心理與教育元分析中相關(guān)系數(shù)的合并

李金德

(廣西大學(xué)行健文理學(xué)院，南寧530005)

1 前言

元分析(Meta -analysis)是定量綜述的有效方法，其核心是效應(yīng)量(Effect Size)的合并。效應(yīng)量的指標(biāo)很多:計(jì)量資料包括相關(guān)系數(shù)ρ、均數(shù)差(mean difference)、加權(quán)均數(shù)差(weight mean difference)和標(biāo)準(zhǔn)化均數(shù)差(standardized mean differences)等;計(jì)數(shù)資料包括如率(odds)、比值比(odds ratios)、相對危險度(relative risk)、危險度比(risk ratio)、危險度差(risk difference)和比率差(rate difference)等。近年來中國心理和教育學(xué)界的元分析逐漸增多，但絕大部分集中在對差異的效應(yīng)量分析上，而對相關(guān)的效應(yīng)量做分析的只有極少數(shù)。這部分受醫(yī)學(xué)領(lǐng)域元分析的影響，但最重要的是受限于目前的技術(shù)，因?yàn)閲鴥?nèi)極少有文獻(xiàn)對r 的合并和分析做系統(tǒng)性的介紹，同時目前流行的元分析統(tǒng)計(jì)軟件例如MA，Rev-Man 等沒有分析r 的功能，而Ralf Schwarzer 編寫的軟件meta-analysis5.3 盡管可以進(jìn)行效應(yīng)量r 的元分析，但因其操作界面是DOS 系統(tǒng)，使用起來很不方便。本文擬就效應(yīng)量r 的合并與分析做相應(yīng)介紹以填補(bǔ)國內(nèi)該領(lǐng)域的空缺。

2 指標(biāo)的獲得

2.1 兩個重要分布

假設(shè)(X1，Y1)，(X2，Y2)，……，(Xn，Yn)隨機(jī)抽樣自平均數(shù)為(μ1，μ2)、方差為()、相關(guān)為ρ的總體，對于大樣本，有以下分布(Hartung，Knapp，＆ Sinha，2011，pp.11 -12):

其中r 為兩變量樣本的相關(guān)系數(shù)，ρ 為兩變量總體的相關(guān)系數(shù)。

其中:

z 是Fisher’s z(Fisher，1925)。若要把Fisher’s z 轉(zhuǎn)化成r，公式為:

其中，r' 為轉(zhuǎn)換后的相關(guān)系數(shù)，z 為Fisher’s z。

2.2 指標(biāo)的初步分析

2.2.1 基本步驟

兩變量間相關(guān)的真值可用ρ 和ζ 表示，但真值ρ和ζ 是未知的，所以一般用樣本r 和z 估計(jì)ρ 和ζ，兩者的方差可近似估計(jì)為(Rao，1973):

若要對兩者進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即H0:ρ = 0 和H1:ρ ≠0(H0:ζ = 0 和H1:ζ ≠0)，一般基于正態(tài)分布，兩者的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分別為:

若Zr或Zz超過臨界值Zα/2，則拒絕H0接受H1，即效應(yīng)量顯著不為0。

元分析一般都會報(bào)告置信區(qū)間(Confidential Interval)，若置信區(qū)間包括0，則接受H0拒絕H1，公式如下:

表1 單個相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)及其置信區(qū)間的計(jì)算

2.2.2 舉例計(jì)算

表1 原始數(shù)據(jù)來自Hedges 等人的研究(Hedges et al.，1985，p.25)，第2 列是樣本，第3 列是效應(yīng)量r，第4 列是對效應(yīng)量的檢驗(yàn)，據(jù)公式(6)可得;第5列是r 的置信區(qū)間，可用公式(8)完成;第6 列是通過公式(1)轉(zhuǎn)換的Fisher’s z;通過公式(7)可以對其顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，即第7 列數(shù)據(jù);通過公式(9)可得到第8 列的Fisher’s z 的95% 置信區(qū)間;第9 列是通過公式(3)轉(zhuǎn)化而得的r;而第10 列的置信區(qū)間也可通過公式(3)通過轉(zhuǎn)化而得。以研究1 為例:

