基于馬爾科夫概率躍遷矩陣的消費(fèi)者偏好分析＊

姚 韜

（北京科技大學(xué) 東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100083）

馬爾科夫躍遷矩陣用來(lái)分析消費(fèi)者行為由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移成另一種狀態(tài)的可能，以預(yù)測(cè)消費(fèi)者行為未來(lái)走向。Heiko．B（2000）等首次將馬爾可夫矩陣應(yīng)用到消費(fèi)者偏好研究中，通過(guò)統(tǒng)計(jì)模型假設(shè)，建立非齊次矩陣，從對(duì)幾種快速消費(fèi)品的進(jìn)行排名，對(duì)未來(lái)的市場(chǎng)發(fā)展情況進(jìn)行了預(yù)測(cè)［1］。宋波等（2013）通過(guò)馬爾可夫躍遷矩陣對(duì)某種產(chǎn)品市場(chǎng)的戰(zhàn)略聯(lián)盟進(jìn)行了分析。［2］余典范（2013）用灰色馬爾可夫狀態(tài)鏈對(duì)某產(chǎn)品多數(shù)品牌市場(chǎng)占有率進(jìn)行了預(yù)測(cè)。［3］肖謙等（2014）通過(guò)對(duì)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移的估算，對(duì)我國(guó)物流市場(chǎng)轉(zhuǎn)移趨勢(shì)進(jìn)行了分析。［4］

本文采用了概率矩陣模型分析消費(fèi)者偏好，避免了傳統(tǒng)線性分析法無(wú)法保證躍遷結(jié)果的總為非負(fù)的弊端，同時(shí)，降低了狀態(tài)躍遷概率計(jì)算的繁瑣性，通過(guò)多次迭代使得模型結(jié)果具有穩(wěn)定性。主要過(guò)程是通過(guò)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，建立消費(fèi)者行為內(nèi)部轉(zhuǎn)移的初始矩陣；然后對(duì)偏好的初始矩陣和狀態(tài)躍遷矩陣進(jìn)行迭代，將其轉(zhuǎn)化為狀態(tài)概率躍遷矩陣，并通過(guò)PPMCC法對(duì)該矩陣的穩(wěn)定性進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 模型的建立

1．1 建立消費(fèi)者偏好的矩陣模型

假設(shè)市場(chǎng)共存在n種消費(fèi)者偏好，其不同時(shí)期偏好變化的躍遷如表1所示。表中Pij表示對(duì)同一產(chǎn)品第i型消費(fèi)偏好由狀態(tài)1躍遷至狀態(tài)2時(shí)的j型消費(fèi)偏好；Ai表示消費(fèi)者時(shí)期1對(duì)某產(chǎn)品類型的消費(fèi)量總和，Bi表示消費(fèi)者在時(shí)期2對(duì)某產(chǎn)品類型的消費(fèi)量總和。其中矩陣Pij存在未知量，即表1中隱性數(shù)值；Ai、Bi的數(shù)據(jù)可以通過(guò)分層抽樣統(tǒng)計(jì)獲得，即表1中虛點(diǎn)數(shù)值。表1可以表示成消費(fèi)者偏好矩陣P［5］。

表1 不同時(shí)期消費(fèi)者偏好矩陣

其中，0≤Pij≤1；1≤i≤n，1≤j≤n．

式2中，λ1表示時(shí)期1某產(chǎn)品所有偏好類型的消費(fèi)量；λ2表示時(shí)期2某產(chǎn)品所有偏好類型的消費(fèi)量。

1．2 建立初始矩陣

在消費(fèi)者偏好方面，一般認(rèn)為消費(fèi)者由習(xí)慣型和和多變型兩部分組成［6］，由于這兩種消費(fèi)者的心理因素等原因，導(dǎo)致他們選擇產(chǎn)品的偏好不一致。為了構(gòu)建能反映出消費(fèi)者對(duì)某產(chǎn)品偏好的狀態(tài)躍遷矩陣，本文假設(shè)習(xí)慣型為穩(wěn)定躍遷消費(fèi)者，多變型為不穩(wěn)定躍遷消費(fèi)者，并對(duì)這兩種消費(fèi)者群進(jìn)行抽樣統(tǒng)計(jì)。

對(duì)于穩(wěn)定躍遷消費(fèi)者，統(tǒng)計(jì)在長(zhǎng)期內(nèi)對(duì)某產(chǎn)品不同型號(hào)的購(gòu)買數(shù)量x，得到該類型消費(fèi)者在時(shí)期2內(nèi)的偏好情況，如表2所示。

