王彩蓮，侯晉川（太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024）

?

＊利用局部性質(zhì)刻畫三角環(huán)上的導(dǎo)子

王彩蓮，侯晉川
（太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，太原030024）

摘 要：證明了當(dāng)三角環(huán)U滿足某些條件時(shí)，三角環(huán)中的每個(gè)元都是可加擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。作為推論，有非平凡可補(bǔ)元的Banach空間套所對應(yīng)的套代數(shù)中的每個(gè)算子都是可加擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)子；擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)；三角環(huán)；套代數(shù)

令R是一個(gè)環(huán)（代數(shù)）?？杉樱ň€性）映射Φ：R →R被稱為是可加（線性）導(dǎo)子，如果Φ（xy）＝Φ（x）y＋xΦ（y）對所有的x，y∈R都成立。線性導(dǎo)子通常簡稱為導(dǎo)子。記x°y＝xy＋yx為x，y的Jordan積?？杉佑成洇担篟→R被稱為可加Jordan導(dǎo)子，如果Φ（x°y）＝Φ（x）°y＋x°Φ（y）對所有x，y∈R均成立。線性Jordan導(dǎo)子也可以類似的定義。顯然，（可加）導(dǎo)子一定是（可加）Jordan導(dǎo)子，另一方面，在特征不是2的半素環(huán)上每個(gè)Jordan導(dǎo)子都是導(dǎo)

子［1－2］。

近年來，許多學(xué)者通過映射的局部特征來刻畫導(dǎo)子和Jordan導(dǎo)子。令g∈R．稱可加映射Φ：R→R 在g點(diǎn)可導(dǎo)，如果Φ（xy）＝Φ（x）y＋xΦ（y）對所有R中滿足xy＝g的x，y都成立。類似地，稱可加映射Φ：R→R在g點(diǎn)Jordan可導(dǎo)，如果Φ（x°y）＝Φ（x）°y＋x°Φ（y）對所有R中滿足x°y＝g的x，y均成立。g被稱為R的一個(gè)全可導(dǎo)點(diǎn)，如果每個(gè)在g點(diǎn)可導(dǎo)的可加映射都是可加導(dǎo)子。同樣地，g被稱為R的一個(gè)Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)，如果每個(gè)在g點(diǎn)Jordan可導(dǎo)的可加映射都是可加Jordan導(dǎo)子。已有的研究成果表明，對任意環(huán)來說，0既不是全可導(dǎo)點(diǎn)，也不是Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)［3－4］。但是，對某些環(huán)或者代數(shù)來說，存在許多非零的全可導(dǎo)點(diǎn)。但對于Jordan全可導(dǎo)的例子，知道的很少。在文獻(xiàn)［4］中證明了單位元I是包含非平凡冪等元的素Banach代數(shù)，因子von Neumann代數(shù)及某些三角環(huán)和套代數(shù)上的一個(gè)Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。

三角環(huán)（代數(shù)）概念在文獻(xiàn)［5］中第一次提出，隨后，許多學(xué)者進(jìn)行了深入研究。令A(yù)和B是兩個(gè)單位元分別為IA和IB的環(huán)（代數(shù)），M是一個(gè)忠實(shí)的左A－模，同時(shí)也是忠實(shí)的右B－模；記

于是在通常的矩陣加法和乘法運(yùn)算之下U是一個(gè)環(huán)（代數(shù)），稱之為由A，M，B構(gòu)造的三角環(huán)（代數(shù)）。注意三角環(huán)（代數(shù)）既不是素的也不是半單的。

除討論在某點(diǎn)可導(dǎo)或Jordan可導(dǎo)的映射結(jié)構(gòu)以及與導(dǎo)子或Jordan導(dǎo)子的關(guān)聯(lián)問題，許多學(xué)者還討論具有如下局部可導(dǎo)行為的映射。設(shè)Φ：R→R為可加映射。對于給定的元g∈R，如果

