一個類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔分析及分岔控制

張中華，付景超，鄧冠男

（東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林 吉林132012）

0 引言

1963年，美國著名氣象學(xué)家E.N.Lorenz在刻畫熱對流不穩(wěn)定性時發(fā)現(xiàn)了第一個混沌系統(tǒng)，即Lorenz系統(tǒng)［1］，其動力學(xué)方程表示為

其中，x為對流強(qiáng)度，y為上升流和下降流的溫差，z為鉛直方向溫度分布的非線性強(qiáng)度。c為Rayleigh數(shù)，為系統(tǒng)的主要控制參數(shù)，a是Prandt數(shù)，b是外形比。當(dāng)參數(shù)時，上述系統(tǒng)有混沌吸引子［2－3］。

自Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個混沌系統(tǒng)之后，人們開始不斷尋找新的混沌系統(tǒng)，并發(fā)現(xiàn)了許多新的混沌系統(tǒng)，如Chua系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Qi系統(tǒng)等，對這方面的研究也很多［4－7］。1994年，Sprott利用計(jì)算搜索的方法提出了19種簡單形式的三階二次混沌系統(tǒng)［8］，但對其中的系統(tǒng)進(jìn)行分析的文獻(xiàn)不多。文獻(xiàn)［9］介紹了三維二次多項(xiàng)式自治混沌系統(tǒng)中不滿足Shil′nikov定理?xiàng)l件的一種特殊系統(tǒng)，即著名的Sprott C系統(tǒng)：并在此基礎(chǔ)上提出了一個新的混沌系統(tǒng)（稱廣義Sprott系統(tǒng)）：進(jìn)一步研究了該系統(tǒng)的Hopf分岔及周期解穩(wěn)定性。2008年，楊啟貴和陳關(guān)榮提出了一個新的三維混沌系統(tǒng)［10］文獻(xiàn)［11］在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個新的四維自治超混沌系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)的基本動力學(xué)行為，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)追蹤控制器，實(shí)現(xiàn)對各種不同參考信號的單變量追蹤控制。文獻(xiàn)［12］研究了新的三維自治連續(xù)時間類Lorenz系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性，并給出了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔和余維二退化Hopf分岔的參數(shù)條件。但上述研究主要集中在混沌的同步和控制方面，對分岔控制的研究相對較少。

本文針對文獻(xiàn)［12］中的模型，主要研究該模型的Hopf分岔行為及分岔控制問題。

1 新的類Lorenz系統(tǒng)模型

考慮模型：

其中，x，y，z為狀態(tài)變量，a，b，c為系統(tǒng)參數(shù)。

1.1 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

引理 由文獻(xiàn)［12］中的結(jié)論知，當(dāng)a≠0，b≠0時，若bc＜0，系統(tǒng)（1）只有一個平衡點(diǎn)O（0，0，0）；當(dāng)bc≥0，系統(tǒng)（1）有3個平衡點(diǎn)且當(dāng)a＞0，c＜0時，平衡點(diǎn)O漸近穩(wěn)定；b≠0，ac＞0時，平衡點(diǎn)O不穩(wěn)定；當(dāng)bc＞0，a＞0，a＋b＞0，ab（a＋b－2c）＞0時，平衡點(diǎn)E1，E2漸近穩(wěn)定；當(dāng)bc＞0，ab時，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E1發(fā)生Hopf分岔，且

取c為分岔參數(shù)，由上面的結(jié)論知，當(dāng)a＝7，b＝2，c＝c0＝4.5時，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E1（3，3，4.5）和E2（－3，－3，4.5）處發(fā)生Hopf分岔，分岔位置如圖1所示，分岔圖如圖2～圖3所示。另外，從圖2和圖3可看出，系統(tǒng)（1）在E1和E2處的Hopf分岔方向均發(fā)生在臨界點(diǎn)右側(cè)。

1.2 Hopf分岔類型及周期解

首先，討論系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E1處的分岔類型。經(jīng)計(jì)算得α′（0）＝Re｛λ′（c0）｝＝0.147 4＞0，ω′（0）＝lm｛λ′（c0）｝＝0.354 5。做變換

將平衡點(diǎn)E1移到原點(diǎn)。整理得

圖1 平衡點(diǎn)分岔位置圖Fig.1 Bifurcation position diagram near equilibrium

圖2 系統(tǒng)（1）在E1處的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system （1）for E1

