宗欽原，申建平

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

一、引言

相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)度量和最優(yōu)組合投資是投資者和資產(chǎn)管理者非常關(guān)心的問題。Copula函數(shù)是在1959年由Sklar［1］提出的，從90年代開始被應(yīng)用在金融領(lǐng)域中，Rockinger等［2］提出可以運(yùn)用 Copula函數(shù)建立多變量時(shí)間序列模型來替代向量GARCH模型;Patton［3］構(gòu)造了馬克-美元和日元-美元匯率的對(duì)數(shù)收益的二元 Copula模型，并與相應(yīng)的BEKK模型作比較，結(jié)果表明Copula能更好地描述金融市場的相關(guān)關(guān)系;Romano［4］提出應(yīng)用Copula處理金融的組合風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)利用多元函數(shù)極值，通過使用Monte Carlo方法來刻畫市場風(fēng)險(xiǎn);Hu［5］在Gumble、Clayton和FrankCopula函數(shù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一種新的Copula函數(shù)，即混合Copula函數(shù)(M-Copula)，它是以上三種函數(shù)的線性組合，權(quán)重參數(shù)反應(yīng)變量間的相關(guān)程度;韋艷華等［6］利用MCopula與GARCH相結(jié)合對(duì)金融市場相關(guān)程度和相關(guān)模式進(jìn)行了研究;戰(zhàn)雪麗等［7］用Copula-SV模型對(duì)投資組合資產(chǎn)的相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了分析;劉志東［8］運(yùn)用Copula-GARCH-EVT模型研究了資產(chǎn)投資組合的最優(yōu)投資比;史道濟(jì)等［9］利用Copula函數(shù)對(duì)股票市場的VaR和最優(yōu)投資組合進(jìn)行了分析計(jì)算;包衛(wèi)軍等［10］利用多維的 t-Copula函數(shù)，對(duì)投資組合的CVaR進(jìn)行了分析。這些研究表明Copula函數(shù)與條件異方差模型相結(jié)合是一種較為實(shí)用的金融量化分析方法，但存在三點(diǎn)不足:(1)為了減少實(shí)證中模型參數(shù)估計(jì)難度，當(dāng)前的大部分論文對(duì)連接函數(shù)Copula的選擇主要集中在Gumble、Clayton 和 FrankCopula 函數(shù)中的一種，而 Hu［5］的研究表明單一的Copula函數(shù)，對(duì)資產(chǎn)間的相關(guān)性描述是有局限性的;(2)對(duì)單個(gè)金融資產(chǎn)收益率的建模，主要以GARCH和EGARCH模型為主，但在現(xiàn)實(shí)中存在收益率的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整和風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，而這兩個(gè)模型不能刻畫這一特征;(3)利用Copula和條件異方差模型進(jìn)行最優(yōu)組合計(jì)算之前，沒有對(duì)VaR和CVaR的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行有效性檢驗(yàn)。

因此，本文構(gòu)建了能刻畫風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的EGARCH-M模型，對(duì)各單個(gè)資產(chǎn)收益率進(jìn)行建模，選用M-Copula作為聯(lián)合分布函數(shù)，用遺傳算法對(duì)模型中參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，用基于GED分布的CVaR度量風(fēng)險(xiǎn)，最終利用Monte Carlo方法模擬求得不同投資比例和置信水平下的VaR和CVaR值，求出不同期望收益和置信水平下的最優(yōu)組合投資權(quán)重。.實(shí)證表明，該建模方法效果良好，能有效地解決Copula函數(shù)與條件異方差模型相結(jié)合存在的不足。

(一)Copula函數(shù)的相關(guān)理論

定理 1.1(Sklar定理)［1］令 H(·，·)為具有邊緣分布函數(shù)F(·)和G(·)的聯(lián)合分布函數(shù)，那么存在一個(gè) Copula函數(shù) C(·，·)，滿足:

H(x，y)=C(F(x)，G(y)) (1)若 F(·)和 G(·)連續(xù)，則 C(·，·)唯一確定;反之，若 F(·)和 G(·)為一元分布函數(shù)，C(·，·)為相應(yīng)的Copula函數(shù)，那么由式(1)定義的函數(shù)H(·，·)是具有邊緣分布F(·)和G(·)的聯(lián)合分布函數(shù)。