Φ（x°y）＝Φ（x）°y＋x°Φ（y）．（1）

對所有滿足xy＝g的x，y∈R都成立，則稱Φ在g點(diǎn)是擬Jordan可導(dǎo)的。g∈R被稱為是R中的擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)，如果每個(gè)在g點(diǎn)擬Jordan可導(dǎo)的可加映射都是導(dǎo)子。注意Φ在g可導(dǎo)并不能推出Φ 在g點(diǎn)是擬Jordan可導(dǎo)的，在某一點(diǎn)擬Jordan可導(dǎo)以及擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)也被稱為在某點(diǎn)Jordan

可導(dǎo)及Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)［7－11］。這有時(shí)會(huì)引起與引言部分中第二段所述的Jordan可導(dǎo)點(diǎn)和Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)概念相混淆。

以下列舉與本文相關(guān)的一些結(jié)果。2009年，文

（Tel）15536888410

通訊聯(lián)系人：侯晉川，教授，博導(dǎo)，（E－mail）jinchuanhou＠aliyun．com獻(xiàn)［9］證明了單位算子是B（H）上的擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。2010年，文獻(xiàn)［10］證明了上三角矩陣中的每一個(gè)元都是擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。

筆者在比較弱的條件下，證明三角環(huán)（代數(shù)）上的每一個(gè)元都是擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。作為應(yīng)用得到：含有非平凡可補(bǔ)元的Banach空間套所對應(yīng)的套代數(shù)中的每個(gè)點(diǎn)都是該套代數(shù)的可加擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。以下是本文的主要結(jié)論。

定理 令U＝Tri（A，M，B）是一個(gè)三角環(huán)，其中A和B是兩個(gè)單位元分別為IA和IB的環(huán)，M是一個(gè)忠實(shí)的左A－模，同時(shí)也是忠實(shí)的右B－模；如果

a）2IA和3IA在A（2IB和3IB在B）中可逆；

b）對每個(gè)A∈A（B∈B），存在正整數(shù)nA（nB）使得nAIA－A（nBIB－B）在A（B）中可逆；

c）對A∈A及B∈B，若AM＝MB對每個(gè)M∈M都成立，則或者A＝0或者A可逆且是IA的倍數(shù)。

那么，U中的每個(gè)元都是擬Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。

1　主要結(jié)果的證明

以下給出定理的證明。

令G∈U．假設(shè)Φ：U→U是在G點(diǎn)擬Jordan可導(dǎo)的可加映射。往證Φ是可加導(dǎo)子。

因?yàn)棣凳强杉拥模源嬖诳杉佑成鋐R：R→A，gR：R→B以及hR：R→M，（其中R＝A，M，B），使得

0 0是如下定義的內(nèi)導(dǎo)子：Ψ（X）＝［X，T0］＝XT0－T0X對所有X∈U都成立。如果必要，用Φ＋Ψ代替Φ，則下面可以假設(shè)hB（IB）＝0。

因?yàn)棣担篣→U是可加的并且在G點(diǎn)擬Jordan可導(dǎo)，故有．

這表明

以及

斷言1 fA和gB分別在A0和B0擬Jordan可導(dǎo)。

為證明fA在A0點(diǎn)擬Jordan可導(dǎo)，需要證明對任意A中滿足XY＝A0的X，Y，fA（X°Y）＝fA（X）°Y＋X°fA（Y）。

先給出一個(gè)事實(shí)。

事實(shí)如果A，B，C∈A（或者A，B，C∈M）對所有滿足rIA在A中可逆的正整數(shù)r都有r2A＋rB＋C＝0成立，則A＝B＝C＝0。

實(shí)際上，由定理假設(shè)（a），可以取r＝1，2，3，于是有

由前2個(gè)方程，可得B＝－3A，C＝2A．代入第3個(gè)方程立得C＝2A＝0，從而A＝（2IA）－12A＝（2IA）－10＝0以及B＝－3A＝0．

在下面的論證中，該事實(shí)會(huì)被多次用到。

假設(shè)X，Y∈A滿足XY＝A0．對任意滿足rIA可逆的正整數(shù)r，取A1＝r－1X＝（rIA）－1X，M1＝M0，B1＝B0，A2＝rY，M2＝0，B2＝IB，由式（3）有

