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      考慮剪切效應(yīng)時(shí)雙模量梁彎曲變形的計(jì)算

      2015-12-22 05:22:16趙均海黃志剛楊立軍
      關(guān)鍵詞:簡(jiǎn)支梁表達(dá)式中點(diǎn)

      吳 曉,趙均海,黃志剛,楊立軍

      (1.湖南文理學(xué)院土木建筑工程學(xué)院,中國(guó)常德,415000;2 長(zhǎng)安大學(xué)建筑工程學(xué)院,中國(guó)西安 710061)

      在實(shí)際工程中,許多工程結(jié)構(gòu)由雙模量材料制成,即由拉壓彈性模量不同的材料制成.鑄鐵、金屬合金和混凝土等材料都具有拉壓彈性模量不同的雙模量特性,已有文獻(xiàn)對(duì)雙模量結(jié)構(gòu)在外載荷作用下的變形進(jìn)行了計(jì)算分析.文獻(xiàn)[1~2]采用有限元法分析了雙模量材料板的變形,文獻(xiàn)[3]采用細(xì)觀力學(xué)研究了雙模量泡沫材料等效彈性模量,文獻(xiàn)[4]研究了雙模量材料的本構(gòu)關(guān)系,文獻(xiàn)[5~8]對(duì)雙模量材料結(jié)構(gòu)彎曲及扭轉(zhuǎn)變形進(jìn)行了計(jì)算分析,文獻(xiàn)[9]研究了雙模量梁的彎曲變形,但是沒(méi)有研究剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁的彎曲變形影響;文獻(xiàn)[10]證明了軸向載荷對(duì)雙模量梁中性軸位置有較大影響.基于上述因素,本文給出了雙模量梁剪切彈性模量的表達(dá)式,證明了橫向外載荷對(duì)雙模量梁的中性軸位置無(wú)影響,并采用Timoshenko 梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形,分析討論了剪切變形效應(yīng)對(duì)雙模量梁彎曲變形的影響.

      1 剪切彈性模量表達(dá)式

      對(duì)于圖1所示純剪切應(yīng)力狀態(tài),可知雙模量結(jié)構(gòu)受力單元體的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

      圖1 應(yīng)力狀態(tài)Fig.1 Sutress state

      由于σ1=τ,σ3=-τ,所以

      由材料力學(xué)可知應(yīng)變公式為

      由式(2)、式(3)和式(4)可以求得

      式中,E1和μ1分別為拉伸彈性模量和泊松比,E2和μ2分別為壓縮彈性模量和泊松比.

      2 確定中性軸位置

      由于雙模量梁在外載荷作用下彎曲時(shí),會(huì)形成彈性模量不同的拉伸區(qū)和壓縮區(qū),由彈性理論可知雙模量梁彎曲時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為

      假設(shè)圖2所示雙模量簡(jiǎn)支梁在任意載荷作用下發(fā)生彎曲變形,以A 點(diǎn)為力矩支點(diǎn)可知

      圖2 任意載荷作用下簡(jiǎn)支梁Fig.2 Simply supported beam under loads

      由式(7)可知

      簡(jiǎn)支梁的支座約束反力確定后,即可方便寫出簡(jiǎn)支梁任意截面的彎矩表達(dá)式M(x).

      由彈性理論可知雙模量梁彎曲時(shí)橫截面內(nèi)力應(yīng)滿足以下關(guān)系式

      雖然雙模量梁在任意載荷作用下其截面彎矩在不同梁段是不相同的,但其曲率是軸向坐標(biāo)的函數(shù)與梁高無(wú)關(guān),將式(6)代入式(8)中可求得

      式中,h1為拉伸區(qū)高度,h2為壓縮區(qū)高度,

      由以上推導(dǎo)可知雙模量梁中性軸的位置與作用在梁上的橫向載荷無(wú)關(guān).