Gumble、Clayton和FrankCopula函數(shù)是三類常用的二元阿基米德Copula函數(shù)，以下簡要介紹他們在相關(guān)性分析中的應(yīng)用特點(diǎn)。

(1)Gumble Copula 函數(shù)［11-12］的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為:

Gumble Copula函數(shù)的密度函數(shù)具有非對(duì)稱性，其密度分布呈“J”字形，即上尾高，下尾低。分布函數(shù)對(duì)分布變量在分布上尾部的變化十分敏感，能夠快速地捕捉到上尾相關(guān)的變化，而在分布的下尾部，由于變量是漸進(jìn)獨(dú)立的，函數(shù)對(duì)變量在分布下尾部的變化不敏感，難以捕捉到下尾的相關(guān)的變化。

(2)Clayton Copula 函數(shù)［11-12］的分布函數(shù)和密度函數(shù)分布為:

Clayton Copula的密度函數(shù)具有非對(duì)稱性，其分布呈“L”字形，即上尾低，下尾高。故函數(shù)對(duì)變量在分布下尾的變化十分敏感，能夠快速捕捉到下尾相關(guān)的變化，而在分布的上尾部，由于變量是漸進(jìn)獨(dú)立的，其上尾的變化不敏感，難以捕捉到上尾的相關(guān)的變化。

(3)Frank Copula 函數(shù)［11-12］可以描述變量間的負(fù)相關(guān)關(guān)系，它的分布函數(shù)和密度函數(shù)分布為:

其中，λ為相關(guān)參數(shù)，λ≠0。λ＞0表示隨機(jī)變量u、v正相關(guān)，λ→0表示隨機(jī)變量u，v趨向于獨(dú)立，λ＞0表示隨機(jī)變量u、v互相關(guān)。Frank Copula的密度分布呈“U”字形，具有對(duì)稱性，因此無法捕捉到隨機(jī)變量間非對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系。因此此函數(shù)只適合于描述具有對(duì)稱相關(guān)結(jié)構(gòu)的變量之間的相關(guān)關(guān)系。

(二)M-Copula函數(shù)的構(gòu)建

用前面三者的線性組合來構(gòu)建混合Copula函數(shù)，記作 M-Copula 函數(shù)［13］，其表達(dá)式為:

其中 wC，wCl，wF≥0，wG+wCl+wF=1。對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為:

MC3表示由三個(gè)Copula函數(shù)的線性組合組成的混合 Copula 函數(shù)，CG、CCl、CF分別表示 Gumble、Clayton 和 Frank Copula 函數(shù)，wC，wCl，wF為相應(yīng)的Copula函數(shù)的權(quán)重系數(shù)。由式(2)、(4)、(6)、(8)可知，MC3包含六個(gè)參數(shù)，其中的相關(guān)參數(shù)向量(α，θ，λ)可以度量變量之間的相關(guān)程度，而線性組合的系數(shù)即權(quán)重參數(shù)向量(wG，wCl，wF)則反映變量之間的相關(guān)模式。

由此而見，可以用M-Copula來描述具有各種模式的變量之間的相關(guān)關(guān)系，與單個(gè)Copula函數(shù)相比更為靈活，能夠描述具有復(fù)雜相關(guān)關(guān)系的事物，如金融市場之間的相關(guān)關(guān)系，因此，本文采用應(yīng)用更為廣泛、使用性也更強(qiáng)的M-Copula函數(shù)來描述深市和上市兩者間的相關(guān)性。

二、M-Copula-EGARCH-M-GED模型的建立

(一)EGARCH-M模型的建立

Nelson［14］提出了指數(shù) GARCH(EGARCH)模型，它能夠充分捕獲高頻金融時(shí)間序列的尖峰厚尾性。EGARCH(p，q)模型形式為

這里，正的εt-i對(duì)對(duì)數(shù)波動(dòng)率的貢獻(xiàn)為αi+γi，而負(fù)的 εt-i對(duì)對(duì)數(shù)波動(dòng)率的貢獻(xiàn)為 αi- γi，參數(shù)γi表示 εt-i的杠桿效應(yīng)。Engle、Lilien 和 Robins將基本的ARCH模型加以擴(kuò)展，允許序列的均值不獨(dú)立于條件方差，這類模型被稱為ARCH-M模型，其基本觀點(diǎn)是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者會(huì)在持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)要求相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。由于一項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)可以用收益的方差來衡量，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)就是收益條件方差的增函數(shù)［15］。將持有一項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所帶來的超額收益描述為