等價(jià)地有，

因此由前面的事實(shí)，有

取X＝IA，Y＝A0并代入最后一個(gè)關(guān)系式，得fB（IB）＝0．再令Y＝IA，X＝A0，有fM（M0）＋2fB（B0）＝0．所以，fA（X°Y）＝fA（X）°Y＋X°fA（Y）．因此，fA在A0點(diǎn)擬Jordan可導(dǎo)。

同理可證：gB在B0擬Jordan可導(dǎo)。

斷言2 fM＝0，fB＝0，gA＝0以及gM＝0．

只要證明對任意的A∈A，B∈B和M∈M都有

fM（M）＝0＝fB（B），gA（A）＝0＝gM（M）．由斷言1，當(dāng)XY＝A0時(shí)，有fA（X°Y）＝fA（X）°Y ＋X°fA（Y）．所以，式（3）變?yōu)?/p>

對任意的M∈M，取A1＝rIA，M1＝M0－rM，B1＝B0，A2＝r－1A0，M2＝M，B2＝IB并將其代入式（6），其中r是任意滿足rIA可逆的正整數(shù)，從而有

這就表明2fM（M）＝0．注意到，由假設(shè)a），2IA在A中可逆，因此必有fM（M）＝0．

對任意可逆元B∈B，取A1＝IA，M1＝0，B1＝rB0B－1，A2＝A0，M2＝M0，B2＝r－1B并將其代入式

（6），其中r是任意滿足rIB可逆的正整數(shù)。從而可以得到

fB（B0B－1°B）＝rfB（B°B－1）°A0＋2r－1fB（B）．這就說明2fB（B）＝0，因此fB（B）＝0對于所有可逆元B∈B都成立。現(xiàn)在設(shè)B∈B為任意元。由假設(shè)b），存在正整數(shù)n使得nIB－B是B的可逆元。所以，由剛剛證明的結(jié)論，有fB（nIB－B）＝0．又fB（nIB）＝nfB（IB）＝0，所以有fB（B）＝0對任意B∈B都成立。同樣，由式（3）和式（4）可以得到gA（A）＝0＝gM（M）對所有A∈A以及M∈M都成立。

斷言3 hA＝0，hB＝0．

需要證明，對任意的A∈A和B∈B都有hA

（A）＝0＝hB（B）．

注意到已經(jīng)假設(shè)了hB（IB）＝0．對任意可逆的A∈A以及任意使得rIA和rIB可逆的正整數(shù)r，取A1＝A，M1＝rM0（＝（rIA）M0＝M0（rIB）），B1＝rB0，A2＝A－1A0，M2＝0，B2＝r－1IB并將其代入式（4）．則可以得到

由前面的事實(shí)易知hA（A）＝0．因此，證明了hA在所有可逆元上都為0．考慮任意的A∈A．由定理假設(shè)b），存在正整數(shù)n使得nIA－A是可逆的。于是hA（nIA－A）＝0且有hA（nIA）＝nhA（IA）＝0．這就表明hA（A）＝0對所有A∈A都成立。同理，利用式（4）也可以得到hB（B）＝0對所有B∈B都成立。

斷言4 對任意A∈A，M∈M以及B∈B，都有

hM（AM）＝fA（A）M＋AhM（M）－AMgB（IB），hM（MB）＝hM（M）B＋MgB（B）－fA（IA）MB．

（7）

對任意可逆元B∈B，任意的M∈M以及任意的使得rIB在B中可逆的正整數(shù)r，取A1＝IA，M1＝M，B1＝r－1B0B－1，A2＝A0，M2＝M0－rMB，B2

＝rB并將其代入式（4）可得

利用與上面相同的方法易證對所有M∈M以及B中可逆的B都成立。令

則F∶B→M是一個(gè)可加映射，并且F（B）＝0對所有可逆的B∈B都成立。由假設(shè)b），對任意的B∈B，存在正整數(shù)n使得nIB－B是可逆的。所以，由前面的論述，有F（nIB－B）＝0．因?yàn)镕是可加的，F(xiàn) （nIB）＝nF（IB）＝0，所以，對任意的B∈B，都有F （B）＝0．于是

hM（MB）＝hM（M）B＋MgB（B）－fA（IA）MB對所有M∈M及B∈B都成立。同理，對任意可逆元A∈A，任意的M∈M，以及任意滿足rIA在A中可逆的正整數(shù)r，在式（4）中取A1＝rA，M1＝M0－rAM，B1＝B0，A2＝r－1A－1A0，M2＝M，B2＝IA，則

