初等數(shù)論在歷史年代學中的應(yīng)用

羅見今

（內(nèi)蒙古師范大學科學技術(shù)史研究院，呼和浩特010022）

初等數(shù)論在歷史年代學中的應(yīng)用

羅見今

（內(nèi)蒙古師范大學科學技術(shù)史研究院，呼和浩特010022）

應(yīng)用初等數(shù)論中的同余式、連分數(shù)、漸近分數(shù)、不定方程等工具，分析考古年代學提出的若干問題，以敦煌漢簡、居延漢簡、《史記》等出土文物和史料為證據(jù)，將《二十史朔閏表》、《三千五百年歷日天象》的記錄視為大時段日月運行的數(shù)據(jù)庫，證明或論述中國歷法的五個周期性質(zhì)，從而闡明應(yīng)用數(shù)學進行年代考釋的基本原理和方法。

初等數(shù)論；漢代簡牘；朔閏表；歷法的周期性質(zhì)；考古年代學

一、研究的背景和問題的提出

當人們研究一個歷史問題或遇到一件出土文物的時候，首先須回答：它是什么朝代、什么時期的？有時還須進而了解：它是哪一年、哪一月的？這就是史學中的斷代問題，在整個歷史科學、特別是考古學中占有重要的地位。歷史、考古、文物工作者在長期的實踐和研究工作中具有豐富的經(jīng)驗，形成了年代學的基本理論，對大量年代學實際問題作出了科學而準確的判斷。人們現(xiàn)在所知關(guān)于歷史上的一切，幾乎都建立在年代學的框架之中。這個基本框架經(jīng)歷了千千萬萬史實的驗證，是不可動搖的。

然而人們也不能忘記，史學家們所面對的是五千年悠久的歷史。由于自然和人的作用，關(guān)于古代紀年的信息所存無幾；隨著時間的流逝，“過去”離我們愈加遙遠、變得模糊不清。大量的問題不是“拂去塵封”就可以探知其真的。歷史是復雜的，它充滿了矛盾。人們有理由懷疑史書中個別年月日的記錄，因它是否后來所修，或有改寫的動機；也可以指謫歷譜中的錯誤，認為它主要靠推算而得，不見得是當時的應(yīng)用歷譜；或者把希望寄托在出土的文物之上：它的年號、月朔記錄應(yīng)當是真實的。然而，出土文物的記錄也可能出現(xiàn)牴牾，例如：1930年在今內(nèi)蒙古西部出土的“居延漢簡”中有一枝（編號137·3，224·18）為：［1］

建平五年（前2）十二月丙寅朔乙亥誠北候長□充□言之官下詒詣（符號“□”表示原來木簡上的字難以辨認，“”表示以下部分斷缺。下略）。

但是另有一枝（編號495·12A，506·20A）卻是：［2］

兩簡同是同年十二月，但朔日（初一日）的干支卻相差25天！究竟哪一枝記錄可信呢？如果查一查史學界通用的、陳垣先生編《二十史朔閏表》，［3］得知建平五年（即元壽元年）十二月乙未朔，與兩簡所記又不相同！如果你繼續(xù)去查宋人劉羲叟的《長歷》、清人汪曰楨的《歷代長木輯要》［4］以及《漢書》［5］（第3冊848頁記，該年十二月有庚子日），你會得出互相矛盾的結(jié)論而莫知所從。

當然，這個例子較典型但并不普遍。由于分治、戰(zhàn)亂、改歷等因素的影響，有些歷史階段會出現(xiàn)各地使用歷譜不完全一致的情況；而竹木簡的記載也可能有筆誤、釋文錯誤等問題。絕大多數(shù)歷史記載、歷譜、文物的時間記錄基本是真實的，但又不是絕對正確的，需要進行具體的分析。

另一方面，史學家對同一歷史事件年代的判斷可以出現(xiàn)重大分歧。最著名的一例是武王伐紂之年代，從西漢末的劉歆開始，到1997年為止，至少發(fā)表了106種論著，提出了多達44種不同的伐紂之年，其上下限為前1130年到前1018年。［6］如果史學家都爭論不已，一般人更是莫所適從了。所以國家撥巨款，從事“斷代工程”的年代學研究，以確定夏、商、周的年代。其成果當然對于中國歷史具有重要意義。

事實上，除了這類重大的課題之外，應(yīng)用傳統(tǒng)的史學方法對于判定某些文物的年代、推算某些年代的歷譜等也可能出現(xiàn)錯誤。雖然無關(guān)重大歷史事件，但有悖于歷史的真實，也應(yīng)當予以糾正。在下文中將舉出具體例子說明。更多的情況是傳統(tǒng)的方法無法對文物精確斷代，只好劃出一個大致的時代上下限，使之處于模糊的狀態(tài)。

隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的進步，天文、數(shù)學、物理、化學等方法開始在年代學領(lǐng)域中取得巨大成果，成為斷代的有力工具。用天文學方法進行考古卓有成效，備受中外科學家的重視，已形成了“考古天文學”的分支。利用測定文物放射性的方法確定年代日臻完善，例如1947年利比創(chuàng)放射性同位素C14法測定年代已被大量使用。還有利用紅外線、電腦圖象識別等方法。其中，根據(jù)歷史、考古知識，利用歷法、數(shù)學方法，建立合適的數(shù)學模型，推導出一系列周期定理和判定定理，用來做考證年代的工具，簡便、適用、精確，與傳統(tǒng)方法結(jié)合緊密，值得系統(tǒng)討論。

