xiaoxian.Combining penalty function with sequential quadratic programming method for lp norm minimization[J].Computer Engineering and Applications，2013，49(18)：212-216.(in Chinese)

[9] 李擎，張超，陳鵬，等.一種基于粒子群參數(shù)優(yōu)化的改進蟻群算法[J].控制與決策，2013，28(6)：873-878. Li Qing，Zhang Chao，Chen Peng，et al.Improved ant colony optimization algorithm based on particle swarm optimization [J].Control and Decision，2013，28(6)：873-878.(in Chinese)

Optimal Design of Current Distribution in Actuators in Active Vibration Isolation System

LIU Wei1，2，DONG Wenbo1，2，LI Zongfeng1，2，PENG Chao1，2
(1.Technology and Engineering Center for Space Utilization，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094，China；2.General Establishment of Space Science and Application，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094，China)

The actuator of the active vibration isolation control system consists of eight one-dimension Lorentz force actuators providing the control force and torque simultaneously in six directions. To solve the optimal problem of force distribution in eight actuators，the model of force and the model of current distribution were established and the Lagrange multiplier method was designed with the minimum total power consumption as the performance index.The analytical solution of current distribution of actuators was obtained.When the current exceeds the border，twice optimal was designed to improve the zero error output capacity of the actuator.To satisfy the accuracy requirement of the actuator，each error range allowed was analyzed.Finally，the numerical simulation showed that the Lagrange multiplier method is of smooth output，high computational efficiency and great potential application in engineering.

active vibration isolation；lorentz force actuator；current distribution；Lagrange multiplier method；twice optimal

TP302.7；V524

A

1674-5825(2015)05-0522-08

2015-01-09；

2015-07-30

劉 偉(1987-)，男，碩士，工程師，研究方向為動力學(xué)與控制。E-mail：liuwei＠csu.ac.cn