劉春霞，何 平

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都610031）

0 引 言

為提高系統(tǒng)可靠性常采用冗余的方式，而冗余并非萬(wàn)能，雖然能提高系統(tǒng)可靠性，但大量備用件會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)負(fù)荷過(guò)重、體積過(guò)大或者資源消耗過(guò)多等問(wèn)題。目前，很多文獻(xiàn)提及如何配置冗余以達(dá)到效果最優(yōu)［1－5］，同時(shí)也有文獻(xiàn)提及一些高要求設(shè)備上，并不使用冗余來(lái)提高系統(tǒng)可靠性。

k／n： （G）系統(tǒng)作為一種冗余系統(tǒng)，同樣存在上述問(wèn)題，該系統(tǒng)的研究也為國(guó)內(nèi)外可靠性數(shù)學(xué)領(lǐng)域的熱門內(nèi)容。目前k／n：（G）系統(tǒng)的可靠性計(jì)算是可靠性領(lǐng)域的一個(gè)NP難題，因此對(duì)該系統(tǒng)的研究存在很多方面的困擾，特別是涉及該系統(tǒng)的維修問(wèn)題。文獻(xiàn) ［6］建立了隨機(jī)載荷作用下失效相關(guān)的動(dòng)態(tài)可靠性模型，對(duì)k／n 系統(tǒng)可靠度和失效率隨時(shí)間的變化規(guī)律進(jìn)行了研究；文獻(xiàn) ［7］基于部件壽命服從指數(shù)分布的基礎(chǔ)上對(duì)表決系統(tǒng)可靠度進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)［8］利用Monte carlo隨機(jī)抽樣技術(shù)，對(duì)系統(tǒng)可靠性評(píng)估指標(biāo)進(jìn)行了模擬計(jì)算；文獻(xiàn) ［9，10］對(duì)k／n：（G）系統(tǒng)的維修策略進(jìn)行了部分研究，但由于大容量表決系統(tǒng)的可靠性計(jì)算困難，大量的研究都基于系統(tǒng)小容量或者基于部件壽命服從指數(shù)分布的假設(shè)下，對(duì)由消耗型部件組成的k／n：（G）系統(tǒng)的可靠性以及選擇何種容量的k／n： （G）系統(tǒng)甚至該情況下的維修策略研究較少。

基于上述背景，本文考慮一種由消耗型部件組成的表決系統(tǒng)，在系統(tǒng)最小工作數(shù)k 固定的情況下，根據(jù)系統(tǒng)期望的運(yùn)行時(shí)間，對(duì)系統(tǒng)與時(shí)間相關(guān)的容量進(jìn)行了分析。在此基礎(chǔ)上，考慮讓k／n： （G）系統(tǒng)以逐步增加部件的方式運(yùn)行，嚴(yán)格推導(dǎo)了該方式下系統(tǒng)可靠性的計(jì)算公式，設(shè)計(jì)迭代算法，解決系統(tǒng)可靠性計(jì)算的難點(diǎn)。對(duì)比一次性選定的系統(tǒng)與逐步增加部件的系統(tǒng)部件使用量大小，得出逐步增加部件的方法平均每1～2天增加一個(gè)部件，時(shí)間間隔夠長(zhǎng)，且能夠明顯減少部件的投入使用量，從而節(jié)約大量資源。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說(shuō)明

k／n（t）：（G）系統(tǒng)表示由n（t）中取k系統(tǒng)，其中n（t）視情而定；

n（t）表示k／n（t）：（G）系統(tǒng)t時(shí)刻的系統(tǒng)容量；

Pt為可靠性閾值，當(dāng)系統(tǒng)可靠性大于閾值則系統(tǒng)工作，否則失效。

1.2 k／n：（G）系統(tǒng)

k／n：（G）系統(tǒng)是指一個(gè)具有n個(gè)部件組成的系統(tǒng)，當(dāng)n個(gè)部件中有k 個(gè)或者k 以上的部件工作，系統(tǒng)則正常工作，否則系統(tǒng)失效。其中n為系統(tǒng)容量，k為系統(tǒng)工作的最小工作部件數(shù)。k／n：（G）系統(tǒng)的可靠性框架如圖1所示。