眾所周知，中國傳統(tǒng)歷法又稱為“干支歷”。相傳黃帝之臣大撓創(chuàng)甲子，乙丑，……癸亥，干支相配紀日、六十周而復始，是我國先人的偉大創(chuàng)造，其意義可與數(shù)字的發(fā)明相媲美。學術(shù)界一般認為傳統(tǒng)歷法自魯隱公元年（前722）以來，干支紀日至今未間斷，將近一百萬天的連續(xù)記錄，在世界歷法史上絕無僅有，并相信這一天的到來，更多的人們會體會到它的價值。我們把干支紀日的既不重復、又不間斷的性質(zhì)稱為“連續(xù)原理”，它是進行一切歷法、數(shù)學的計算、推理的基礎(chǔ)。

干支紀日具有獨特之處?，F(xiàn)有一例：20世紀初出土的“敦煌漢簡”中有一枝歷譜簡（編號97），背面記有“閏（十二）月丙申朔大”［7］。因它是散簡，并不知是哪一年的。根據(jù)簡正面十二個月朔的記載，確認此閏月應(yīng)是閏十二月；經(jīng)考證知此歷譜簡屬西漢宣帝神爵三年（前59）?？甲C有許多根據(jù)；但是，僅根據(jù)“閏（十二）月丙申朔大”這一信息，就可以完全確定它為神爵三年簡，因為它是非常獨特的：在從公元前206年西漢始，至2000年的兩千二百多年中，僅有公元前59年是“閏十二月丙申朔大”。這種唯一性受到閏十二月周期性、丙申朔的周期性、大月的周期性的限定，往往被人忽視。同樣，大量無年號的朔閏干支記錄也都包含著各自的周期性和獨特性秘密，期待著人們?nèi)テ平?。相比之下，西歷如果記有“12月1日”，它可能屬于兩千多年中的任意一年，對于斷代則無所助益。由此凸顯出干支歷的特殊性，對于考釋年代，不啻為解決問題的一把鑰匙。

中國歷法原被稱為“皇歷”，因制歷權(quán)為朝廷特有，并以皇帝名義頒行天下；后來又叫“農(nóng)歷”。在民間流行稱為“陰歷”（月亮歷），其實是不對的，應(yīng)是陰陽合歷（月亮—太陽歷），因它既含月象盈虧，又合寒暑時令。它的一年有354日（也有355日），閏年384日（也有383、385日）；它的一個月大月有30日，小月29日。但實際上1回歸年有365.242 198 78日，而1朔望月有29.530 588 67日。中國歷代天文歷法家經(jīng)過千百年持續(xù)不斷的努力，精確地觀測天象，編制優(yōu)秀的歷法，使之與日月星辰的運行盡量相合。幾千年過去了，中國歷法作為一個整體，平均每年的日數(shù)、平均每月的日數(shù)分別與回歸年、朔望月逐漸相合，本文稱其為“趨同原理”。歷法中的許多周期性質(zhì)是由日、月的周期，干支周期共同決定的，它們建立在趨同原理的基礎(chǔ)之上。

二、應(yīng)用初等數(shù)論的方法解決歷法問題

為研究干支的周期性，須了解初等數(shù)論中的同余理論。對于整數(shù)a，b及正整數(shù)m有下列關(guān)系：

a=mq1+r1（0≤r1≤m），b=mq2+r2，（0≤r2≤m）

而r1=r2；則說：a，b對于模數(shù)的m為同余，也可以說：對于模數(shù)m，a，b同余，記作a≡b(mod m)上式叫做同余式。例如，42、50被8除，得到的余數(shù)都是2，于是說：42、50對于模數(shù)8為同余，記作42≡50（mod 8）；又如-11、16被3除，得到的余數(shù)都是1，于是說-11、16對于模數(shù)3同余，記作-11≡16（mod 3）。由定義可證明a-b可被m整除。

同余有諸多性質(zhì)，包含深刻的內(nèi)容。用它研究干支，可以得到一些計數(shù)的結(jié)果。為此，先將甲子，乙丑，……，癸亥依次用01，02，…，60表示，記作A（或B，N等）每個A都由天干a（a=1，2，…，10）和地支b（b=1，2，…，12）構(gòu)成，于是有

A=a（mod 10），A=b（mod 12），A=6a-5b（mod 60）

如果從干支A（a1,b1）計數(shù)到B（a2,b2），得到N（≤60），那么N表示兩干支之間的距離，有

任意兩干支日之間有多少天？這是一個復雜的問題，計算往往出錯。但實際問題非常之多。例如：

建武六年七月戊戌朔乙卯甲渠障候敢言府書曰吏民毋得伐樹木……（EPT22.53A）［8］

要問：乙卯是幾號？這是公元30年7月1日戊戌（5，11）到乙卯（2，4）日，上式表明可用兩種方法計算：乙卯B=52，戊戌A=35，據(jù)式可求出N=18；在不記得A，B的干支序號時，據(jù)式亦可求出N=18。

通常這種求日期算法均用歷譜或60干支表，一個個口數(shù)心計；列出算式可制程序交給計算機去完成的。

干支紀日具有順序意義、循環(huán)意義、數(shù)字意義。60甲子周期同回歸年和朔望月的日數(shù)（可以看作是無理數(shù)）不可公度，也就是不能找出三者之間都恰好合適的公倍數(shù)。在初等數(shù)論中便借助于連分數(shù)、漸近分數(shù)的方法來解決。

