符策紅，李 武

（1.海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息管理系，海南 瓊海 571400；2.瓊山華僑中學(xué)，海南 海口 571100）

一類Lienard方程零解的全局穩(wěn)定性

符策紅1，李 武2

（1.海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息管理系，海南 瓊海 571400；2.瓊山華僑中學(xué)，海南 ?？?571100）

利用構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)方法證明了一類Lienard方程的零解的全局穩(wěn)定性.

Lienard方程；李雅普諾夫函數(shù)；全局穩(wěn)定

1 引言及引理

著名的Lienard方程

因其具有廣泛的實(shí)際背景，人們對(duì)其研究一直懷著強(qiáng)烈的興趣，并取得了相當(dāng)豐富的結(jié)果[1-3].

引理1[1]若系統(tǒng)（2）滿足

（a1）xg（x）>0，當(dāng)x≠0時(shí)，

（b1）xF（x）>0，當(dāng)x≠0時(shí)，

（c1）

那么，系統(tǒng)（2）的零解為全局穩(wěn)定.

引理2[2-3]若系統(tǒng)（2）滿足

（a2）xg（x）>0，當(dāng)x≠0時(shí)，

（b2）xF（x）>0，當(dāng)x≠0時(shí)，

（c2）

那么系統(tǒng)（2）的零解為全局穩(wěn)定.

對(duì)于系統(tǒng)

的大部分研究集中在周期解的問(wèn)題上，并取得顯著成果[4-7].本文從引理1和引理2入手，證明系統(tǒng)（3）的零解的全局穩(wěn)定性.

2 主要結(jié)果

考慮Lienard方程

滿足g（0，x（0））=0，f（t，x（t）），g（t，x（t））在R2上均連續(xù).對(duì)（3）作Lienard變化

定理1 若系統(tǒng)滿足條件：

（A1）x（t）[g（t，x（t））-p（t）]>0，當(dāng)x（t）≠0時(shí)，

（A2）x（t）F（x（t））>0，當(dāng)x（t）≠0時(shí)，

（A3）存在數(shù)列xn→+∞,→-∞使得

則系統(tǒng)（4）的零解為全局穩(wěn)定.

證明 作系統(tǒng)（4）的李雅普諾夫函數(shù)：

所以有：

是正定的，即：V′0，并且在直線y=0除了坐標(biāo)原點(diǎn)外，不包含整條軌線.

其中滿足ynlF(x).

因?yàn)閂′0，所以軌跡要從區(qū)域D內(nèi)離開，就必須通過(guò)邊界x=xn,x=但是在x=xn上有：

所以，軌跡經(jīng)過(guò)邊界x=xn,x=時(shí)候走向都是從外到里，即系統(tǒng)（4）的每一個(gè)正半軌都是有界的，定理1得證.

定理2 若系統(tǒng)（4）滿足條件：

（A1）x（t）[g（t，x（t））-p（t）]>0，當(dāng)x（t）≠0時(shí)

（A2）x（t）F（x（t））>0，當(dāng)x（t）≠0時(shí)

（A4）?xn→+∞,→-∞使得

則系統(tǒng)（4）的零解為全局穩(wěn)定.

證明 條件（A4）滿足至少有下面一個(gè)條件成立：

理2得到系統(tǒng)（4）的零解為全局穩(wěn)定.

當(dāng)條件（3）成立時(shí)取區(qū)域

對(duì)于?l,xn因?yàn)閂是正定的，所以?l>0,xn使得?P(x,y)∈D有：

并且滿足ynl

因?yàn)閂′0，所以軌跡要從區(qū)域D內(nèi)離開，就必須通過(guò)邊界x=xn但是在x=xn上有：

所以軌跡經(jīng)過(guò)邊界x=xn時(shí)候走向都是從外到里即系統(tǒng)（4）的每一個(gè)正半軌都是有界的即系統(tǒng)（4）的零解為全局穩(wěn)定.同理可證，當(dāng)條件（4）滿足時(shí)，取，可得到系統(tǒng)（4）的零解為全局穩(wěn)，定理2得證.

[1]李曾淑,王慕秋.關(guān)于Lienard方程零解的全局穩(wěn)定性[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1985,5(2):67-70.

[2]秦元?jiǎng)?王慕秋,王聯(lián).運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1981.

[3]Vilari G.Periodic solutions of Lienard equation[J].J Math Anal Appl,1982,86:376-386.

[4]Vilari G.On the existence of periodic solutions of the Lien?ard equation[J].Nonlinear Anal,1983,7:71-78.

[5]Mawhin J L,Ward J R.Periodic solutions of some forced Lienard differential equation at resonance[J].Arch Math, 1983,41:337-351.

[6]彭世國(guó).時(shí)滯的Lienard型方程的周期解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,21(3):463-466.

[7]朱宏偉,王梅.具有兩個(gè)偏差變?cè)膹V義Lienard型方程周期解得存在性[J].青島大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,22（1）:5-9.

[8]Guo D.Theory of Functional Analysis[M].Jinan:Shandong Technology and Scienece Publishing House,2001.

責(zé)任編輯：畢和平

Global Stability of the Zero Solution for a Class of Lienard Equation

FU Cehong1，LI Wu2
（1.Department of Information Management，Hainan College of Software Technology，Qionghai 571400，China；2.Qiongshan Overseas Chinese Middle School，Haikou 571100，China）

The global stability of the zero solution for a class of Lienard equation was proved by using Lyapunov function method.

Lienard equation；Lyapunov function；global stability

O 175

A

1674-4942（2015）03-0255-02

2015-05-08

海南省自然基金項(xiàng)目（114010）