      3 雙模量梁撓曲線方程

      對(duì)于圖3所示任意載荷作用下的雙模量梁,可把分布載荷及集中載荷用奇異函數(shù)表示為

      圖3 任意作用下雙模量梁Fig.3 Bimodulous beam under loads

      奇異函數(shù)的規(guī)則為

      根據(jù)Timoshenko 梁理論可知雙模量梁彎矩和剪力為

      梁橫截面平衡方程為

      將式(10)代入式(11)可得到下式

      對(duì)式(12)進(jìn)行積分可得

      把式(9)代入式(13)中可得雙模量梁撓曲線表達(dá)式為

      以簡(jiǎn)支雙模量梁為例,可知其邊界條件為

      利用式(15)可求得簡(jiǎn)支雙模量梁撓曲線函數(shù)中的常數(shù)為

      對(duì)于其他邊界條件支承的雙模量梁的撓曲線表達(dá)式,利用其邊界條件及式(14)即可方便求得.

      4 算例分析

      下面以實(shí)例研究剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁彎曲變形的影響.

      算例1對(duì)于圖4所示均布載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁,由式(16)可求得

      圖4 雙模量簡(jiǎn)支梁Fig.4 Simply supported bimodulous beam

      把A0和A2表達(dá)式代入式(14)中可得到均布載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁撓度為

      所以,雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度為

      由于工程上要求誤差應(yīng)控制在5% 以內(nèi),所以應(yīng)有下式成立

      由式(18)可得到

      算例2對(duì)于圖5所示集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁,由式(16)可求得

      圖5 雙模量簡(jiǎn)支梁Fig.5 Simply supported bimodulous beam

      把A0和A2表達(dá)式代入式(14)中可得到集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁撓度為

      所以,雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度為

      對(duì)于集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁,同理可得

      由式(21)可得到

      式(19)和式(22)即為考慮剪切效應(yīng)對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲變形影響時(shí)的判別式.

      下面以有機(jī)玻璃雙模量材料為例,討論分析剪切效應(yīng)對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲變形的影響.雙模量材料參數(shù)為:E1=172 GPa,μ1=0.34,E2=295 GPa,μ2=0.395.其中,由式(5)可求得G=80 GPa.具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1 和表2.表中誤差為忽略剪切效應(yīng)與考慮剪切效應(yīng)時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度的差值絕對(duì)值與考慮剪切效應(yīng)簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度的比值.

      表1 均布載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度Tab.1 The midpoint deflection of simply supported bimodulous beam under uniform load

      表2 集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度Tab.2 The midpoint deflection of simply supported bimodulous beam under concentrated load

      由式(17)和式(20)可知當(dāng)c →∞時(shí),即為忽略剪切效應(yīng)時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁在均布載荷或集中載荷作用下中點(diǎn)的撓度,這說(shuō)明本文推導(dǎo)雙模量梁的撓曲線通式是正確的.從以上算例可知,本文在考慮剪切變形的基礎(chǔ)上,采用Timoshenko 梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形問(wèn)題,通過(guò)奇異函數(shù)得到了雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式,利用雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式可以方便計(jì)算出雙模量梁的彎曲撓度.對(duì)表1 進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在均布載荷作用下當(dāng)時(shí),可以忽略剪切變形的影響;對(duì)表2 進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在集中載荷作用下時(shí),可以忽略剪切變形的影響.

      5 結(jié)論

      通過(guò)上述推導(dǎo)證明與實(shí)例分析可知:

      (1)得出了雙模量梁剪切彈性模量的表達(dá)式.

      (2)采用材料力學(xué)原理證明了雙模量梁中性軸位置與作用在梁上的橫向外載荷無(wú)關(guān).

      (3)在考慮剪切變形的基礎(chǔ)上,采用Timoshenko 梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形問(wèn)題,利用奇異函數(shù)可以方便得到雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式.

      (4)對(duì)表1 進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在均布載荷作用下當(dāng)時(shí),可以忽略剪切變形的影響;對(duì)表2 進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在集中載荷作用下當(dāng)接近時(shí),可以忽略剪切變形的影響.

      [1]MEDRI G.A nonlinear elastic model for isotropic materials with different behavior in tension and compression[J].Trans ASME,1982,26(104):26-28.

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