其中，yt表示持有金融資產(chǎn)所帶來的超額收益率;μt代表足以使風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者持有金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià);εt表示對(duì)金融資產(chǎn)收益率的不可預(yù)測的沖擊。而持一項(xiàng)長期金融資產(chǎn)收益必須恰好等于風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)［16］，也就是說

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是εt的條件方差的增函數(shù)，即，收益率的條件方差越大，使投資者持有長期資產(chǎn)所需的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)就越大。即，如果σ2t是 εt的條件方差，則風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)就可以表述為

其中，μi為收益率的無條件期望值，系數(shù)δi反映了風(fēng)險(xiǎn)和收益之間的替代關(guān)系，即為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)參數(shù)，εi.t為擾動(dòng)為隨時(shí)間變化的的條件方差，ηi，t為獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)殘差，αi為滯后參數(shù)，βj為方差參數(shù)。常用γi來說明金融市場中價(jià)格的非對(duì)稱影響，當(dāng)γi≠0時(shí)，說明各種干擾對(duì)價(jià)格的影響是非對(duì)稱的;當(dāng)γi＜0時(shí)，說明價(jià)格波動(dòng)受負(fù)外部沖擊的影響大于受正外部沖擊的影響;當(dāng)γi＞0時(shí)，正的外部沖擊大于負(fù)的外部沖擊，此種現(xiàn)象稱之為“杠桿效應(yīng)”。

(二)M-Copula-EGARCH-M-GED模型的建立

假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)殘差 ηt=(η1，t，η2，t)獨(dú)立同分布，t=1，2，3，…，T，其聯(lián)合分布函數(shù)為 G(z1，z2)，邊際分布函數(shù)分別為Fi(zi)，i=1，2。為了更加靈活地刻畫變量之間的相關(guān)關(guān)系及序列間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，采用M-Copula函數(shù)建模，建立M-Copula-EGARCHM-GED模型:

(三)M-Copula-EGARCH-M-GED模型的參數(shù)估計(jì)

上述模型(15)的參數(shù)估計(jì)包含兩部分，一部分是EGARCH模型的參數(shù)，另一部分是M-Copula的相關(guān)參數(shù)，本文采用兩步極大似然估計(jì)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。首先EGARCH模型的參數(shù)通過極大似然估計(jì)去獲得，相應(yīng)得到標(biāo)準(zhǔn)誤差 ηi，t的估計(jì)，然后對(duì) M-Copula的相關(guān)參數(shù)采用遺傳算法進(jìn)行估計(jì)。

(四)M-Copula-EGARCH-M-GED模型檢驗(yàn)

1.M-Copula函數(shù)的擬合度檢驗(yàn)

Hu［5］在研究歐美外匯與股票市場相關(guān)關(guān)系時(shí)，采用一個(gè)服從χ2分布的M經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來評(píng)價(jià)Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度，從而確定選定的Copula函數(shù)是否適合，其具體步驟如下。

令{ut}和{vt}，t=1，2，…，T，都是服從 i.i.d.(0，1)均勻分布序列，它們是根據(jù)估計(jì)得到的邊緣分布，對(duì)觀測序列{xn}和{yn}，t=1，2，…，T 進(jìn)行概率積分變換之后得到。構(gòu)造一個(gè)包含k×k個(gè)單元格的表格G，表格中處于第i行、第j列的單元格記作G(i，j)，表示一個(gè)下界為，上界為的概率組合，其中k的選取可以根據(jù)樣本的總數(shù)和觀測點(diǎn)的總數(shù)來確定，既要保證有足夠多的單元格用于模型擬合度的評(píng)價(jià)，又要保證每個(gè)單元格中都有足夠的觀測點(diǎn)。對(duì)于任何一點(diǎn)，若，則點(diǎn)(ut，vt)∈G(i，j)，若用 Ai，j表示落在單元格 G(i，j)內(nèi)的實(shí)際觀測點(diǎn)個(gè)數(shù)，用Bi，j表示由Copula模型預(yù)測得到的落在單元格G(i，j)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即預(yù)測頻數(shù)，其中 i，j=1，2，…，k，則評(píng)價(jià) Copula 函數(shù)擬合度的χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量M可表示為