圖3 系統(tǒng)（1）在E2處的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of system （1）for E2

則系統(tǒng)（2）的線性化矩陣為

矩陣P有一對純虛特征根λ1，2＝±3.741 7i和一個負(fù)實(shí)根λ3＝－9，設(shè)α1，α3分別為特征值λ1＝＋3.741 7i和λ3＝－9對應(yīng)的特征向量。通過計(jì)算得

定義矩陣

作變換

系統(tǒng)（2）變?yōu)?/p>

其中

由文獻(xiàn)［13］及上式計(jì)算得

將上述結(jié)果代入式（5）

得到

又因?yàn)棣痢洌?）＝0.147 4＞0，由Hopf分岔理論知，系統(tǒng)（1）在分岔點(diǎn)E1處的分岔周期解是軌道漸近穩(wěn)定的，產(chǎn)生與初始條件無關(guān)的穩(wěn)定極限環(huán)，發(fā)生的Hopf分岔為超臨界分岔，分岔方向?yàn)閏＞c0＝4.5，這點(diǎn)從圖2也可以看出。當(dāng)c＜c0＝4.5且時，平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定，如圖4所示；當(dāng)c＞c0＝4.5且時，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定并在其附近產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖5所示。其中，仿真初值為（x0，y0，z0）＝（4.5，4.5，4.5）。

根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，可以計(jì)算出重要特征向量

進(jìn)一步得到系統(tǒng)的分岔周期解為

其中

周期和特征性指數(shù)分別為

用同樣的方法可判斷系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E2處的分岔類型為超臨界Hopf分岔，系統(tǒng)受擾離開平衡點(diǎn)將產(chǎn)生等幅振蕩，在平衡點(diǎn)E2附近產(chǎn)生一個穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖6所示。

圖4 c＝4.2時，系統(tǒng)（1）在E1處的相圖Fig.4 Phase chart of system（1）at E1for c＝4.2

圖5 c＝4.6時，系統(tǒng)（1）的相圖Fig.5 Phase chart of system（1）at E1for c＝4.6

圖6 c＝4.6時，系統(tǒng)（1）在E2處的相圖Fig.6 Phase chart of system （1）at E2for c＝4.6

2 系統(tǒng)Hopf分岔控制

2.1 線性控制

不改變原系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)，采用線性控制器，對系統(tǒng)（1）作如式（8）的控制：

其中，k1，k2，k3為待定控制參數(shù)。當(dāng)a＝7，b＝2，c＝4.5時，（x0，y0，z0）＝＝（3，3，4.5）。此時系統(tǒng)（8）變?yōu)?/p>

令

則系統(tǒng)（9）轉(zhuǎn)化為

系統(tǒng)（10）在平衡點(diǎn)（0，0，0）的穩(wěn)定性情況相當(dāng)于系統(tǒng)（9）在平衡點(diǎn)（3，3，4.5）的穩(wěn)定性情況。系統(tǒng)（10）在平衡點(diǎn)（0，0，0）的線性化矩陣為

下面分3種情況討論線性控制對Hopf分岔位置的影響。為對結(jié)果進(jìn)行比較，以下的仿真初值均選為（15，3.5，7.5）。

2.1.1 k2≠0，k1＝0，k3＝0時，受控系統(tǒng) Hopf分岔分析

此時矩陣A對應(yīng)特征方程為

根據(jù)Routh－Hurwitz原理，方程所有的根具有負(fù)實(shí)部的充要條件是9－k2＞0，－14k2－126＞0，（9－k2）（14－9k2）＞－14k2－126。因此，當(dāng)且僅當(dāng)k2＜－9（k1＝0，k3＝0）時，方程所有根的實(shí)部為負(fù)數(shù)，在這個條件下，系統(tǒng)（10）的平衡點(diǎn)（0，0，0）是漸近穩(wěn)定的。如取k2＝－10，k1＝0，k3＝0時，矩陣A對應(yīng)特征根為λ1＝－0.138 1，λ2，3＝－9.431 0±3.528 8i。所有特征根具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)（10）在平衡點(diǎn)（0，0，0）漸近穩(wěn)定，進(jìn)而得到系統(tǒng)（9）在平衡點(diǎn)（3，3，4.5）漸近穩(wěn)定，故系統(tǒng)（1）在施加線性控制器后，Hopf分岔行為得到控制（見圖7）。這表明可以采用只在系統(tǒng)（8）的第2個方程中施加線性控制器的方法來抑制Hopf分岔的出現(xiàn)。但有時為了表明不同線性控制器參數(shù)對Hopf分岔位置影響的不同以及它們之間的相互影響，還可以在系統(tǒng)的其他方程中施加線性控制器，討論施加單個線性控制器和施加多個線性控制器對抑制Hopf分岔發(fā)生的不同影響。