這種方法可以繼續(xù)進行下去，得到一個層層迭迭的分數(shù)，叫做連分數(shù)。任何一個實數(shù)都可以表示成連分數(shù)的形式。上例用一種簡單的寫法可記作x=［1，1，1，1，…］。

應(yīng)用迭代法，將試值x=1代入原式，得出x=1/2；將它再代入原式右邊，得出x=2/3；循此繼進，可求出一系列分數(shù)：這同將試值x=1代入連分數(shù)的第1，2，…各層后展開的結(jié)果是相同的。其實，原式本來就是方程，求出的一個根是，即黃金分割，x=0.618 033 988 7。上列分數(shù)值逐漸向這個極限靠近，所以把它稱為漸近分數(shù)。

我國西漢時已知求連分數(shù)，計算歷法問題卓有成效。以下引用華羅庚［9］先生的一個例子：怎樣算農(nóng)歷的閏月？將回歸年和朔望月的日數(shù)相除：

說明一年應(yīng)有12個朔望月，另外還余0.3683個月。應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法將它展開成連分數(shù)，得

它的漸近分數(shù)為（用更精確的數(shù)據(jù)獲得）

這表明：兩年一閏太多，三年一閏太少；八年三閏較多，十一年四閏較少；十九年七閏較多，334年123閏略少……古人常用十九年七閏；，積17個7閏之后，在下個11年中只作4閏，就更合于日、月的運行。以上對初等數(shù)論的同余和連分數(shù)作了簡介，對于了解以下內(nèi)容是必要的。

三、兩列漸近分數(shù)

我國古代天文歷法可分為觀象授時時期（上古至春秋中）、歷法準備時期（春秋中至戰(zhàn)國中）、歷法制定時期（戰(zhàn)國中至漢太初元年）。到《三統(tǒng)歷》臻于完備，載于《漢書·律歷志》。簡言之，漢代以來歷法、史書、文物的證據(jù)較先秦為多，在年代學中應(yīng)用數(shù)字方法可以找到歷史記錄作為證據(jù)。

幾千年來中國傳統(tǒng)歷法是一個整體、一個系統(tǒng)，雖然各個時期、每種歷法都有它的特點，但可作為分段演繹系統(tǒng)來考察。因此，有必要將陳垣《二十史朔閏表》等看作一個數(shù)據(jù)庫、把它作為數(shù)字研究的對象，認為歷譜中的記錄包含了日月運行的周期性、干支紀日的周期性等多方面的信息。本文將應(yīng)用天文年歷中精確的回歸年和朔望月數(shù)值，并以出土文物（主要是簡牘中的紀年）和《史記》、《漢書》等史書中的有關(guān)記載作為根據(jù)。

今記回歸年α=365.24219878，朔望月β=29. 53058867，設(shè)γ=α/β－12=0.36826678。問題是，若經(jīng)過S年使得每年所余γ月盡可能的湊足整月數(shù)t，即Sγ≈t，則稱t為閏月數(shù)（也就是閏年數(shù)）。即在S年內(nèi)應(yīng)有t個閏年。γ≈t/S，可將γ寫成連分數(shù)，再展開為漸近分數(shù)ti/Si。承上，利用精確的α，β值，所得結(jié)果為：

將這些理論計算的數(shù)值與朔閏表的實際結(jié)果相對照，人們會吃驚地發(fā)現(xiàn)，兩者幾乎完全吻合！翻開陳垣《二十史朔閏表》，任取相差1021年或1708年的兩年，其間的閏年數(shù)恰為376年或629年！如果不合，往往是由于數(shù)錯造成。對于上列漸近分數(shù)中的最后一個，問題在于2729年中是否真的有1005閏？須查張培瑜的《三千五百年歷日天象》［10］，如果從公元前721年（魯隱公元年）起算，1995年是第一個“千閏年”，2009年將迎來第1005閏，也可以看作是第六個千閏年。這充分說明我國歷代的天文歷法學家，以他們堅持不懈的共同努力，使歷法的精度漸次密合于天象；千閏年的出現(xiàn)，是趨同原理的典型事件，具有深刻的天文—歷法意義和豐富的數(shù)學內(nèi)涵。［11］

當然，不同歷法如何置閏可以小有區(qū)別，但目的都是使所制定的歷法與太陽運行相調(diào)，稱為調(diào)日法。同時，不同歷法又必須安排好大小月的順序和兩者間的數(shù)量比，以使歷法與月亮圓缺相諧，這里稱為諧月法。因β-29.5=0.03058867，說明大月的總數(shù)應(yīng)當比小月多，設(shè)一個階段（比如q年）中大月數(shù)減小月數(shù)的差為諧月數(shù)φ（整數(shù)），那么諧月法就是要解決在q年中應(yīng)加入多少個諧月的問題。

設(shè)m=30日為1諧月（它是1大月，也可能是蟬聯(lián)大月的后一個月），n=29.5日為1平月（大小月均值），ε=β－n=0.03058867日為1平月不足1朔望月之日數(shù)，δ=m－β=0.46941133日為1諧月多于1朔望月之日數(shù)。顯然ε+δ=m－n=0.5。設(shè)比值μ為每過qi年應(yīng)增添的pi個諧（大）月，可以證明（此略）：

