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      反饋強(qiáng)度對(duì)非線性光電延遲反饋環(huán)動(dòng)力學(xué)的影響

      2015-12-19 09:15:54王玉春李曉文
      關(guān)鍵詞:調(diào)制器時(shí)間尺度極值

      王玉春,李曉文

      (北京師范大學(xué)物理系,北京100875)

      0 引言

      1979年,Ikeda在研究非線性光學(xué)諧振腔時(shí),從Maxwell-Debye方程中推導(dǎo)出了延遲偏微分方程(DDE),他對(duì)此方程進(jìn)行數(shù)值分析后發(fā)現(xiàn):隨著系統(tǒng)控制參數(shù)的改變,系統(tǒng)會(huì)有周期態(tài)和混沌態(tài)的輸出[1]?;煦鐟B(tài)是自然界中普遍存在的一種現(xiàn)象,其基本特性就是對(duì)初值條件極為敏感,具有隨機(jī)變化的特點(diǎn),它的動(dòng)力學(xué)行為具有長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性,因此,在保密通信、傳感器網(wǎng)絡(luò)、超寬帶混沌雷達(dá)等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。為此,很多人致力于能找到一個(gè)可以用DDE方程來(lái)描述其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),并將此類系統(tǒng)作為信號(hào)發(fā)生器應(yīng)用于實(shí)踐中。

      近幾十年來(lái),人們不斷調(diào)整實(shí)驗(yàn)裝置,從純光學(xué)系統(tǒng)到光電系統(tǒng)的改進(jìn),不僅增加了系統(tǒng)操作的穩(wěn)定性,也增加了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性。我們所研究的非線性光電反饋延遲系統(tǒng)就是經(jīng)過(guò)多次改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)[2](見(jiàn)圖1)。此類系統(tǒng)主要由半導(dǎo)體激光器、馬赫-曾德?tīng)枺∕-Z)光強(qiáng)調(diào)制器、光電探測(cè)器、交流耦合放大器等元件組成光電反饋環(huán)。M-Z光強(qiáng)調(diào)制器透射的光強(qiáng)與加在調(diào)制器上的調(diào)制電壓成余弦平方關(guān)系,這是此系統(tǒng)非線性的來(lái)源。

      非線性光電延遲反饋環(huán)在非線性、延遲和反饋的共同作用下會(huì)呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)[3],包括各種周期態(tài)、混沌態(tài)。近年來(lái),在現(xiàn)代科技發(fā)展的進(jìn)程中,實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)分析及計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬等多種研究手段的共同運(yùn)用使得我們可以更清晰地研究復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)。人們對(duì)非線性光電延遲反饋環(huán)的研究主要集中于兩方面:系統(tǒng)在控制參數(shù)改變時(shí)所呈現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài);能夠產(chǎn)生用于實(shí)際應(yīng)用的混沌態(tài)。本文主要對(duì)其動(dòng)力學(xué)狀態(tài)進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬。

      圖1 非線性光電反饋延遲系統(tǒng)Fig.1 Time-delayed feedback nonlinear optoelectronic system

      1 非線性光電延遲反饋環(huán)的數(shù)學(xué)模型

      用式(1)的DDE方程[4]來(lái)描述非線性光電延遲反饋環(huán)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì):

      其中,β為反饋強(qiáng)度,ε為低通濾波器與高通濾波器時(shí)間常數(shù)的比值,τ為時(shí)間延遲,φ0為M-Z光強(qiáng)調(diào)制器的偏置相位。本文取ε=2.45×10-6,φ0=π/4,τ=34.3ns。

      對(duì)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析,將方程進(jìn)行變分可得

      其中,xτ=x(t-τ),λ為方程的特征值。對(duì)應(yīng)的特征值方程為

      整理可得

      當(dāng)特征值λ的值為純虛數(shù)時(shí),也就是說(shuō)當(dāng)λ=±iω時(shí),會(huì)出現(xiàn)Hopf分岔。取γ=βsin2φ0,方程(4)轉(zhuǎn)化為

      2 不同反饋強(qiáng)度下系統(tǒng)呈現(xiàn)的各種動(dòng)力學(xué)狀態(tài)

      我們所研究的非線性光電延遲反饋環(huán)的動(dòng)力學(xué)方程解的情況比較復(fù)雜,精確解的計(jì)算比較困難。我們主要通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)進(jìn)行研究。該系統(tǒng)的控制參數(shù)主要有兩個(gè):反饋強(qiáng)度β和偏置相位φ。本文主要研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)隨反饋強(qiáng)度的改變而發(fā)生的變化。從圖3中可以看出,隨著反饋強(qiáng)度β的增加,系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)經(jīng)過(guò)一系列周期態(tài)最終到達(dá)混沌態(tài),經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的一系列豐富的動(dòng)力學(xué)狀態(tài):當(dāng)β<1時(shí),反饋強(qiáng)度低,系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài);當(dāng)1<β<1.8時(shí),系統(tǒng)處于對(duì)應(yīng)的不同周期態(tài);當(dāng)β>1.8時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)逐漸變得復(fù)雜。