(1)采用直接方式

其95% 的置信區(qū)間下限(LB)和上限(UB)分別為:

LB = -0.073 -1.96 ×0.266 = -0.594

UB = -0.073 +1.96 ×0.266 = 0.488

(2)采用Fisher 轉(zhuǎn)化

其95% 的置信區(qū)間下限(LB)和上限(UB)分別為:

LB = -0.073 -1.96 ×0.266 = -0.594

UB = -0.073 +1.96 ×0.266 = 0.488

3 指標(biāo)的合成

3.1 固定效應(yīng)模型(Fixed Effects Model)

3.1.1 基本假設(shè)和步驟

該模型中效應(yīng)量r 的合并遵循效應(yīng)量的一般性合 并 過 程(Hartung，Knapp，＆ Sinha，2011，pp.35 -37;Cooper，Hedges，＆ Valentine，2009，pp.261 - 262)。假設(shè)所有的效應(yīng)量都是來自同一總體:

其中，wi為第i 個研究的權(quán)重，Ti為第i 個研究的效應(yīng)量。

方差體現(xiàn)出測量指標(biāo)的準(zhǔn)確性與否，因此用各個研究的方差倒數(shù)表示權(quán)重:

其方差為:

可以估計(jì)效應(yīng)量真值置信區(qū)間為:

把上面公式的θ 換成ρ 或ζ，Ti換成r 或Fisher’s z，該過程便成了對效應(yīng)量r 或Fisher’s z 的合并。

3.1.2 直接合并法

基本步驟如下(Cooper，Hedges，＆ Valentine，2009，p.265)(結(jié)果見表2):

第三步:根據(jù)公式(14)對ρ～進(jìn)行檢驗(yàn):

第四步:根據(jù)公式(15)計(jì)算95% 置信區(qū)間:

表2 相關(guān)系數(shù)合并的基本過程

3.1.3 Fisher 轉(zhuǎn)化法

Fisher 轉(zhuǎn)化法和直接合并法過程基本一致(Cooper，Hedges，＆ Valentine，2009，pp.264 -265)。

第三步:根據(jù)公式(14)對ζ～進(jìn)行檢驗(yàn):

第四步:根據(jù)公式(15)計(jì)算95% 置信區(qū)間:

有研究者習(xí)慣把Fisher’s z 轉(zhuǎn)化為r，可通過公式(3)完成，經(jīng)轉(zhuǎn)化r' = 0.297，其95% 的置信區(qū)間為［0.093，0.477］。

3.2 隨機(jī)效應(yīng)模型(Random Effects Model)

3.2.1 基本假設(shè)

固定效應(yīng)模型假設(shè)納入研究的效應(yīng)量是同質(zhì)的，即θ1= θ2= …… = θk= θ。但隨機(jī)效應(yīng)模型假設(shè)θ1≠θ2≠……≠θk≠θ，即θi是異質(zhì)的，是隨機(jī)的，且有其自身的分布。因此效應(yīng)量的觀察方差(observed variance)有兩部分，一是隨機(jī)效應(yīng)方差(random effect variance)，一是抽樣誤差(sampling error)(Cooper，Hedges，＆ Valentine，2009，p.270):

若σ2= 0，意味著總效應(yīng)量的總變異都是來自于抽樣誤差，研究間不存在差異，這便是固定效應(yīng)模型;但在隨機(jī)效應(yīng)模型中，σ2≠0，研究間異質(zhì)，合并是不合適的，但一般做法還是會合并，然后對影響其變異的因素加以分析。在隨機(jī)效應(yīng)模型中，效應(yīng)的合并也遵循公式(10)到(15)的步驟，不同的是計(jì)算合并量方差的方式。

3.2.2 合并方法一

據(jù)上文所述，效應(yīng)量總變異包括隨機(jī)效應(yīng)方差和抽樣誤差方差:

通過公式(17)可推出隨機(jī)效應(yīng)方差為:

(1)直接合并。以表2 為例，根據(jù)公式(18)和(19)得:

(2)Fisher 合并。根據(jù)公式(18)和(19)得:

3.2.3 合并方法二

直接從原始效應(yīng)量出發(fā)推算出隨機(jī)效應(yīng)方差σ2(Cooper，Hedges，＆ Valentine，2009，pp.270 -271):

公式(21)可以轉(zhuǎn)化為:

因此s2(ri)的期望值可以表示為:

總方差或觀察方差可由公式(21)直接算出來，它是E［s2(ri)］的無偏估計(jì);要計(jì)算σ2(ri| ρi)，可采用公式(4)和公式(5)得到近似估計(jì);因此隨機(jī)效應(yīng)方差就可以近似估計(jì)為:

采用該公式計(jì)算隨機(jī)效應(yīng)方差也可能得到負(fù)數(shù)， 這 種 情 況 也 設(shè) 定 為 0(Cooper，Hedges，＆Valentine，2009，p.270)。

(1)直接合并。以表2 的數(shù)據(jù)為例，根據(jù)公式(21)和(22)得:

(2)Fisher 合并。根據(jù)公式(21)和(22)得:

4 異質(zhì)性檢驗(yàn)(Heterogeneity Test)

異質(zhì)性分析是合并效應(yīng)量前的必要工作，若各個研究的效應(yīng)量同質(zhì)，則采用固定效應(yīng)合并效應(yīng)量，若異質(zhì)則采用隨機(jī)效應(yīng)模型來合并效應(yīng)量。常用方法如下:

4.1 Q 檢驗(yàn)

Q 檢驗(yàn)法的假設(shè)檢驗(yàn)如下:

統(tǒng)計(jì)量為:

其中，wi為第i 篇文獻(xiàn)的權(quán)重，ri為第i 個研究的效應(yīng)量為平均效應(yīng)量，Q 服從df = k -1 的χ2分布，k 為文獻(xiàn)數(shù)量(王沛，馮麗娟，2005)。當(dāng)Q ＞時，拒絕H0，接受H1，表明研究間的效應(yīng)量異質(zhì)，反之則同質(zhì)。以表2 數(shù)據(jù)為例，直接法和Fisher 轉(zhuǎn)化法的Q 值分別為:

4.2 I2 檢驗(yàn)

Q 受樣本影響較大，檢驗(yàn)效能較低，為此研究者提出I2(Higgins ＆ Thompson，2002):

Q 即公式(25)計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量，df 是自由度。當(dāng)I2超過25%、50%、75% 時，分別提示有低、中和高度異質(zhì)性，大于50% 時存在實(shí)質(zhì)性的異質(zhì)性。

以表2 數(shù)據(jù)為例，直接法和Fisher 轉(zhuǎn)化法的I2值分別為:

第一個值為負(fù)數(shù)，設(shè)定為0，說明同質(zhì)，第二個值說明研究間有低度的異質(zhì)性。

4.3 方差檢驗(yàn)

有研究者認(rèn)為效應(yīng)量的觀察方差等于抽樣誤差方差和殘差方差相加(Hunter，Schmidt，＆ Jachson，1982，pp.35 -92):

5 發(fā)表偏倚(Publication Bias)

發(fā)表偏倚是指陽性比陰性結(jié)果的研究更容易發(fā)表，由此造成的誤差。常用方法有失安全系數(shù)和漏斗圖。

5.1 失安全系數(shù)(Fail - safe Number)

失安全系數(shù)指當(dāng)元分析的合并效應(yīng)量有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義時，需要多少未發(fā)表的文獻(xiàn)才能使結(jié)論逆轉(zhuǎn)(從顯著到不顯著)(Rosenthal，1984，p.89)。在p 為0.05或0.01 水平上估計(jì)失安全系數(shù)，公式分別為:

其中Zi為第i 個效應(yīng)量對應(yīng)的Z 值，k 為文獻(xiàn)的個數(shù)。

失安全系數(shù)越大效應(yīng)值越穩(wěn)定，失安全系數(shù)小于10 說明可能存在發(fā)表偏倚。

以表2 數(shù)據(jù)為例，對于直接合并法:

說明需要24 或10 篇陰性文獻(xiàn)可以使效應(yīng)量在0.05 或0.01 水平上不再顯著。

對于Fisher 轉(zhuǎn)化法:

說明需要14 或5 篇陰性文獻(xiàn)可以使效應(yīng)量在0.05 或0.01 水平上不再顯著。

5.2 漏斗圖(Funnel Plot)

失安全系數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是量化簡潔，但有時值很大，還可能是負(fù)數(shù)，不好理解，因此有些研究以漏斗圖的方式表達(dá)發(fā)表偏倚。其基本思想是每個納入研究的效應(yīng)值的精度應(yīng)隨樣本含量的增加而增加。以效應(yīng)大小為橫坐標(biāo)，以標(biāo)準(zhǔn)誤(或標(biāo)準(zhǔn)誤倒數(shù))為縱坐標(biāo)作圖，若沒有發(fā)表偏倚，應(yīng)呈一個倒置的漏斗形，漏斗以真值為準(zhǔn)左右對稱;圖形不對稱有偏向，表示存在偏倚。漏斗圖的優(yōu)點(diǎn)是形象直觀，但若一篇綜述需要同時研究多個、甚至幾十個效應(yīng)量時，同時呈現(xiàn)幾十個漏斗圖則不夠現(xiàn)實(shí)。這里采用Excel 完成漏斗圖的制作(圖1 和圖2)，但因數(shù)據(jù)較少，不好對該漏斗圖做判斷。

圖1 效應(yīng)量r 的漏斗圖

圖2 效應(yīng)量的漏斗圖

6 效應(yīng)量的影響因素分析

研究間異質(zhì)時，需要進(jìn)行異質(zhì)性分析。若需要分析的變量只有一個或很少，可對數(shù)據(jù)進(jìn)行亞組分析，即按照變量把原始數(shù)據(jù)分層重新進(jìn)行元分析;需要分析的變量很多時，則可以做一般性相關(guān)分析和回歸分析。這里介紹兩種比較特殊的分析方式。

6.1 橫斷歷史研究

在對年代效應(yīng)分析上可采用橫斷歷史元分析(Cross - temporal Metal - analysis)，即“橫斷歷史研究”(辛自強(qiáng)，池麗萍，2008)。橫斷歷史分析首先出現(xiàn)在Twenge 的系列研究中(Twenge，2001a;Twenge ＆ Im，2007;Twenge，2000;Twenge et al.，2010;Twenge ＆ Campbell，2001)，該方法目標(biāo)是分解出年代對效應(yīng)量間變異的解釋能力，做法很簡單，即把出版的文章年代系統(tǒng)性的減去2 年然后與效應(yīng)量做相關(guān)。例如年代和某一效應(yīng)量的相關(guān)系數(shù)r =0.8，則年代可以解釋該效應(yīng)量變異的64% 的變異(r2= 0.82= 0.64)。

但年代對心理變量的解釋有時候會讓人困惑，即僅僅是因?yàn)槟甏淖兓说男睦砹烤妥兓?還是因?yàn)槟甏兓澈筇N(yùn)含著其他的社會因素的變化，是這些因素造成了心理量的變化?顯然，后者更能明確的指出心理變量變化的真實(shí)原因?；诖?，橫斷歷史研究發(fā)展出了一種特殊的分析技術(shù)，即“滯后分析”，即做心理量與5 年前(或10 年)和5 年后(或10年)的社會性指標(biāo)的相關(guān)，分析社會因素和心理量間的相互作用(Twenge，2001b;辛自強(qiáng)，張梅，2009)。若是社會環(huán)境改變了心理量，那么當(dāng)年的心理量應(yīng)該與5 年或10 年前的社會指標(biāo)顯著相關(guān);若是心理量影響了社會文化環(huán)境，心理量應(yīng)該與5 年或10 年后的社會指標(biāo)顯著相關(guān)?？梢姕蠓治鰧?shí)際上連接了個體層面的心理變量和整體層面的變量，并試圖解釋兩者的關(guān)系。但這種做法可能存在不足，心理變量屬于個體層面的變量，而年代的特征屬于更高一層的變量，各個研究可以看做鑲嵌于年代中的個案，因?yàn)楦鱾€年代的特征變量是不一樣的，若簡單的把效應(yīng)量和年代中的特征變量做相關(guān)或者一般線性回歸，在方法論上是不恰當(dāng)?shù)模线m的做法是采用多層線性模型分析(張雷，雷靂，郭伯良，2003)。