表示成漸近分數(shù)，即有

μ的意義不太直觀，最后一個分數(shù)表示1089年中應(yīng)有824個諧月，從月朔表中我們同樣獲得了有力的證據(jù)（關(guān)鍵是按定義計算諧月數(shù)要準確）。應(yīng)用這列分數(shù)，可求出任一時段q內(nèi)諧大月數(shù)p，q大則精確。以《三統(tǒng)歷》（前104到公元85）行用的189年為例。從上列分數(shù)中選出28/37和3/4，存在以下等式表明在5個37年中增添5次28個諧大月之后，所余4年應(yīng)加入3個諧月（此時與的相對誤差約十萬分之六）。因此p=143對q=189是最佳的選擇。而《三統(tǒng)歷》的實際情況p值偏小，我們統(tǒng)計（從公元前104年的正月起算）為142諧月。這樣，就可以從一個方面對歷法精度作出估計。

類似地，可將此法應(yīng)用到歷法研究的更多方面，還可用以分析木星（歲星）、金、火、水、土五星的運行，對于深入認識天文歷法，不失為一種有效的工具。歷法中常見的周期性質(zhì)也可以用連分數(shù)、漸近分數(shù)的方法來證明。

人們有理由關(guān)注歷譜中不同性質(zhì)的干支出現(xiàn)的周期性，這些問題有：1.任一朔干支重現(xiàn)周期，2.任一月朔干支重現(xiàn)周期，3.任一閏月朔重現(xiàn)周期，4.某一年朔序（定義見下）重現(xiàn)周期，5.任一八節(jié)（定義見下）干支重現(xiàn)周期，等。以往的研究已經(jīng)提到“農(nóng)歷的年、月也有周期性?！讶崭芍У闹芷诤娃r(nóng)歷年月聯(lián)系起來看，卻找不到一個整數(shù)的公共周期。我們從實踐中，找到了大體上五年和三十一年的兩個周期?！保?3］這個結(jié)論不夠清晰、準確，也需要進行論證，但它指出了周期性的存在。

以下列出上述五個周期的性質(zhì)定理，有的給出簡要論證，有的列舉它在考古年代學中的應(yīng)用。

四、干支歷特有的與月朔、閏月朔相關(guān)的三個周期性質(zhì)

性質(zhì)一、任一朔干支會在61、63或65個月后重現(xiàn)。

設(shè)A為某月朔干支，在經(jīng)歷了p個大月和q個小月后重現(xiàn)（p，q＞0）。30p+29q一定能被60整除，即p，q的最小值應(yīng)當滿足同余式30p≡-29q（mod 60）因29為素數(shù)，必有q=30；此時p為奇數(shù)，且q≠2k·30（k=1，2，…），故只取q=30。因大月數(shù)p＞q，故可取p=31，33，35，…由歷法知在連續(xù)60多個月中如果小月僅有30個，則大月不會有37個。否則誤差就太大了。故p=31，33，35。由此性質(zhì)一得證。

31×30+30×29=1800日=30甲子周；33× 30+30×29=1860日=31甲子；35×30+30× 29=1920日=32甲子。

例如：公元前105年12月甲午朔歷61個月后到前100年12月甲午朔共經(jīng)1800日；從1991年正月丙辰朔到1995年12月丙辰朔共歷61個月。常見的是中間經(jīng)過63或65個月。上文所說“大體上五年”的周期應(yīng)被性質(zhì)一取代，它是進一步推理的基礎(chǔ)。

性質(zhì)二、任一同月同朔干支可能在26、31或36年后重現(xiàn)?？珊営洖?1n或31n±5年（n=1，2，…）。

設(shè)a年u月（這里暫不考慮閏月）w朔，經(jīng)s年后為b年u月w朔，求最小s之值。顯然s=b－a為正整數(shù)。如果s年中含d個月，則據(jù)性質(zhì)一，當x, y,z為非負整數(shù)時，應(yīng)有65x+63y+61z=d；另一方面，設(shè)s年中閏t個月，則共有的月數(shù)d=12s+t，同時滿足d=平月數(shù)+諧月數(shù)?？蓪⒉欢ǚ匠毯喕?，利用歷法中的條件淘汰不合用的解（過程較繁，從略），得出三個d值：

d1=321月=12×26+9閏=300平月+21諧月=9480日=158甲子周

d2=384月=12×31+12閏=360平月+24諧月=11340日=189甲子周

d3=445月=12×36+13閏=420平月+25諧月=13140日=219甲子周

統(tǒng)觀幾千年歷譜s1=26年和s3=36年很少出現(xiàn)。例如漢宣帝神爵二年（前60）正月丁未朔，經(jīng)26年后到漢元帝建昭五年（前34）正月丁未朔；又如漢章帝建初五年（80）正月辛亥朔，經(jīng)36年到漢安帝元初三年（116）正月辛亥朔等。較多出現(xiàn)的是31n年（n=1，2，…）的周期，對31年=384月而言，實際上由一組解確定，由性質(zhì)一來看，由4次65個月、1次63個月和1次61個月堆疊而成；這31年同時滿足閏12次、包含24個諧大月，用前文所述兩列漸近分數(shù)可解釋為：

性質(zhì)二對于考證年代十分有用。在許多出土文物例如簡牘中，大部分未記年號，有一類僅記有月份和該月朔干支（或其月朔干支可以推算出來），叫做“月朔簡”［14］，例如居延漢簡“六月癸巳朔”（148.37號），“五月廿八日戊戌”等，它們的年代大部分可以準確推出［15］。這是因為對居延發(fā)掘地各探方伴出紀年簡上下時限進行統(tǒng)計，其平均值約為18年；而性質(zhì)二能夠保證在31年（2，36年）內(nèi)同月同朔紀錄只有一個，這對考古工作實在太有用了，結(jié)合出土信息和簡上內(nèi)容。所定年代能經(jīng)得起多種考驗。在敦煌發(fā)掘地的情況也類似。事實上性質(zhì)二對干支歷都是適用的，因此對各歷史時期的文物年代鑒定能發(fā)揮它的作用。