      圖4給出了系統(tǒng)的反饋強(qiáng)度β比1稍大時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài),可見(jiàn),系統(tǒng)處于不同的周期態(tài)。當(dāng)反饋強(qiáng)度的值達(dá)到中等強(qiáng)度時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)隨著反饋強(qiáng)度的增大變得更為復(fù)雜,而且還出現(xiàn)了快慢時(shí)間尺度交替的混合狀態(tài),這樣的狀態(tài)稱為混沌呼吸子[5]。隨著反饋強(qiáng)度β的增加,系統(tǒng)由原來(lái)的低頻周期態(tài)發(fā)展到二級(jí)分岔,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)比較有趣的混合狀態(tài)—快尺度的動(dòng)力學(xué)加載到慢尺度的極限環(huán)上。圖4b是β=1.5時(shí)的低頻周期態(tài),此時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間尺度為μs,振幅的極值類似于一對(duì)不動(dòng)點(diǎn),在這個(gè)意義上來(lái)說(shuō),它們附近的動(dòng)力學(xué)較為緩慢。

      圖2 β=0.8時(shí)系統(tǒng)處在穩(wěn)定狀態(tài)Fig.2 The system is stable whenβ=0.8

      圖3 隨反饋強(qiáng)度的增加系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 Bifurcation versus increasing feedback strength

      圖4 β=1.1,β=1.5時(shí)系統(tǒng)處在兩種不同的周期態(tài)Fig.4 The system stays at different periodic state asβ=1.1andβ=1.5

      隨著反饋強(qiáng)度β的進(jìn)一步增加,β=1.8時(shí)振幅極值點(diǎn)開(kāi)始出現(xiàn)快尺度的振蕩,如圖5a所示,圖5b是圖5a極值點(diǎn)附近的局部放大圖,可以看出,快尺度的動(dòng)力學(xué)從剛開(kāi)始產(chǎn)生就經(jīng)歷了快速的振蕩,而且還是以準(zhǔn)方波的周期態(tài)出現(xiàn)的。繼續(xù)增加反饋強(qiáng)度β的值,β=2.0時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)如圖5c所示,其振幅極值點(diǎn)附近的快尺度動(dòng)力學(xué)狀態(tài)所占的時(shí)間間隔在增加,從圖5d可以看出,振幅極值點(diǎn)附近的快尺度動(dòng)力學(xué)仍然是以準(zhǔn)方波周期態(tài)的形式出現(xiàn)的,振蕩一段時(shí)間以后很快衰減。

      圖5 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)Fig.5 System dynamic state

      當(dāng)反饋強(qiáng)度β=2.3時(shí)系統(tǒng)還是處于混沌呼吸子狀態(tài),如圖5 e所示。這時(shí)從圖5f的局部放大圖中可以看出,振幅極值點(diǎn)附近的快尺度動(dòng)力學(xué)狀態(tài)不再是準(zhǔn)方波的周期態(tài),從其時(shí)間序列看出是一種復(fù)雜的混沌態(tài)。進(jìn)一步增加反饋強(qiáng)度β的值,快尺度的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)所占時(shí)間間隔有著明顯的增加,其時(shí)間序列更為復(fù)雜,時(shí)間尺度更快,此時(shí)混沌態(tài)作為一種快尺度(ns)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)被嵌入慢尺度(μs)的周期態(tài)中。從上述分析中可以看到,隨著反饋強(qiáng)度β的值越來(lái)越大,系統(tǒng)正在向著混沌狀態(tài)變化,如圖5g~k所示。圖6為β=3.2時(shí)混沌態(tài)的頻譜,從圖中可以看出,其功率譜十分平坦,類似于噪聲。

      圖6 β=3.2時(shí)系統(tǒng)混沌態(tài)的頻譜圖Fig.6 Frequency spectrogram of the chaotic state asβ=3.2

      3 結(jié)論

      非線性光電反饋延遲系統(tǒng)在非線性、延遲和反饋的共同作用下會(huì)呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)狀態(tài),包括各種周期態(tài)、混沌態(tài)。本文首先對(duì)于非線性光電反饋延遲系統(tǒng)的數(shù)值模型做了理論分析,發(fā)現(xiàn)當(dāng)反饋強(qiáng)度小于1時(shí)系統(tǒng)一直處于穩(wěn)態(tài)。反饋強(qiáng)度接近于1時(shí),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)Hopf分岔。得到了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)隨反饋強(qiáng)度變化的分岔圖。隨著反饋強(qiáng)度的增大,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)從低頻周期態(tài)變化到快慢時(shí)間尺度混合的混沌呼吸子,最后到達(dá)高維混沌態(tài)。我們得到了系統(tǒng)的各種動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的時(shí)間序列,并分析了所得混沌態(tài)的頻譜圖,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌態(tài)的頻譜圖具有噪聲背景和寬峰,這樣的混沌態(tài)在很多方面都有重要應(yīng)用,例如超帶寬傳感器等。

      [1]Ikeda K,Kondo K.Successive higher-h(huán)armonic bifurcations in systems with delayed feedback[J].Phy Rev Lett,1982,49:1467-1470.

      [2] Callan K E,Illing L,Zheng Gao,et al.Broadband chaos generated by an optoelectronic oscillator[J].Phys Rev Lett,2010,104(11):113901.

      [3] Murphy T E,Cohen A B,Ravoori B.Complex dynamics and synchronization of delayed-feedback nonlinear oscillators[J].Phil Trans R Soc A,2010,368:343-366.

      [4] Peil M,Jacquot M,Chembo Y K,et al.Routes to chaos and multiple time scale dynamics in broadband bandpass nonlinear delay electro-optic oscillators[J].Phys Rev E,2009,79(2):026208.

      [5] Kouomou Y C,Colet P,Larger L,et al.Chaotic breathers in delayed electro-optical systems[J].Phys Rev Lett,2005,95(20):203903.

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