有，hM（AM）＝fA（A）M＋AhM（M）－AMgB（IB），對所有M∈M及可逆的A∈A都成立。用與上面相同的論證，可以得到對所有的M∈M以及A∈A都成立。

斷言5 對任意A∈A，M∈M以及B∈B都有

先假設(shè)G≠0．由斷言4的論證，只需要證明fA（IA）＝0以及gB（IB）＝0．將A＝IA代入式（7），得到fA（IA）M＝MgB（IB）對所有M∈M均成立。由假設(shè)c），對A∈A及B∈B，AM＝MB對所有M∈M都成立，則或者A＝0或者A可逆，且是IA的倍數(shù)，不妨設(shè)A＝αIA．顯然，由A＝0可以得到B＝0；由A＝αIA可以得到B＝αIB．因此，如果允許α＝0，則fA（IA）＝αIA以及gB（IB）＝αIB．所以，

因?yàn)棣翟贕點(diǎn)擬Jordan導(dǎo)，所以，

因此，Φ（IU）°G＝0，從而2αG＝0．如果α≠0，則αIU是可逆的，從而G＝0，與G≠0矛盾。所以必有α＝0，即fA（IA）＝0且gB（IB）＝0．

現(xiàn)假設(shè)G＝0．對任意的M∈M，A∈A，取A1＝0，M1＝M，B1＝0，A2＝A，M2＝0，B2＝0．將其代入式（4）．因?yàn)棣翟贕＝0點(diǎn)擬Jordan可導(dǎo)，容易驗(yàn)證

hM（AM）＝fA（A）M＋AhM（M）

仍然成立。類似可得

hM（MB）＝hM（M）B＋MgB（B）

對所有M∈M和B∈B都成立。

斷言6 fA和gB都是可加導(dǎo)子。

應(yīng)用斷言5，有

對所有A1，A2∈A，M∈M都成立。另一方面，

對所有A1，A2∈A，M∈M都成立。因?yàn)镸是忠實(shí)的左A－模，從上述兩個(gè)關(guān)系式可推得

對所有A1，A2∈A都成立。因此，fA是可加導(dǎo)子。類似可以驗(yàn)證gB也是可加導(dǎo)子。

斷言7 Φ是可加導(dǎo)子。

需要證明Φ（XY）＝Φ（X）Y＋XΦ（Y）對所有XY∈U都成立。

由斷言1－6，有

其中fA和gB都是可加導(dǎo)子，并且

hM（AM）＝fA（A）M＋AhM（M），

hM（MB）＝hM（M）B＋MgB（B）．

對所有A∈A，M∈M及B∈B都成立。對任意X＝A1M10 B

烄烆

烌?yàn)?以及Y＝A2M20 B

烄烆

烌?yàn)?

，

而）．

所以Φ是一個(gè)可加導(dǎo)子。證畢。

作為應(yīng)用，考慮Banach空間套代數(shù)的情形。用B（X）表示Banach空間X上有界線性算子全體。

推論 設(shè)N是一個(gè)在實(shí)或復(fù)Banach空間X上的非平凡套，令A(yù)lgN是與之相應(yīng)的套代數(shù)。假設(shè)存在N∈N＼｛0，X｝使得N在X中可補(bǔ)。令Φ：AlgN →AlgN是可加映射，且G∈AlgN．若Φ（X°Y）＝Φ （X）°Y＋X°Φ（Y）對所有滿足XY＝G的X，Y∈AlgN都成立，則Φ是一個(gè)可加導(dǎo)子；進(jìn)而，當(dāng)dim X＝∞時(shí)，存在算子T∈B（X）使得Φ（A）＝AT－TA對所有A∈AlgN都成立。

證明 因?yàn)榇嬖诜瞧椒驳脑狽∈N可補(bǔ)，所以存在冪等元E∈AlgN使得E的值域是N．從而N1＝E（N）和N2＝（I－E）（N）分別是N和ker E上的套。此外，AlgN1＝EAlgNE，AlgN2＝（I－E）AlgN （I－E）并且AlgN可以看做是一個(gè)三角代數(shù)。