性質(zhì)三、閏月同朔干支經(jīng)常在51、52或57年后重現(xiàn)。

設(shè)A年閏u月w朔，經(jīng)s年后為B年閏v月w朔，求常見的最小s之值。如果s年中含d個月，則據(jù)性質(zhì)一，當x，y，z為非負整數(shù)時，應(yīng)有65x+ 63y+61z=d另外，設(shè)s年中閏t個月，則共有的月數(shù)d=12s+t－u+v，同時滿足d=平月數(shù)+諧月數(shù)。

這些都是必要條件。閏月朔的條件較復雜，用演繹的方法去求s會遇到很大困難，所以可用歸納的方法，對朔閏表中作為閏月朔的60干支分別進行統(tǒng)計。我們選取從公元前206年（西漢高祖元年）到公元815年（唐憲宗十年）共1021年，其間恰有376閏（與前列漸近分數(shù)376/1021相合，說明滿足趨同原理）。性質(zhì)三是統(tǒng)計的結(jié)果，它滿足已列出的必要條件，討論如下。

d1=638月，表現(xiàn)為51或52年。在不定方程中x=7，y=0，z=3。51或52年中必有19閏，因

故對51年，d1=638=51×12+19－u+v，即vu=7。說明凡過51年出現(xiàn)同朔之閏月，相差月數(shù)為7。對52年，d2=638=52×12+19－u+v，即v－u=5。說明凡過52年出現(xiàn)同朔之閏月，相差月數(shù)為5。

在51或52年中應(yīng)有38個諧月，這時d1=638月=600平月+38諧月=18840日=314甲子周。

另一結(jié)果是d2=705月=57年。在不定方程中x=8，y=1，z=2。因19×3=57故必有7×3=21閏，有

d2=57×12+21－u+v=705，即v=u。說明凡過57年出現(xiàn)同朔之閏月，其閏月數(shù)應(yīng)相等。因此這是同月同朔干支的周期問題，它同時滿足性質(zhì)一和性質(zhì)二。事實上57年=26年+31年=321月+384月 =705月，是將兩者堆疊而成的。

在57年中應(yīng)有45諧月，這時d2=705月=660平月+45諧月=20820日=347甲子周。

以下舉出3例：

晉武帝末年太熙元年（290）閏五月己丑朔，經(jīng)51年至晉成帝咸康七年（341）閏十二月己丑朔，歷638月，兩閏月份相差為7個月；

唐玄宗天寶十三年（754）閏十一月壬戌朔，經(jīng)52年至唐憲宗元和元年（806）閏六月壬戌朔，歷638月，兩閏月份相差為5個月；

漢宣帝地節(jié)元年（前69）閏正月己巳朔，經(jīng)57年至漢成帝延元年（前12）閏正月己巳朔，歷705月，兩閏月月份相同。

當然，對于歷法系統(tǒng)而言，由于幾千年中存在的非歷法因素的影響，使得有些性質(zhì)會有例外。例如王莽建新朝（公元8），下令將當年十二月改為正月，第二年正月改為二月，等，直到莽亡（公元23）。所以在此期間的閏月數(shù)要比正常的多1。如莽歷閏五月實際是閏四月。

在所考察的1021年中包括性質(zhì)三在內(nèi)全部閏月同朔干支相距的年代d均滿足57x+52y+51z=d，其中x，y，z為整數(shù)，意即d是57，52和51的線性組合，我們已找出考察區(qū)間內(nèi)的全部d值，并求出每個d的（x，y，z）值。這里省略。

例如前文所提到的漢宣帝神爵三年（前59）閏十二月丙申朔，要經(jīng)過d=533年后，在元徽三年（475）閏三月才出現(xiàn)第二次丙申朔，整個102年中閏月丙申朔才有三次，是閏十二月的只有一次。所以在2200多年中“閏十二月丙申朔”具有唯一性是不奇怪的了。d=533可分解為x=3，y=5，z=2。這種情況并非個別，例如漢成帝永始二年（前15）閏五月甲寅朔，要經(jīng)過d=635年后，在唐高祖武德四年（621）閏十月才出現(xiàn)第二次甲寅朔，整個1021年中閏月甲寅朔共有兩次?？梢娭袊鴼v法朔閏干支紀日法具有相當?shù)奶厥庑?，以前沒有被揭示過。這里d=635年可分解為x=3，y=5，z=4。

比57，52和51年小的d值有46年和47年，46年可分解為x=-1，y=1，z=1；47年為x=-1，y=2，z=0。它們出現(xiàn)的次數(shù)僅占全部d值出現(xiàn)總數(shù)的2.2％。

對公元前后的年數(shù)相加時，因無公元零年，故須將公元前年數(shù)絕對值減1后再與公元年數(shù)相加。

置閏在制歷中占有重要地位。太初元年（前104）之前，漢承秦制，以十月為一年之始，而將所有閏月排在歲尾，稱之謂“后九月”。以后歷法進步，按“無中（氣）置閏法”（不詳論），要據(jù)當時觀測、計算的結(jié)果來確定哪個月為閏月，后人所推出的歷譜就出現(xiàn)了不同的結(jié)果，如陳垣《二十史朔閏表》與劉曦叟的《長歷》就有諸多閏月記載不合；另外出土文物的記錄又出現(xiàn)于歷譜不合的情況，成為年代學研究中較突出的一個問題。所以有必要對閏月朔干支的周期性花費較多篇幅進行研究。上述必要條件還不是充分的，要作出置閏確否的判斷需要用綜合的方法，特別是要注重出土文物和史書的記載。