圖1 k／n：（G）系統(tǒng)

若k／n：（G）系統(tǒng)中的n 個(gè)部件獨(dú)立同分布于F（t），且記初始時(shí)刻部件為新，則系統(tǒng)的可靠度R（t）與時(shí)間的關(guān)系為

式 （1）顯示了當(dāng)k 固定時(shí)，在同一時(shí)刻t，系統(tǒng)的可靠性會(huì)隨著系統(tǒng)容量的增加而增加。

2 k／n（t）：（G）系統(tǒng)系統(tǒng)容量n（t）的選擇

在系統(tǒng)工作要求的條件下，可以根據(jù)期望的運(yùn)行時(shí)間，選擇某種容量的k／n（t）：（G）系統(tǒng)。很明顯，如果對(duì)系統(tǒng)期望的運(yùn)行時(shí)間不長(zhǎng)，系統(tǒng)容量就會(huì)很小，反之很大。如果根據(jù)對(duì)系統(tǒng)期望的運(yùn)行時(shí)間而事先選擇某種容量的k／n（t）：（G）系統(tǒng)，由于部件一開(kāi)始全部投入使用，部件熱備冗余導(dǎo)致部件壽命過(guò)早衰減，浪費(fèi)了資源以及部件的可靠性，以這種方式選擇系統(tǒng)容量理論上并不是最優(yōu)選擇。

2.1 k／n（t）：（G）系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)期望的運(yùn)行時(shí)間一次性選擇n

一般而言，k／n（t）：（G）系統(tǒng)要求工作的最小部件數(shù)k是一定的，系統(tǒng)容量n（t）視情而定。系統(tǒng)可靠性隨著時(shí)間的增加呈現(xiàn)遞減的趨勢(shì)。而實(shí)際上，當(dāng)對(duì)系統(tǒng)要求較高時(shí)，不僅需要表決系統(tǒng)存在k 個(gè)或者k 個(gè)以上部件工作而且需要系統(tǒng)可靠性R（t）大于事先給定的閾值Pt。系統(tǒng)可靠性與時(shí)間以及閾值的關(guān)系如下

系統(tǒng)可靠性R（t）分別是關(guān)于時(shí)間的遞減函數(shù)和系統(tǒng)容量的遞增函數(shù)，式 （2）給出系統(tǒng)可靠性與系統(tǒng)容量隨時(shí)間的關(guān)系。根據(jù)式 （2）逐一對(duì)不同容量系統(tǒng)可靠性的計(jì)算，可以確定在系統(tǒng)期望運(yùn)行時(shí)間的要求下k／n（t）：（G）系統(tǒng)的最小容量n（t）。

2.2 k／n（t）：（G）系統(tǒng)以逐步增加部件的方式選擇容量n

基于上述研究，考慮以逐步增加部件的方式運(yùn)行k／n（t）：（G）系統(tǒng)，即先給定一個(gè)小容量n0（n0＞k）的k／n0：（G）系統(tǒng)，使系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)行，當(dāng)系統(tǒng)可靠性下降到閾值Pt時(shí)，立即對(duì)系統(tǒng)增加一個(gè)新部件，系統(tǒng)可靠性升高，當(dāng)系統(tǒng)可靠性再次下降到閾值Pt時(shí)，繼續(xù)對(duì)系統(tǒng)增加一個(gè)新部件，……以此類推，根據(jù)上述過(guò)程的系統(tǒng)可靠性計(jì)算，可以確定在系統(tǒng)期望運(yùn)行時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)需要的最小容量以及逐步增加部件的時(shí)間序列。具體各階段系統(tǒng)可靠性計(jì)算公式如下，給定容量n0的k／n0：（G）系統(tǒng)與時(shí)間相關(guān)的可靠性

依次類推，可以推導(dǎo)任意容量的系統(tǒng)的可靠性

式中：m——某正整數(shù)。通過(guò)迭代的算法，可以通過(guò)已知的信息，計(jì)算任意系統(tǒng)容量的可靠性如圖2所示，其中箭頭表示信息的傳遞方向。