表2 習(xí)慣型消費(fèi)者的偏好

表2可化成反映習(xí)慣型消費(fèi)者消費(fèi)偏好的矩陣Px的形式，如式（3）：

對(duì)于不穩(wěn)定躍遷消費(fèi)者，統(tǒng)計(jì)其在時(shí)期1內(nèi)某產(chǎn)品不同型號(hào)的購(gòu)買數(shù)量y，再通過(guò)矩陣躍遷得到其在時(shí)期2內(nèi)購(gòu)買的數(shù)量，如表3所示。其中yij表示在時(shí)期1內(nèi)型消費(fèi)偏好躍遷為j型的數(shù)量。

表3 多變型消費(fèi)者的偏好躍遷

表3的矩陣表達(dá)式，式（4）：

再結(jié)合穩(wěn)定躍遷和不穩(wěn)定躍遷的綜合作用，得出消費(fèi)者偏好躍遷的初始矩陣，見(jiàn)式（5）：

其中：α＋β＝1；分別指習(xí)慣性和多變型消費(fèi)者對(duì)消費(fèi)偏好影響的權(quán)重，其值由產(chǎn)品市場(chǎng)的不同特征而定。

1．3 躍遷矩陣“隱性→顯性”轉(zhuǎn)化

Pij代表的是消費(fèi)偏好躍遷矩陣（式1）提高中的隱性數(shù)值，而狀態(tài)初始矩陣（式5）Pk，反映了式1矩陣中隱性數(shù)值的內(nèi)部躍遷。但初始矩陣的缺陷在于，單純的抽樣統(tǒng)計(jì)可能導(dǎo)致Ai≠Aki，Bi≠Bkj得到的最終結(jié)果誤差較大。為了減少初始矩陣的誤差，可結(jié)合初始矩陣Pk和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，對(duì)Pk逐步迭代求解，轉(zhuǎn)化后的矩陣第i行之和等于Ai，第j列之和等于Bj，該躍遷矩陣的結(jié)果更加準(zhǔn)確。

第一步，對(duì)矩陣Pk進(jìn)行行變換后轉(zhuǎn)化成式（6）

第二步，對(duì)矩陣P（k＋1）（式6迭代至第n列變換 ，得式（7）：

計(jì)算所得式即為式（1）的解。

1．4 概率躍遷矩陣的求法

由式（2）和式（8）可知，時(shí)期t的消費(fèi)者偏好

2 PPMCC法驗(yàn)證“顯性”狀態(tài)躍遷矩陣的穩(wěn)定性

采用PPMCC（Pearson相關(guān)系數(shù)法）對(duì)求解得到的狀態(tài)躍遷矩陣P（k＋n）的穩(wěn)定性進(jìn)行檢驗(yàn)。如果躍遷矩陣P（k＋n）與初始矩陣P（k＋1）的線性相關(guān)系數(shù)0．8＜r＜1，表示兩矩陣的相關(guān)性高，則矩陣P（k＋n）穩(wěn)定。其計(jì)算方法如下：

則 P（k＋n）和P（k＋1）的 Pearson相關(guān)系數(shù)為：

若0．9＜r＜1，為極強(qiáng)相關(guān)關(guān)系；0．8＜r＜0．9，為強(qiáng)相關(guān)關(guān)系；－1≤r≤0．8為弱相關(guān)關(guān)系。

3 實(shí)例展示

通過(guò)對(duì)某產(chǎn)品（汽車）在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的消費(fèi)偏好抽樣調(diào)查，其2013年和2014年的數(shù)據(jù)如表（4）［7］。

表4 2013年、2014年國(guó)內(nèi)汽車市場(chǎng)消費(fèi)偏好比例分布

首先，對(duì)2013年購(gòu)買汽車的習(xí)慣型（穩(wěn)定躍遷）消費(fèi)者購(gòu)買汽車的偏好進(jìn)行調(diào)查，選取有效樣本372個(gè)；對(duì)多變型（不穩(wěn)定躍遷）消費(fèi)者調(diào)查，同樣選取有效樣本372個(gè)，可以得到以下分布結(jié)果（見(jiàn)表4、表5）。