例如諸歷表均記神爵元年（前61）閏四月壬午（19）朔。但以下證據(jù)證明此年應(yīng)閏三月壬子49朔：

①“神爵元年四月壬午朔己酉46佐解事敢言□”（居延漢簡109.7號）。按照當時記錄閏月的習慣，只寫“閏月”，不寫“閏幾月”。故此簡壬午決非閏月朔，它表明應(yīng)是閏三月壬子朔。

②陳夢家先生說：“居延漢簡10.27，5.10，332.26，10.33，10.30，10.32，10.29，10.31等八簡是相聯(lián)的一冊，記神爵元年二月至五月詔書之下達，其閏月丁巳54、庚申57皆屬于閏三月壬子49朔”。［18］

③“四月廿九日庚戌47寢兵五月大辛亥48一日壬子49夏至”（下略，居延漢簡179.10號）。此簡可據(jù)“五月大辛亥一日（朔）”按性質(zhì)二參照伴出紀年簡的上下時限考為神爵元年，也可據(jù)“壬子夏至”周期性得出相同的結(jié)論。它表明非閏四月。

④《漢書·王子候表第三》載：“新利候偃膠東戴王子神爵元年四月癸巳30封”（《漢書》2冊493頁），表明該年非閏四月。

⑤應(yīng)用數(shù)字方法，從集合論的角度看，用“相連兩歷法月同屬奇（或偶）集其間必有閏月”的判定法則（不詳論），可確知是年閏三月。綜上，前61年當閏三而非閏四，諸表皆誤。

作此修改之后，經(jīng)過108年，到東漢光武帝廿四年（公元48）閏十月才出現(xiàn)壬子朔，d=108分解為x=1，y=0，z=1，說明這樣的修改滿足上述必要條件，從一方面證明它的可信度。

史學中立論與駁論有嚴格要求，證“無三不立，無五不駁”，要駁倒成論須有大量可靠證據(jù)。

五、干支歷特有的年朔序與分至八節(jié)的周期性質(zhì)

性質(zhì)四、如果某兩年的年朔序相同，則這兩年相隔31n（n=3，4，6，7，10，13，14，17，20，21，24，27，…）年。其中n=4，7，10，14，較多，n=7最常見。

所謂年朔序，指一年中朔日干支序列。例如據(jù)陳垣表漢高祖元年（前206）的年朔序為：乙卯乙酉甲寅甲申甲寅癸未癸丑壬午壬子辛巳辛亥庚辰，依次是前206年正月到十二月（此處暫不考慮十月歲首的規(guī)定）的朔日干支，將它譯為字符串，則成52 22 51 21 51 20 50 19 49 18 48 17。將全部歷譜的年朔序都譯為這樣的數(shù)串，要問哪一年將和它重復？

我們回答：過961年（=31×31，這里n=31）后，在唐玄宗末年天寶十五年（756）的年朔序和它完全相同。初看起來令人難以置信：時隔近千年，其間出現(xiàn)各種歷法30余種，而且756年是著名天文學家一行改用《大衍歷》的末年。

其實年朔序周期出現(xiàn)是較普遍的現(xiàn)象，它一直沒有引起重視。每次改歷，都要變更朔序，顯然對周期性有影響；但這種性質(zhì)突破各歷的差別，總會頑強地表現(xiàn)出來。不以大時段歷法的共同規(guī)律為研究對象則不能對它作出合理的解釋。本文是首次論述這些周期性質(zhì)。

根據(jù)性質(zhì)二，同月同朔干支可能會在31n或31n5年后（n=1，2，…）重現(xiàn)。年朔序相同就是要求一年各月朔干支皆同，條件更嚴，31n年成了必要但非充分的條件，進而須對n作限定。其周期性十分復雜，可用對歷譜進行統(tǒng)計分析的方法。我們選取從公元前206年到公元805年的1010年作為考察區(qū)間，從三方面進行研究：①找出所有重復的年朔序；②對不同的再現(xiàn)周期進行分類統(tǒng)計；③建立一個模型解釋統(tǒng)計現(xiàn)象。

結(jié)論是：在1010年中年朔序重復者有264例，涉及36年，占35.74％；同時，共有649個年號在千年之內(nèi)保持年朔序的獨特性、唯一性，占64.26％。將年朔序相同的公元年數(shù)寫在括號內(nèi)，將重現(xiàn)周期（年數(shù)）寫在括號前，按n值從小到大排到，每個n值只舉1例，有

這個表并沒有寫完；還有個別特例。限于篇幅，不贅。

把這些n值不同的年朔序作分類統(tǒng)計，可知它們出現(xiàn)的頻數(shù)各不相同，最常見的是n=7即相隔217年，可舉出98例，占264例的37.1％，其他依次為n=4（占12.1％），n=17（占9.85％），n=10（占9.47％）和n=14（占8.71％）。如果x，y為整數(shù)，則值一般滿足3x+4y=n,|x－y|≤2。

事實上除n為幾個常見值外，其他值都是據(jù)此推算出來。例如對x=5，y=3，有n=27；帶著“可能在837年（=31×27）后年朔序重現(xiàn)”的正確信息，才能發(fā)現(xiàn)從西漢惠帝二年（前193）過837年后到唐太宗貞觀十九年（645）年朔序重復出現(xiàn)。其他如當x=1，y=2時n=11；x=2，y=3時n=18等因出現(xiàn)頻數(shù)較小，或有其他個別例外。