其中統(tǒng)計(jì)量M服從自由度為(k-1)2的χ2分布。

2.EGARCH-M模型的檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證 EGARCH-M的合理性，本文采用Ljung-Box Q檢驗(yàn)法［17］對(duì)EGARCH-M模型的殘差序列的相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)，利用K-S檢驗(yàn)法［17］對(duì)EGARCH-M模型誤差分布的擬合度進(jìn)行檢驗(yàn)。

三、基于M-Copula-EGARCH-M-GED模型的CVaR計(jì)算和投資組合優(yōu)化

定義 2 CVaR(Conditional Value at Risk)，即條件期望值，是繼VaR之后產(chǎn)生的一種風(fēng)險(xiǎn)度量方法。根據(jù) Rockafella［18］的定義，CVaR 是指在一定的置信水平下，某一資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的損失超過VaR的尾部事件的期望值。CVaR用數(shù)學(xué)公式可以定義為

其中，α為置信水平;w為資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的價(jià)值;f(w)為概率密度函數(shù);VaRα為置信水平α的風(fēng)險(xiǎn)值。

利用M-Copula計(jì)算CVaR時(shí)，運(yùn)用蒙特卡洛模擬需要構(gòu)造二維的隨機(jī)向量(X，Y)的隨機(jī)數(shù)，若已知X，Y的邊際分布函數(shù)F1(x)和F2(x)，設(shè)其M-Copula函數(shù)為C(u，v)，令 U=F1(x)并且 V=F2(x)，則 U，V 都服從［0，1］上的均勻分布，由Copula函數(shù)的性質(zhì)可知，在給定 U=u∈［0，1］為固定值時(shí)，隨機(jī)變量 V對(duì) u的條件分布函數(shù)在v∈［0，1］內(nèi)是單調(diào)非減，若令k=Cu(v)，則k服從［0，1］上的均勻分布，從而，我們可以得到隨機(jī)數(shù)u和k，然后可以根據(jù)條件分布函數(shù)Cu(v)的反函數(shù)求得另一個(gè)隨機(jī)數(shù)v=，這樣就可以構(gòu)造偽隨機(jī)數(shù)對(duì)(u，v)。若金融資產(chǎn)為，就可得到隨機(jī)數(shù)對(duì)(x，y)，經(jīng)過n次的模擬我們可得到n組模擬的收益率數(shù)對(duì)(xi，yi)，i=1，2，…，n。由此我們獲得了n個(gè)投資組合收益率的模擬數(shù)zi=wxi+(1-w)yi，再對(duì){zi}，i=1，2，…，n 由小到大進(jìn)行排序，排序后的序列不妨設(shè)為{si}，則在置信水平為1-α?xí)r:

(一)MonteCarlo模擬方法的算法步驟

本文進(jìn)行MonteCarlo模擬計(jì)算VaR和CVaR，主要目的是驗(yàn)證所建模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測能力，以便使相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)最小化的最優(yōu)投資組合比更具實(shí)在價(jià)值。

假設(shè)金融資產(chǎn)組合有兩種資產(chǎn)X和Y，其收益率分別為x，y，組合中他們所占的比例分別為ω和1-ω，則資產(chǎn)的總收益率為ωx+(1-ω)y。

(1)根據(jù)我們選取的M-Copula函數(shù)做Monte-Carlo［19］模擬，模擬6 000 個(gè)數(shù)據(jù)，則我們得到6 000個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)對(duì){(un，vn)}，n=1，2，…，6 000，則(un，vn)～ C(u，v)。

(2)設(shè)兩列標(biāo)準(zhǔn)殘差序列的分布函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)GED 分布 Fη1和 Fη2，對(duì)每一組數(shù)據(jù)對(duì)(un，vn)，我們令，可得到標(biāo)準(zhǔn)殘差序列{(η1，n，η2，n)}。

(3)運(yùn)用Eviews對(duì)EGARCH模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)可得到兩個(gè)均值為和兩列條件異方差序列，取1，…，T，我們有為6 000維的列向量i=1，2。

(4)由于我們所分析的收益率為對(duì)數(shù)收益率rt=lnpt-lnpt-1，用Rt=pt/pt-1-1來將其正常收益率形式，則Rt=ert-1，由此對(duì)第k次模擬我們可以得到正常的組合收益率Rt=ω(er1，k-1)+(1-ω)(er2，k-1)，Rk也為 6 000 維的列向量。