6.2 多層線性模型

元分析的多層線性模型法在理論上是解決多效果量非獨(dú)立性問題最為有效的一種方法，應(yīng)用該方法可以得到更精確的平均效果量的估計(jì)值，還能進(jìn)行更有效的假設(shè)檢驗(yàn)。

利用多層線性模型的思維，參與元分析的各個研究結(jié)果數(shù)據(jù)可以被看做是一個多層結(jié)果的數(shù)據(jù)，各個研究中的不同結(jié)果可以看做是第一層的單位，各個研究可被看做是第二層的單位(第二層的每個單位只有一個個案)，通過建立一個多層模型來探討第二層(各個研究)的特征對研究結(jié)果的影響，使用多層分析技術(shù)，把各個研究的特征作為第二層的自變量加入到模型的方程中，從而探討這些特征對因變量即各研究結(jié)果變異的影響。

若不考慮各研究特征對研究結(jié)果的影響，則基本的分析模型可以表示為(張雷，雷靂，郭伯良，2003，pp.160 -1163):

其中，ri是第i 個研究的效應(yīng)量，ρi是第i 個研究結(jié)果相應(yīng)的總體參數(shù)值，ei是第i 個研究的抽樣誤差，假定ei服從方差為σ2的正態(tài)分布。若是固定效應(yīng)模型，則各個研究間的ρ 是相等的。若假設(shè)各個研究的ρ 在各個研究之間是隨機(jī)變異的，并且是各個研究特征的函數(shù)，可建立方程:

其中，X 為各個研究的特征值(第二水平的解釋變量);p 為第二層預(yù)測變量的個數(shù);μi為第二層的殘差項(xiàng)，假定μi服從方差為τ00的正態(tài)分布。合并上述兩個方程:

若方程中沒有第二層的解釋變量，則方程還原為基本的截距模型:

此時β0就是所有研究結(jié)果的平均值，μi的方差τ00是各研究結(jié)果分布的方差，表明各研究結(jié)果的離散程度。這樣，對不同研究結(jié)果同質(zhì)性的檢驗(yàn)就等同于對殘差項(xiàng)μi的方差τ00是否等于0 的檢驗(yàn)，若顯著不為0 說明各研究結(jié)果間異質(zhì)。這時就可以進(jìn)一步把第二層的變量(即各個研究的特征值)擬合到方程中探索它們對第一層變異的解釋程度。具體操作請參考張雷等《多層線性模型應(yīng)用》一書(pp.166 -175)(張雷，雷靂，郭伯良，2003)。

很多讀者關(guān)心如何完成這一系列過程，Ralf Schwarzer 編寫的軟件meta - analysis5.3 采用的是隨機(jī)效應(yīng)模式合并相關(guān)系數(shù)r，它提供的主要指標(biāo)有未加權(quán)合并系數(shù)、加權(quán)合并系數(shù)、方差、置信區(qū)間、Q 檢驗(yàn)等。其實(shí)有了公式后效應(yīng)量的合并、效應(yīng)量的方差、置信區(qū)間、顯著性檢驗(yàn)、異質(zhì)性檢驗(yàn)和發(fā)表偏倚都可以通過EXCEL 完成，而若要分析影響效應(yīng)量變異的因素則可以采用多層線性模型HLM 輕松完成。

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