圖2 系統(tǒng)可靠性計(jì)算

3 算例研究

針對(duì)上述根據(jù)系統(tǒng)期望的運(yùn)行時(shí)間一次性選定系統(tǒng)容量以及新提出方法的情況，有必要用數(shù)值算例驗(yàn)證兩種情況優(yōu)劣。

3.1 k／n（t）：（G）系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)期望的運(yùn)行時(shí)間一次性選擇容量算例研究

設(shè)計(jì)者常常對(duì)系統(tǒng)關(guān)鍵部件或者其它部件配置冗余以保證系統(tǒng)可靠性。由于k／n（t）：（G）系統(tǒng)部件屬熱備冗余，能較好的保證系統(tǒng)可靠性，因此被生產(chǎn)部門常采用。對(duì)于選擇何種容量的k／n（t）： （G）系統(tǒng)將成為一個(gè)優(yōu)化決策的問(wèn)題。

同樣認(rèn)為系統(tǒng)工作所需要的最小部件數(shù)k 是一定的，假定k＝50，且要求系統(tǒng)可靠性大于可靠性閾值pt＝0.75時(shí)系統(tǒng)才算工作。所有備選部件屬同質(zhì)部件且壽命Xo（以年記）同分布于W（1.2，0.01；t）。因此不同系統(tǒng)容量n的與時(shí)間相關(guān)的系統(tǒng)可靠性如圖3所示。

圖3 不同系統(tǒng)容量k／n：（G）系統(tǒng)的可靠性趨勢(shì)

其中黑色點(diǎn)為系統(tǒng)在當(dāng)前容量以及當(dāng)前閾值下，系統(tǒng)工作與失效的時(shí)間分界點(diǎn)。在時(shí)間分界點(diǎn)以前系統(tǒng)工作，在分界點(diǎn)后系統(tǒng)失效，即在相應(yīng)容量下，系統(tǒng)壽命為黑色點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間。因此通過(guò)對(duì)系統(tǒng)期望的工作時(shí)間，可確定最佳的系統(tǒng)容量。不同容量系統(tǒng)可靠性隨時(shí)間變化的平面趨勢(shì)如圖4所示。

圖4 不同容量系統(tǒng)可靠性隨時(shí)間變化的平面趨勢(shì)

其中黑色點(diǎn)表示在系統(tǒng)期望的運(yùn)行時(shí)間T＝0.05 年，系統(tǒng)可靠性閾值pt＝0.75時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)行需要的最小容量為81。容量低于81的可靠性曲線，系統(tǒng)達(dá)不到期望的工作時(shí)間而失效，高于81的可靠性曲線，系統(tǒng)工作且可以繼續(xù)工作，存在資源的剩余。因此對(duì)系統(tǒng)所期望工作的時(shí)間不同，系統(tǒng)容量的選擇也不同，表1列舉了對(duì)系統(tǒng)不同的期望工作時(shí)間下，系統(tǒng)最佳容量的選擇情況。

表1 與時(shí)間相關(guān)的系統(tǒng)容量n（t）

3.2 k／n（t）：（G）系統(tǒng)以逐步增加部件的方式的容量選擇算例研究

事實(shí)上，上述系統(tǒng)容量n（t）的選擇并不一定是最優(yōu)的，因此考慮對(duì)k／n（t）：（G）系統(tǒng)逐步增加部件，使系統(tǒng)冗余部件既存在熱備冗余也存在冷備冗余，以此利用冷備冗余在備用過(guò)程中不消耗壽命的優(yōu)勢(shì)，節(jié)約系統(tǒng)投入使用的部件數(shù)量。

以3.1背景為例，選擇初始容量n0＝60 （視情而定）使系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)行，當(dāng)系統(tǒng)可靠性下降到閾值pt＝0.75時(shí)對(duì)系統(tǒng)增加一個(gè)新部件，以此類推，該過(guò)程下系統(tǒng)可靠性與時(shí)間的關(guān)系如圖5實(shí)線所示。