表5 習(xí)慣型消費(fèi)者偏好分布

表6 多變型消費(fèi)者偏好分布

對(duì)上表列矩陣進(jìn)行迭代求解可得：

可得：Pk和P（k＋n）的Pearson相關(guān)系數(shù)為：r1＝0．9582，r2＝0．9282，r3＝0．9359，r4＝0．9947，以上數(shù)據(jù)表明，矩陣迭代過(guò)程較穩(wěn)定。

按照式（9），再把 P（k＋n）轉(zhuǎn)化成概率躍遷矩陣：

根據(jù)式（11）St＝λ2Ft，取t＝1，2，3，4，即可預(yù)測(cè)2015－2018年汽車消費(fèi)偏好比例：

表7 2015－2018年汽車消費(fèi)者偏好比例預(yù)測(cè)

4 結(jié)論

馬爾科夫概率躍遷矩陣和傳統(tǒng)的躍遷矩陣相比，能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的多步迭代，得到更為穩(wěn)定的預(yù)測(cè)結(jié)果。本文從2013－2014年產(chǎn)品（汽車）消費(fèi)者偏好入手，先抽樣統(tǒng)計(jì)獲得樣本數(shù)據(jù)和初始矩陣；再通過(guò)迭代求解得到了概率躍遷矩陣；接著采用PPMCC法對(duì)迭代后的矩陣進(jìn)行穩(wěn)定性檢驗(yàn)；最后對(duì)2015年－2018年產(chǎn)品（汽車）的消費(fèi)者偏好比例進(jìn)行預(yù)測(cè)。結(jié)果表明未來(lái)四年內(nèi)，消費(fèi)者對(duì)汽車奢侈優(yōu)先的偏好逐年下降，而品牌、技術(shù)和經(jīng)濟(jì)優(yōu)先的偏好逐年上升，其中經(jīng)濟(jì)優(yōu)先偏好比例上升的最大。

從以上推導(dǎo)和預(yù)測(cè)可得出以下啟示：（1）傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)中關(guān)于消費(fèi)者購(gòu)買長(zhǎng)期消費(fèi)品存在臨界點(diǎn)的假設(shè)和中國(guó)的現(xiàn)狀不符。在經(jīng)濟(jì)總量處于長(zhǎng)期增長(zhǎng)的情況下，消費(fèi)者對(duì)長(zhǎng)期消費(fèi)品消費(fèi)的臨界點(diǎn)上也會(huì)不斷上升，極限會(huì)不斷延長(zhǎng)；（2）生產(chǎn)廠商在制造長(zhǎng)期消費(fèi)品時(shí)不僅應(yīng)該考慮產(chǎn)品的價(jià)格和實(shí)用性，還要考慮滿足如消費(fèi)者攀比效應(yīng)的增長(zhǎng)帶來(lái)的差異化需求；（3）長(zhǎng)期消費(fèi)品消費(fèi)需求波動(dòng)較大，具有較強(qiáng)的不穩(wěn)定性。因此，為了避免長(zhǎng)期消費(fèi)品消費(fèi)的隨機(jī)性帶來(lái)的市場(chǎng)沖擊，需要政府采取公共政策對(duì)消費(fèi)者進(jìn)行引導(dǎo)，在整個(gè)市場(chǎng)范圍內(nèi)對(duì)長(zhǎng)期消費(fèi)品形成示范效應(yīng)。

［1］ Heiko，B．Markov chain models for vegetation dynamics［J］．Financial model．，2000，327（3）：139－154．

［2］ 宋波，徐飛．基于馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換自發(fā)性對(duì)稱破缺機(jī)制［J］．系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2013，（1）：101－105．

［3］ 余典范．中國(guó)產(chǎn)業(yè)動(dòng)態(tài)比較優(yōu)勢(shì)的實(shí)證研究——基于馬爾科夫鏈的方法［J］．經(jīng)濟(jì)管理，2013，（12）：46－47．

［4］ 肖謙，趙海燕．基于馬爾科夫模型的物流服務(wù)市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)［J］．湖南社會(huì)科學(xué)，2014，（4）：52．

［5］ 聶篤忠，陳樺，米承繼等．馬爾科夫鏈狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣修正算法［J］．統(tǒng)計(jì)與決策，2013，（3）：15－16．

［6］ Kim，C．J．Pager，Estimation of Markov regime switching regression models with endogenous switching［J］．Journal of Econometrics，2008，143（2）：263－273．

［7］ 徐長(zhǎng)明，李偉利．2013－2014汽車市場(chǎng)分析與預(yù)測(cè)［J］．汽車工業(yè)研究，2014，（7）：213－217．