鄭兆順 , 孫述雷

(1.濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 濮陽 457000；2.濮陽市第七中學(xué),河南 濮陽 457000)

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歐式期權(quán)市場(chǎng)中帶消費(fèi)行為的投資策略研究

鄭兆順1, 孫述雷2

(1.濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 濮陽 457000；2.濮陽市第七中學(xué),河南 濮陽 457000)

摘要：以隨機(jī)微分方程理論為依托,在經(jīng)典Black-Scholes模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)充,對(duì)歐式期權(quán)市場(chǎng)中的投資策略進(jìn)行了研究,給出了滿足預(yù)算條件的消費(fèi)行為的參數(shù)限定.

關(guān)鍵詞：Black-Scholes模型;歐式期權(quán);消費(fèi)行為;投資策略

0引言

在歐式期權(quán)的研究領(lǐng)域中,Black-Scholes模型[1]是被廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)模型,國內(nèi)外學(xué)者不斷對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充修正以適應(yīng)真實(shí)市場(chǎng),派生出了一些子模型.有些在參數(shù)和隨機(jī)過程上改進(jìn),比如將波動(dòng)率等固定參數(shù)改進(jìn)為關(guān)于時(shí)間的變量[2],添加了跳過程[3];有些則細(xì)化了限定條件以便于更精確地刻畫某一具體類型的期權(quán),解決其定價(jià)和對(duì)沖的問題,比如外匯交易期權(quán)模型[4],支付離散紅利的交換期權(quán)模型[5]等.

上述模型都有一個(gè)共同的假設(shè),那就是在歐式期權(quán)到期日之前期權(quán)持有人不存在消費(fèi)行為，但這并不符合真實(shí)的市場(chǎng)情況.本文將解除這一限定,將消費(fèi)行為引入到Black-Scholes模型中,并且給出使得期權(quán)持有人不超出預(yù)算的消費(fèi)行為需滿足的條件.

1模型

下面給出消費(fèi)行為預(yù)算可行的定義.

(1)

2)?t∈[0,T]，

(2)

3)?t∈[0,T],c(t)≥0；

4)?t∈[0,T],隨機(jī)變量

(3)

(4)

那么稱(c(t))0≤t≤T是初始資產(chǎn)為x的預(yù)算可行消費(fèi)行為.

現(xiàn)有一投資者,初始資產(chǎn)為x,打算在St高出K時(shí),單位時(shí)間消耗相當(dāng)于ρ份風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富.用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是c(t)=ρStχ{St>K}.要探討的問題是：要使消費(fèi)行為預(yù)算可行,ρ和K需要滿足什么樣的條件.

定理1如果(c(t))0≤t≤T是一個(gè)非負(fù)值的適應(yīng)過程,那么它是初始資產(chǎn)為x的預(yù)算可行消費(fèi)行為當(dāng)且僅當(dāng)

(5)

并且

(6)

所以

(7)

(8)

(9)

(10)

因此

(11)

(12)

也就是說

(13)

(14)

所以

(15)

即

(16)

所以條件2)得到滿足，其他3個(gè)條件經(jīng)過驗(yàn)證也得到滿足,并且V0=H0S0=x.

(17)

(18)

使該消費(fèi)行為預(yù)算可行的ρ和K要滿足的條件是

(19)

其中參數(shù)K被包含在d中.

2總結(jié)

本文在Black-Scholes基本模型的基礎(chǔ)上,引入了消費(fèi)行為——初始資產(chǎn)為x,打算在St高出K時(shí),單位時(shí)間消耗相當(dāng)于ρ份風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富.通過改進(jìn)的新模型,找到了保持預(yù)算可行狀態(tài)的消費(fèi)行為需要滿足的條件,也就是參數(shù)ρ和K要滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式.這就為資產(chǎn)持有人提供了制定消費(fèi)策略的依據(jù)與限制.

參考文獻(xiàn)

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[2]任智格,何朗,黃樟燦.一種無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)變條件下的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(1):203-206.

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A Study on Strategies with Consumption in European Options Market

ZHENG Zhao-shun1, SUN Shu-lei2

(1.PuyangVocationalandTechnicalCollege,Puyang457000,China;

2.No.7MiddleSchoolofPuyangCity,Puyang457000,China)

Abstract:Using the theory of stochastic differential equations, the classic Black-Sholes model is improved. The investment strategies with consumption in European options market are discussed and the conditions under which the consumption is budget-feasible are presented.

Key words:Black-Sholes model; European options; consumption; investment strategies

中圖分類號(hào)：F224.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-0834(2015)02-0046-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.013

作者簡(jiǎn)介：鄭兆順(1964—)，男，河南濮陽人，濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院教授，主要研究方向：數(shù)學(xué)建模.

收稿日期：2015-03-17