(5)我們對(duì)(4)中Rk得到的6 000個(gè)數(shù)進(jìn)行升序排列，則對(duì)置信度(1-α)，我們?nèi)〉? 000×α+1個(gè)數(shù)的絕對(duì)值即為相關(guān)置信度的VaR，對(duì)前6 000×α個(gè)數(shù)求算術(shù)平均值后為相應(yīng)置信度的CVaR。

為了對(duì)所估算VaR和CVaR的值進(jìn)行效果檢驗(yàn)，本文選用DLC的返回檢驗(yàn)，而DLC表示實(shí)際損失的期望值與CVaR的期望值之差的絕對(duì)值，定義如下:

(二)基于最小化CVaR建立最優(yōu)投資組合模型

與VaR相比，CVaR滿足次可加性、正齊次性、單調(diào)性及傳遞不變性，因此可以將CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)［20］，通過使用線性規(guī)劃來進(jìn)行優(yōu)化;陳科燕［21］應(yīng)用遺傳算法對(duì)最優(yōu)證劵投資組合模型進(jìn)行研究;Rackafellar［20］利用CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)來討論資產(chǎn)組合最優(yōu)化問題?？紤]到中國市場的不允許賣空，因此在下面模型中我們加入了不允許賣空的限制。假設(shè)市場有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，ri為投資期內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i的收益率，wi為投資者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i上的投資比例。那么組合收益率可以表示為

以CVaR來測度投資風(fēng)險(xiǎn)，損益服從廣義誤差分布(GED)的CVaR的計(jì)算公式:

其中K＞0，為投資者最低預(yù)期收入水平，β為置信度。

四、實(shí)證分析

(一)數(shù)據(jù)選取及其基本分析

本文選取樣本數(shù)據(jù)為1998年9月28日到2012年3月23日中國股票市場上的上證綜指與深證成指的收盤價(jià)，總樣本數(shù)目為3 260個(gè)，通過公式rt=lnpt-lnpt-1計(jì)算兩個(gè)指數(shù)的收益率。本文使用的軟件為Eviews 6.0和MatlabR 2010a進(jìn)行計(jì)算。

由圖1和圖2我們可以看出上證綜指和深證成指的收益率具有波動(dòng)率聚集性，與金融時(shí)間序列的特征吻合。另一方面從整體來看，兩者收益率的波動(dòng)性都很劇烈，說明對(duì)股票市場的風(fēng)險(xiǎn)管理的必要性。

圖1 上證綜指的收益率

圖2 深證成指的收益率

圖3與圖4分別為上證綜指和深證成指對(duì)數(shù)收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)量，可以看出上證綜指與深證成指對(duì)數(shù)收益率序列具有以下特征:(1)樣本峰度都遠(yuǎn)大于3，表明上證綜指與深證成指對(duì)數(shù)收益率呈現(xiàn)明顯的尖峰厚尾性;(2)Jarque-Bera正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的值遠(yuǎn)大于臨界值5.99，表明序列的分布不是正態(tài)分布;(3)波動(dòng)具有聚集性和左偏性。

(二)EGARCH-M-GED模型參數(shù)估計(jì)

使用EGARCH-M-GED模型對(duì)兩個(gè)指數(shù)收益率序列的邊緣分布進(jìn)行建模，其殘差服從GED(廣義誤差分布)，其模型的估計(jì)結(jié)果見表1、表2。

圖3 上證綜指收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)量圖

圖4 深證成指收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)量圖

表1 上證綜指收益率序列參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表2 深證成指收益率序列參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表1和表2知，(1)γi都小于0，在上證綜指中(表1)為 -0.028 008，深證成指中(表2)為-0.019 015，而且都是顯著的，這也說明了兩市中都存在杠桿效應(yīng)，即壞消息引起的波動(dòng)要比同等大小的好消息引起的波動(dòng)要大;(2)模型估計(jì)αi均大于0，說明股市波動(dòng)呈現(xiàn)集聚現(xiàn)象，過去的擾動(dòng)對(duì)未來的波動(dòng)有著正面的影響，較大幅度的波動(dòng)后面緊跟著較大幅度的波動(dòng)，股市參與者的投機(jī)性較強(qiáng);(3)αi+βi都稍微大于1，則衰減速度越慢，波動(dòng)的持續(xù)性越強(qiáng)，說明在模型下的當(dāng)前信息對(duì)預(yù)測未來的條件方差都很重要;(4)滬深兩市均值方程中的條件方差項(xiàng)GARCH的系數(shù)估計(jì)分別為3.850 810和5.048 627，而且都是顯著的，這反應(yīng)了收益與風(fēng)險(xiǎn)正相關(guān)，說明收益有正的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，深圳股市的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)要高于上海，深圳股市的投資者更加厭惡風(fēng)險(xiǎn)，要求更高的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。