2.1.2 k2＝－10，k1＝0，k3≠0時，受控系統(tǒng) Hopf分岔分析

此時矩陣A對應(yīng)特征方程為

根據(jù)Routh－Hurwitz原理，當(dāng)且僅當(dāng)k3＜0.2（k2＝－10，k1＝0）時，方程所有根具有負(fù)實(shí)部，此時，系統(tǒng)（10）的平衡點(diǎn)（0，0，0）漸近穩(wěn)定。如取k2＝－10，k1＝0，k3＝0.1，矩陣A 對應(yīng)特征根為λ1＝－0.069 3，λ2，3＝－9.415 3±3.513 7i；如取k2＝－10，k1＝0，k3＝－8，矩陣A 對應(yīng)特征根為λ1＝－3.762 0，λ2，3＝－11.619 0±4.192 6i。所有特征根具有負(fù)實(shí)部。所以，系統(tǒng)（10）在平衡點(diǎn)（0，0，0）漸近穩(wěn)定，進(jìn)一步說明原系統(tǒng)Hopf分岔行為得到控制（見圖8～9）。

圖7 k2＝－10，k1＝0，k3＝0時，系統(tǒng)（8）波形圖Fig.7 Waveform chart of system （8）for k2＝－10，k1＝0，k3＝0

圖8 k2＝－10，k1＝0，k3＝0.1時，系統(tǒng)（8）波形圖Fig.8 Waveform chart of system （8）for k2＝－10，k1＝0，k3＝0.1

圖9 k2＝－10，k1＝0，k3＝－8時，系統(tǒng)（8）波形圖Fig.9 Waveform chart of system （8）for k2＝－10，k1＝0，k3＝－8

由圖8和圖9可知，當(dāng)k1＝0，k2＝－10時，系統(tǒng)Hopf分岔點(diǎn)趨于穩(wěn)定的速度隨著k3的減小而加快。由圖7和圖8知，施加雙線性反饋控制比單線性反饋控制的效果好，系統(tǒng)分岔點(diǎn)趨于穩(wěn)定的速度更快。

2.1.3 k2＝－10，k1≠0，k3＝－8時，受控系統(tǒng) Hopf分岔分析

此時矩陣A對應(yīng)特征方程為

方程所有的根具有負(fù)實(shí)部的充要條件是k1＜5.74（k2＝－10，k3＝－8），在此條件下，系統(tǒng)（10）的平衡點(diǎn)（0，0，0）漸近穩(wěn)定。如取k2＝－10，k1＝3，k3＝－8，矩陣A對應(yīng)特征根為λ1＝－2.020 9，λ2，3＝－10.989 5±3.848 6i；如取k2＝－10，k1＝－9，k3＝－8時，矩陣A對應(yīng)特征根為λ1＝－6.380 8，λ2，3＝－14.809 6±3.417 9i。所有特征根具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)（10）在平衡點(diǎn)（0，0，0）漸近穩(wěn)定（見圖10和圖11）。從圖10和圖11可看出，當(dāng)k2，k3固定時，系統(tǒng)Hopf分岔點(diǎn)趨于穩(wěn)定的速度隨著k1的減小而加快。

綜上可知，當(dāng)線性控制參數(shù)滿足一定條件時，可抑制原系統(tǒng)Hopf分岔的發(fā)生，進(jìn)而抑制混沌的出現(xiàn)。

2.2 極限環(huán)幅值控制

2.2.1 基于Normal Form方法的立方非線性反饋控制

不改變原系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)，對系統(tǒng)（1）施加如下非線性控制器：