中國歷史上有多少不同的年朔序？這個問題還是未知的。當修改了某年某月朔干支，可能出現(xiàn)新的年朔序，但是獨特的年朔序占60％多，重現(xiàn)的年朔序占30％多，大體是不會改變的。了解這一基本知識可以使我們避免年代考證中的錯誤。包括一些著名的國學大師如羅振玉（1866-1940）、王國維（1877-1927）在內(nèi)，因為忽略了年朔序的周期性，對敦煌漢簡中兩枚歷譜簡年代的確定，均推遲了217年（=31×7），這在年代學中當然是不能允許發(fā)生的。

第1枚簡：疏勒298號［7］（斯坦因編號）釋文為：“三日戊寅戊申戊寅丁未丁丑丙午丙子乙巳乙亥甲辰甲戌癸卯”。法國漢學家沙畹（E. Chavannes，1865-1918）和羅振玉［19］均考為永興元年（153），但實際上應(yīng)是元康元年（前65）；這兩年的年朔序是相同的，相差217年。

第2枚簡：疏勒697號［7］（斯坦因編號）釋文為：“九月辛丑朔大（中略）辛巳立冬十月十一日乙未”，王國維、張鳳認為它是“建安十年（公元205）歷”，但應(yīng)當是永始四年（前13）。［20］

在我們看來，當n=7時31×7（-65，153），（-13，205）只是周期為217年的兩例。其實從298號“三日”簡不難向前推兩天而求出“一日”簡的干支序列，即年朔序。它當然與公元153年朔序相同，但這僅是判斷年代的必要條件，其充分性并未證明，羅振玉在數(shù)學上犯了一個簡單的基本錯誤。我們學習高等數(shù)學，重要目的便是提交數(shù)學素養(yǎng)和邏輯思維能力。

性質(zhì)五、分至八節(jié)干支的任一個都會在23年，80年或103年重現(xiàn)。

中國傳統(tǒng)歷法是陰陽合歷。“分至”指春分、秋分、夏至、冬至，再加上立春、立夏、立秋、立冬，謂之“八節(jié)”，這是“陽歷”即太陽歷的內(nèi)容。重現(xiàn)24節(jié)氣，努力使它平均分布在一個回歸年（日）中，即節(jié)氣的確定應(yīng)符合太陽的運動，這樣耕種收獲就不誤農(nóng)時。

《分至八節(jié)表》［10］（前1500—公元2050年）載有3550年的2.84萬個干支數(shù)據(jù)，平均每節(jié)的每個干支出現(xiàn)59.167次。由于規(guī)律性很明顯，不必去研究480種不同八節(jié)干支的全部，只須追蹤其中的幾個，就可以歸納出性質(zhì)五來；也不必列出所有（平均）59個年代，只須選擇其中一段，例如：

壬戌春分：-190（23）-167（80）-87（23）-64（80）17（23）40（80）120（23）143（80）223…

甲子秋分：-145（103）-42（103）62（103）62（103）165（103）268（103）371（23）394（80）474（23）497（80）577…

癸巳冬至：-145（23）-122（80）-42（23）-19（80）62（23）85（80）165（23）188（80）268…

其中負號表示公元前，括號內(nèi)的數(shù)字表示括號前后兩個年代的差。其規(guī)律性一目了然。

很自然要問：為什么會出現(xiàn)性質(zhì)五的周期呢？23α=8400.5706日=140甲子周+0.5706日，8α=29219.3759日=487甲子周-0.6241日，103α=37619.9465日=627甲子周-0.0535日。

在103年中只有1小時17分4.6秒的誤差，歷法當然要盡可能與之相合。不同歷法、出土文物等對某年八節(jié)干支的記錄也可能出現(xiàn)差別，但這不會影響性質(zhì)五的周期性。偶爾有57年的周期，因57α是347甲子周少1.1947日，誤差稍大，這就是它在歷法中較少出現(xiàn)的原因。

事實上推算出上述幾萬個八節(jié)干支并不難，難的是一旦與文物、史書記載相忤時該如何解釋。由于規(guī)律性強，可將歷史年代劃分成若干時段（如秦漢440年可劃成三段），選定正確的初值（如前221年的八節(jié)干支），代入統(tǒng)一的八節(jié)干支算法公式，注意每段的修正值，則可推算出其間任一年的八節(jié)干支來。

將性質(zhì)五應(yīng)用于簡牘等文物的年代考釋，以上述居延漢簡179.10號“壬子夏至”為例，據(jù)《分至八節(jié)表》：-164（103）-61（103）43（23）66（80）146…，只有公元前61年（神爵元年）符合此簡的年代。據(jù)《史記·匈奴傳》：太初三年（前102）“使強弩都尉路博德筑居延澤上”；［21］而建武八年（公元32）之后該地屯戍活動急劇減少，只出土了零星分散的紀年簡，所以神爵元年前后各103年皆不可能成為此簡的年代。

又如上述敦煌漢簡697號“辛巳立冬”，有：-196（80）-116（23）-93（80）-13（23）11（80）91（23）114…，其中只有前13年（永始四年）符合此簡的年代，較近的公元11年（始建國三年）是王莽時代，與697號其他信息不符。

六、結(jié)語

中國傳統(tǒng)歷法用干支紀年月日時，形成幾千年的歷譜，包含了每個歷法階段的豐富信息，有的屬于天文、觀測，有的屬于數(shù)學、計算，有的屬于社會、人事，成為人類珍貴的科學遺產(chǎn)；同時它又是歷史研究中必不可少的時間坐標，熟練而正確使用歷表是最基本的要求。因此要走進這座寶庫需要天文、歷法、數(shù)學的一些知識。