標(biāo)準(zhǔn)化殘差{ηi，t}的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量為統(tǒng)計(jì)量為Q(10)=11.38，p值為0.33。因此，在5%的顯著水平下，式(14)的EGARCH-M模型能充分地描述給定數(shù)據(jù)的條件異方差性。

(三)M-copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)

利用EGARCH-M-GED模型中得到的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)殘差序列對(duì)混合Copula函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)，估計(jì)方法是遺傳算法［22］，在 MatlabR 2010a環(huán)境中編程完成。如表3所示。

表3 Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

擬合統(tǒng)計(jì)量M的值說明了:copula函數(shù)選取的不同，對(duì)兩個(gè)市場指數(shù)收益率相關(guān)程度與相關(guān)模式的刻畫能力相差非常大，M-copula函數(shù)對(duì)樣本的擬合度是最好的，其次就是Gumble copula函數(shù)，剩下的兩個(gè)copula函數(shù)擬合度相對(duì)較差。

比較圖5、圖6、圖7、圖8可知，GumbleCopula函數(shù)分布低估下尾的相關(guān)程度，明顯高估了上尾的相關(guān)程度;ClaytonCopula函數(shù)分布明顯低估上尾的相關(guān)程度;和FrankCopula函數(shù)分布不僅低估上下尾相關(guān)程度，而且不能反映兩個(gè)市場的非對(duì)稱的相關(guān)模式;M-copula的分布函數(shù)最接近經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布，能夠比較全面和準(zhǔn)確地捕捉各個(gè)時(shí)期上海和深圳股票市場之間相關(guān)程度變化，且能夠正確地反映兩個(gè)市場之間非對(duì)稱的相關(guān)模式。

圖5 Gumble

圖6 Clayton

圖7 Frank

圖8 M-Copula

以上為經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布和4類Copula函數(shù)分布在u=v處的頻率分布圖(實(shí)線指Copula函數(shù)分布，虛線指經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布)

(四)VaR和CVaR的Monte Carlo模擬計(jì)算及分析

圖9為用歷史數(shù)據(jù)通過模型擬合而成的上證綜指和深證成指的相關(guān)離散點(diǎn)圖，圖10為通過模型對(duì)兩個(gè)市場的T+1時(shí)刻預(yù)測的6 000個(gè)數(shù)據(jù)的離散點(diǎn)圖，兩圖說明模型能對(duì)未來的兩市場的相關(guān)性變動(dòng)進(jìn)行合理正確的預(yù)測。下面我們將對(duì)歷史數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)值和模型預(yù)測的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行比較，以便說明本文所建模型對(duì)相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測的準(zhǔn)確性。

圖9 相關(guān)離散點(diǎn)圖

圖10 離散點(diǎn)圖

由表4-6可知，置信水平1-α=0.99或者1-α=0.95，VaR都比較接近 α，表現(xiàn)相當(dāng)不錯(cuò)，但還是具有一定激進(jìn)性;而通過統(tǒng)計(jì)量DLC，我們可以看到CVaR對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量比較好。下面我們將對(duì)CVaR最小化為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行投資組合的最優(yōu)化的計(jì)算結(jié)果。