因?yàn)橄到y(tǒng)在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性主要由系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的線性化矩陣對應(yīng)特征方程的特征根性質(zhì)來判定，又因?yàn)槲闹杏懻摰钠胶恻c(diǎn)是O（0，0，0），所以，影響系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O的穩(wěn)定性因素是系統(tǒng)的線性項(xiàng)部分，非線性項(xiàng)影響的是系統(tǒng)的非線性特性，比如周期解的穩(wěn)定性情況及周期解幅值大小等。下面討論非線性控制器參數(shù)對極限環(huán)幅值的影響。

令

則系統(tǒng)（14）化為

其中，系統(tǒng)（15）的線性和非線性部分分別為

矩陣B有一對純虛特征根λ1，2＝±3.741 7i，相應(yīng)的特征向量為φ，。其中

根據(jù)文獻(xiàn)［14］中提出的計(jì)算Normal Form的直接方法，引入變換：

即可求得方程的Hopf分岔Normal Form

其中，C ＝ 〈ψ，F(xiàn)21〉，ψ 滿足（BT－3.7417iI）ψ ＝0，〈ψ，φ〉＝1，

將非線性變換（17）代入非線性項(xiàng)中整理成關(guān)于u，uˉ的多項(xiàng)式形式

其中，F(xiàn)21為u2對應(yīng)的系數(shù)向量。

上式中，Hjk，m為向量Hjk中的第m 個元素。其中

由式（20）～ （23）計(jì)算C得

所以，式（14）的Normal Form為

2.2.2 仿真研究

由 Hopf分岔理論知，當(dāng)k＜0.243 4時，Re（C）＜0，又因?yàn)棣痢洌?）＝0.147 4＞0，所以，系統(tǒng)（14）的 Hopf分岔類型為超臨界分岔且Hopf分岔方向?yàn)閏＞c0＝4.5，極限環(huán)穩(wěn)定，極限環(huán)的幅控關(guān)系為

如圖12所示，極限環(huán)幅值r與控制系數(shù)k是增函數(shù)關(guān)系。另外從圖13和圖14也可看出，振動幅值（極限環(huán)幅值）隨著k的減小而減小。并且，k的范圍恰好包含了k＝0的情況，與原系統(tǒng)的分岔類型相對應(yīng)。其中，仿真初值為（x0，y0，z0）＝（4.5，4.5，4.5）。

當(dāng)Re（C）＞0，即k＞0.243 4時，系統(tǒng)（14）的Hopf分岔類型為亞臨界分岔，極限環(huán)不穩(wěn)定（見圖15）。

圖10 k2＝－10，k1＝3，k3＝－8時，系統(tǒng)（8）波形圖Fig.10 Waveform chart of system （8）for k2＝－10，k1＝3，k3＝－8

圖11 k2＝－10，k1＝－9，k3＝－8時，系統(tǒng)（8）波形圖Fig.11 Waveform chart of system （8）for k2＝－10，k1＝－9，k3＝－8

圖12 受控系統(tǒng)（14）的限極環(huán)幅值曲線（c＝4.6）Fig.12 Gain amplitude curves for the controlled system （14）（with c＝4.6）

圖14 c＝4.6，k＝－5時，系統(tǒng)（14）波形圖Fig.14 Phase chart of system （14）with c＝4.6，k＝－5

圖15 c＝4.6，k＝1.2時，系統(tǒng)（14）相圖Fig.15 Phase chart of system （14）for c＝4.6，k＝1.2

由以上分析知，當(dāng)非線性控制參數(shù)滿足一定條件時，可以改變原系統(tǒng)的分岔類型和分岔周期解振幅大小，從而實(shí)現(xiàn)類Lorenz系統(tǒng)的極限環(huán)幅值控制。

3 結(jié)論

本文主要研究了一個新的類Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔行為和分岔控制問題。首先，通過規(guī)范形方法計(jì)算出系統(tǒng)的穩(wěn)定性指標(biāo)，進(jìn)而判定系統(tǒng)的Hopf分岔類型；然后，對系統(tǒng)分別施加線性和非線性控制器，并詳細(xì)討論了線性控制器和非線性控制器對Hopf分岔位置、分岔類型和分岔周期解幅值（極限環(huán)幅值）的影響，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)類Lorenz系統(tǒng)的分岔控制問題。

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