顧炎武說：“三代之上人人皆知天文”?，F(xiàn)代分工和教學的內(nèi)容使大多數(shù)人缺乏起碼的天文知識，干支歷對青年人也日漸陌生。然而，中國歷法已有幾千年歷史，凡有華人的地方，年復一年隆重慶祝傳統(tǒng)的春節(jié)、元宵、端午、中秋等節(jié)日，將世代相傳。

每當提到天文、歷法、數(shù)學時，學文科的學生不免立即聯(lián)想到非常復雜的公式、微積分方法等，從而產(chǎn)生畏懼心理。當然現(xiàn)代科學的確有許多領(lǐng)域不受專門訓練便不能得其門徑而入；但是古人也同樣不懂這些，他們卻靠堅持不懈觀測天象、不斷改進算法和進行主要是四則運算而制定了精密的歷法，沿用幾千年，這是發(fā)人深省的。

本文所用的方法屬于初等數(shù)論的范疇，所提出的漸近分數(shù)和性質(zhì)定理具有實際應(yīng)用的價值。歷法研究一般是根據(jù)史書天文律歷志對天文常數(shù)、觀測數(shù)據(jù)和算法的記載去推算歷法，起止時間以某部歷法行用為始終，有一定局限性。本文則力圖以歷法系統(tǒng)為目標，去尋求適合于各種歷法的共同規(guī)律；［22］由于傳統(tǒng)歷法不是一個完整的演繹系統(tǒng)，所以將歸納和演繹法相結(jié)合，研究統(tǒng)計的規(guī)律，推敲建立數(shù)學的模型，從而獲得一批周期性的結(jié)果。我們已據(jù)此研究了幾百枝簡牘的年代學問題，在史學和漢學的專業(yè)刊物如《文史》、《敦煌研究》、臺灣《漢學研究》上發(fā)表，將此性質(zhì)應(yīng)用于年代考釋初見成效。在人文社會科學中應(yīng)用數(shù)學方法所見多有，體現(xiàn)了數(shù)學向文科領(lǐng)域滲透的趨勢；而應(yīng)用初等數(shù)論研究歷史年代學，也將逐步完善，成為一種可以接受的輔助考釋方法。

［1］謝桂華,等編.居延漢簡釋文合校上冊［M］.北京：文物出版社,1987：228.

［2］謝桂華,等編.居延漢簡釋文合校下冊［M］.北京：文物出版社,1987：594.

［3］陳垣.二十史朔閏表［M］.北京：中華書局,1978.

［4］汪曰楨.歷代長術(shù)輯要［M］//四部備要·子部.北京：中華書局,1936.

［5］班固.漢書第3冊［M］.北京：中華書局,1975：848.

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［7］林梅村,李均明.疏勒河流域出土漢簡［M］.北京：文物出版社,1984.

［8］甘肅省文物考古研究所等編.居延新簡——甲渠候官［M］.北京：中華書局,1994.

［9］華羅庚.高等數(shù)學引論.一卷一分冊［M］.北京：科學出版社,1963：63.

［10］張培瑜.三千五百年歷日天象［M］.鄭州：河南教育出版社,1990.

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［12］呂子方.中國科學技術(shù)史論文集.上冊［M］.成都：四川人民出版社,1983：35-57.

［13］葛真.用日食、月相來研究西周的年代學［M］.貴州工學院學報,1980（2）：81-100.

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［16］羅見今,關(guān)守義.敦煌漢簡中月朔簡年代考釋［J］.敦煌研究,1998（1）：158-165.

［17］羅見今,關(guān)守義.敦煌、居延漢簡中與朔閏表不合諸簡考釋［M］.文史,2000（1）：57-72.

［18］陳夢家.漢簡綴述［M］.北京：中華書局,1980：233.

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［20］羅見今,關(guān)守義.敦煌、居延若干歷簡年代考釋與質(zhì)疑［J］.臺北：漢學研究,15,1997（2）：37-50.

［21］司馬遷.史記·匈奴列傳［M］.北京：中華書局,1959：第9冊2916.

［22］羅見今.中國歷法的五個周期性質(zhì)及其在考古年代學中的應(yīng)用［M］//黃留珠主編.周秦漢唐文化研究：第三輯.西安：三秦出版社,2004：6-18.

（責任編輯：戢斗勇jidouyong@qq.com）

The Application of Elementary Number Theory in the Historical Chronology

LUOJian-jin
（Institute for the HistoryofScience＆amp;Technology,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,China）

Based on some tools in elementary number theory,such as congruence,asymptotic fraction,the continued fraction Diophantine equation,etc.,this paper analyzes some questions presented in archaeological chronology.Taking Dunhuang bamboo slips,Ju Yan bamboo slips of Han Dynasty,the book“Historical Records”,unearthed relics and historical data as evidence,and the records of“Calendar of Twenty Dynasties in China”and“Calendar in Three Thousand Five Hundred Years”as a database of sun and moon movements, this paper proves and discusses five cycles properties in Chinese calendar so as to clarify the basic principles and methods of the archaeological chronology of mathematics.

Elementary number theory;bamboo slips in Han Dynasty;Chinese Historical Calendar;the cyclical theorems of Chinese calendar;archaeological chronology

K04

A

1008-018X（2015）06-0028-10

2015-09-20

羅見今（1942-），男，河南新野人，內(nèi)蒙古師范大學教授。