由表7可知，用模型對(duì)時(shí)間點(diǎn)T+1的收益率進(jìn)行預(yù)測，知上證綜指的平均收益率為0.000 6，深證成指平均收益率為0.001 4，但在5%的分位數(shù)下，上證綜指和深證成指的CVaR分別為0.039 6和0.023 4，由于上證綜指的收益率小且條件風(fēng)險(xiǎn)值大，故在分位數(shù)為5%時(shí)，要使在固定收益CVaR最小，只有將資金絕大部分投入深圳證劵市場;而當(dāng)分位數(shù)取10%時(shí)，上證綜指和深證成指的CVaR分別為0.030 7和0.069 6，顯然深證成指的條件風(fēng)險(xiǎn)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于上證綜指，故資金在收益率低時(shí)，應(yīng)將其大部分投放在上海證劵市場，隨著收益率的升高，上海市場的投資比例降低，深證市場的資金比例上升，同時(shí)CVaR的值升高，符合高風(fēng)險(xiǎn)高收益，但是對(duì)二者的固定收益率超過13%時(shí)，最優(yōu)解將不存在，與金融市場的多變性吻合。通過本模型，我們可以通過對(duì)不同分位數(shù)的選擇來擴(kuò)大風(fēng)險(xiǎn)范圍，增加收益，來對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的投資者進(jìn)行投資指導(dǎo)，使得風(fēng)險(xiǎn)得到有效管理。

表4 數(shù)據(jù)總數(shù)為3 258個(gè)，投資比例w=1/3的模擬數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表5 數(shù)據(jù)總數(shù)為3 258個(gè)，投資比例w=1/2的模擬數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表6 數(shù)據(jù)總數(shù)為3 258個(gè)，投資比例w=3/4的模擬數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表7 下表為分位數(shù)為5%和10%，固定收益率下的最優(yōu)投資比例

五、結(jié)論與展望

通過上面的模型分析，本文得出以下結(jié)論:

(1)上海和深圳股票市場的收益率均存在明顯的波動(dòng)集聚性、條件異方差性和杠桿效應(yīng)，模型估計(jì)αi均大于0，說明股市波動(dòng)呈現(xiàn)集聚現(xiàn)象，過去的擾動(dòng)對(duì)未來的波動(dòng)有著正面的影響，較大幅度的波動(dòng)后面緊跟著較大幅度的波動(dòng)，股市參與者的投機(jī)性較強(qiáng);而αi+βi都稍微大于1，即衰減速度越慢，波動(dòng)的持續(xù)性越強(qiáng)。

(2)滬深兩市均值方程中的條件方差項(xiàng)GARCH的系數(shù)估計(jì)分別為3.850 810和5.048 647，而且都是顯著的，這反應(yīng)了收益與風(fēng)險(xiǎn)正相關(guān)，說明收益有正的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，深圳股市的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)要高于上海，深圳股市的投資者更加厭惡風(fēng)險(xiǎn)，要求更高的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。

(3)M-copula函數(shù)對(duì)樣本的擬合度是最好的，其分布函數(shù)最接近經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布，不僅能夠比較全面和準(zhǔn)確地捕捉各個(gè)時(shí)期上海和深圳股票市場之間相關(guān)程度變化，而且能夠正確地反映兩個(gè)市場之間非對(duì)稱的相關(guān)模式;其次就是Gumble Copula函數(shù)，剩下的兩個(gè) copula函數(shù)擬合度相對(duì)較差。

(4)在分位數(shù)為5%時(shí)，要獲得固定收益，同時(shí)CVaR最小，需將資金絕大部分投入深圳證劵市場;在分位數(shù)取10%時(shí)，目標(biāo)收益率較低時(shí)，應(yīng)將其大部分投放在上海證劵市場，目標(biāo)收益率較高時(shí)，上海市場的投資比例應(yīng)降低，深證市場的資金比例應(yīng)上升，同時(shí)CVaR的值升高，符合高風(fēng)險(xiǎn)高收益。

(5)當(dāng)二者的目標(biāo)收益率超過13%時(shí)，最優(yōu)解將不存在，與金融市場的多變性穩(wěn)合。通過本模型，我們可以通過對(duì)不同分位數(shù)的選擇來擴(kuò)大風(fēng)險(xiǎn)范圍，增加收益，來對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的投資者進(jìn)行投資指導(dǎo)，使得風(fēng)險(xiǎn)得到有效管理;在置信水平1-α=0.99或者1-α=0.95，風(fēng)險(xiǎn)值VaR都比較接近α，表現(xiàn)相當(dāng)不錯(cuò)，但還是具有一定激進(jìn)性，而CVaR對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量比較好。

由于本文主要是對(duì)二元資產(chǎn)進(jìn)行了建模，所以下一步我們可以將這一模型擴(kuò)展到多元的情況。

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