圖5 逐步增加部件的系統(tǒng)可靠性與時(shí)間關(guān)系

圖5虛線表示原始系統(tǒng)在期望運(yùn)行時(shí)間T ＝0.05 年下，系統(tǒng)最佳容量為81的可靠性曲線圖。而實(shí)線表示系統(tǒng)逐漸增加部件的時(shí)間以及系統(tǒng)可靠性變化曲線，可以看出在同樣期望工作時(shí)間下該系統(tǒng)只需使用67個(gè)部件，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，逐步增加部件的方法能夠明顯的減少系統(tǒng)部件的投入使用量。且系統(tǒng)逐步增加部件的時(shí)間序列 （以年記）為（0.02139 0.02341 0.02507 0.02825 0.03276 0.03835 0.04477 0.05179），以天記的時(shí)間序列為（7.8073 8.5447 9.1506 10.3112 11.9574 13.9976 16.3411 18.9034），因此在期望系統(tǒng)工作的時(shí)間T ＝0.05年，即15天的情況下，平均每1～2天增加一個(gè)新部件并不算頻繁。表2列舉了該情形下系統(tǒng)最佳容量隨系統(tǒng)不同的期望運(yùn)行時(shí)間的選擇情況。

表2 與時(shí)間相關(guān)的系統(tǒng)容量n（t）

對(duì)比表1，表2系統(tǒng)最佳容量的選擇，同樣保證系統(tǒng)工作的條件下，以逐步增加部件的方式的表決系統(tǒng)可以明顯減少系統(tǒng)部件的使用量。兩種情況下系統(tǒng)不同期望時(shí)間以及對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)容量選擇情況如圖6所示。

圖6 兩種情況系統(tǒng)最佳容量選擇對(duì)比

圖6中線1、線2分別表示原始方法和提出方法兩種情況下系統(tǒng)期望的運(yùn)行時(shí)間與系統(tǒng)需要的最小容量的關(guān)系?？梢钥吹骄€2在同樣系統(tǒng)期望運(yùn)行的時(shí)間下，系統(tǒng)需要的容量明顯小于線1，即提出方法相對(duì)原方法有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。

4 提出方法的優(yōu)越性

首先，從理論上，提出方法 （k／n（t）： （G）系統(tǒng)逐步增加部件的方法）由于消耗性部件并沒(méi)有全部一開(kāi)始就投入使用，因此節(jié)約了大量消耗型部件的壽命，在勞動(dòng)力資本相對(duì)部件使用資本足夠小的情況下，提出方法理論上優(yōu)于原方法。其次，從上述算例模擬研究的結(jié)果可以看出新方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)。雖然在算法上復(fù)雜于原方法，但是通過(guò)設(shè)計(jì)的可靠性計(jì)算流程，可以解決算法上的難題，且算法耗時(shí)可以很短，因此在實(shí)踐上提出方法也優(yōu)于原方法。對(duì)k／n（t）：（G）系統(tǒng)，調(diào)整系統(tǒng)使用的最小部件參數(shù)k 或者調(diào)整部件的參數(shù)，均可以通過(guò)調(diào)整代碼而算出結(jié)果，并且得出的結(jié)論是一致的。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究最少部件工作數(shù)k固定情況下，k／n：（G）系統(tǒng)的最佳系統(tǒng)容量n（t）隨時(shí)間的選擇。在系統(tǒng)期望工作時(shí)間內(nèi)，列舉了部分一次性選定的表決系統(tǒng)的最佳系統(tǒng)容量n（t）以及逐步對(duì)表決系統(tǒng)增加部件所選擇的最佳系統(tǒng)容量n（t）。并在相同的系統(tǒng)工作時(shí)間內(nèi)，對(duì)比了兩種方式所選擇的系統(tǒng)容量，結(jié)果顯示在長(zhǎng)時(shí)間工作的情況下，逐步對(duì)表決系統(tǒng)增加部件的方式可以減小部件的使用量，且逐步安裝部件的時(shí)間間隔較長(zhǎng)，并沒(méi)有頻繁的增加部件導(dǎo)致勞動(dòng)量較大，但不可排除逐步增加單個(gè)部件的方式會(huì)存在個(gè)別時(shí)間間隔較短，同時(shí)增加兩個(gè)或者更多可能更優(yōu)，但這種情況下，增加不同個(gè)數(shù)部件會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性計(jì)算的困難，因此后續(xù)的研究中將考慮個(gè)別增加兩個(gè)及以上的情況，并進(jìn)一步考慮該情況系統(tǒng)可靠性的計(jì)算的方法。

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