其中A＝AlgN1，B＝AlgN2，M＝EAlgN（I－E）＝B （ker E，N），即ker E到N的有界線性算子全體。顯然AlgN滿足定理的條件a）－b）。為證明它滿足條件c）假設(shè)A∈A和B∈B使得AM＝MB對所有M ∈M＝B（ker E，N）都成立。特別的，Axf＝xfB＝xB＊f對所有秩一算子xf都成立，其中，x∈N且f∈（ker E）＊＝N⊥，N⊥為N的零化子。從而，存在數(shù)λx使得Ax＝λxx對每個(gè)x∈N都成立。而此蘊(yùn)涵存在常數(shù)λ使得A＝λIN＝λIA．顯然也有B＝λIB．現(xiàn)在，由于Φ在G點(diǎn)擬Jordan可導(dǎo)，由定理，Φ是一個(gè)可加導(dǎo)子。另外，如果dimX＝∞，則AlgN上的每個(gè)可加導(dǎo)子都是線性的，從而是內(nèi)的［12］。從而存在T∈B（X）使得Φ（A）＝AT－TA對所有A∈AlgN都成立。證畢。

參考文獻(xiàn)：

［1］ Bresar M．Jordan derivations on semiprime rings［J］．Proc Amer Math Soc，1988，104（4）：1003－1006．

［2］ Herstein I．Jordan derivations of prime rings［J］．Proc Amer Math Soc，1957，（8）：1104－1110．

［3］ Jiao M Y，Hou J C．Additive maps derivable or Jordan derivable at zero point on nest algebras［J］．Lin Alg Appl，2010，432 （11）：2984－2994．

［4］ An R L，Hou J C．Characterizations of Jordan derivations on rings with idempotent［J］．Linear and Multilinear Algebra，2010，58（6）：753－763．

［5］ Cheung W S．Commuting maps of triangular algebras［J］．London Math Soc，2001，63（1）：117－127．

［6］ Cheung W S．Lie derivations of triangular algebras［J］．Lin Mult Alg，2003，51（3）：299－310．

［7］ Qi X F，Hou J C．Additive Lie（ξ－Lie）derivations and generalized Lie（ξ－Lie）derivations on nest algebras［J］．Linear Algebra Appl，2009，431（5）：843－854．

［8］ Zhang J W，Yu W Y．Jordan derivations of triangular algebras［J］．Linear Algebra Appl，2006，419（1）：251－255．

［9］ Jing W．On Jordan all－derivable points ofB（H）［J］．Linear Algebra Appl，2009，430：941－946．

（編輯：劉笑達(dá)）

［10］ Zhao S，Zhu J．Jordan all－derivable points in the algebra of all upper triangular matrices［J］．Linear Algebra Appl，2010，433 （11）：1922－1938．

［11］ Zhu J，Xiong C P，Zhang L．All－derivable points in the algebra of all upper triangular matrices［J］．Linear Algebra Appl，2008，429（4）：804－818．

［12］ Han D G．Additive derivations of nest algebras［J］．Proc Amer Math Soc，1993，119（4）：1165－1169．

Characterizing Derivations on Triangular Rings by Local Properties

WANG Cailian，HOU Jinchuan
（College of Mathematics，Taiyuan University of Technology，Taiyuan030024，China）

Abstract：Under some mild conditions on triangular ring U，every element of Uis an additive quasi Jordan all－derivable point．As a corollary，for Banach space nest with nontrivial complement elements，every operator of the corresponding nest algebras is also an additive quasi Jordan all－derivable point．

Key words：derivations；quasi Jordan all－derivable points；triangular rings；nest algebras

作者簡介：王彩蓮（1989－），女，山西呂梁人，碩士生，主要從事算子理論與算子代數(shù)研究，（E－mail）wangcailian1224＠163．com，

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目：算子空間上一般保持問題及在量子信息理論中應(yīng)用研究（11171249）。

收稿日期：＊2014－10－15

DOI：10．16355／j．cnki．issn1007－9432tyut．2015．03．023

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類號(hào)：O177．1

文章編號(hào)：1007－9432（2015）03－0361－05