一類熱源在兩端的反應(yīng)擴散方程的邊界控制

郭春麗

(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院，四川達州635000)

摘要：考慮了一類熱源在兩端的反應(yīng)擴散方程反饋控制器的設(shè)計問題，利用邊界控制的Backstepping方法設(shè)計出狀態(tài)反饋控制器.由于熱源在兩端，反應(yīng)擴散方程中含有兩項反應(yīng)項，因此，在運用Backstepping方法時，采用了改進后的Voltegral變換，利用偏微分方程的變量分離法求解出核函數(shù)，從而得到反饋控制器，進而證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

關(guān)鍵詞：反應(yīng)擴散方程；邊界控制；Backstepping方法；穩(wěn)定性

收稿日期：2015-04-01

基金項目：四川省教育廳2015年度資助項目“非線性反應(yīng)方程的邊界控制”(15ZB0325)

作者簡介：郭春麗(1987—)，女，四川渠縣人. 助教，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

中圖分類號：O231.1文獻標志碼：A

0引言

生物學(xué)、化學(xué)和物理學(xué)中涉及到眾多的數(shù)學(xué)模型，如半導(dǎo)體方程、生態(tài)方程、神經(jīng)傳導(dǎo)的Hodgkin-Huxley方程等，[1]這些都是有關(guān)反應(yīng)擴散方程的問題，因而反應(yīng)擴散方程有廣泛的實際背景，從而也引起越來越多科學(xué)家們的注意，因此，近年來對反應(yīng)擴散方程的研究也得到了極大的發(fā)展.[2-8]

在反應(yīng)擴散方程的研究中，該方程的穩(wěn)定性也是重要的研究方向，在早期的研究中，討論較多的是這類方程的可控性或能穩(wěn)性問題，而對具有能穩(wěn)性的反應(yīng)擴散方程，實際數(shù)學(xué)模型所需要的是使系統(tǒng)達到穩(wěn)定的反饋控制器，但對控制器的設(shè)計問題則涉及較少. Krstic等人針對偏微分方程反饋控制器的設(shè)計問題，提出了偏微分方程邊界控制的Backstepping方法，同時也提供了求反應(yīng)擴散系統(tǒng)反饋控制器的方法，由于該方法計算簡單且容易實現(xiàn)，近年來得到廣泛的應(yīng)用.[2-8]本文就運用該方法設(shè)計出一類熱源在兩端的反應(yīng)擴散方程的反饋控制器.

1模型建立

熱源在兩端的反應(yīng)擴散方程的控制系統(tǒng)如下：

ut(x,t)=uxx(x,t)+μu(0,t)+λu(1,t),x∈(0,1),t>0

ux(0,t)=0,t>0

(1)

ux(1,t)=U(t),t>0

其中，μ>0,λ>0是較大的常數(shù)(此時控制系統(tǒng)在不加控制的條件下是不穩(wěn)定的)，u(x,t)表示溫度，U(t)是反饋控制器.控制系統(tǒng)(1)描述的是熱源在兩端的熱傳導(dǎo)問題，這是由于控制系統(tǒng)(1)中反應(yīng)項為μu(0,t)和λu(1,t)，這兩項是關(guān)于左右端點的，也就是說熱傳導(dǎo)過程中熱源在兩端.

2狀態(tài)反饋

首先，利用邊界控制的Backstepping方法，用Voltegral變換將控制系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為一個穩(wěn)定的目標系統(tǒng)，然后利用該變換得到使控制系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的反饋控制器.

引入可逆的Voltegral變換：

(2)

其中，k(x,y)和r(x,y)是待定的核函數(shù).[5-6]

變換(2)將控制系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為指數(shù)穩(wěn)定的目標系統(tǒng):[2]

(3)

從而，由目標系統(tǒng)(3)和變換(2)可以得到使控制系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的反饋控制器.

2.1核函數(shù)的計算

為了得到反饋控制器U(t)，需要求解出變換(2)中的核函數(shù)k(x,y)和r(x,y).

為得到核函數(shù)的解，先由變換(2)將控制系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為目標系統(tǒng)(3)，通過計算找到核函數(shù)需要滿足的方程組，再由方程組進行求解.

首先，計算變換(2)關(guān)于x的一、二階偏導(dǎo)數(shù)：

(4)

(5)

其中，

類似地，計算變換(2)的兩邊求關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)，同時由控制系統(tǒng)(1)有：

運用控制系統(tǒng)(1)中的邊界條件和分部積分法有：

(6)

由(5)、(6)可得：

(7)

為滿足目標系統(tǒng)(3)中的方程wt(x,t)=wxx(x,t)，因此，選擇核函數(shù)滿足如下方程組：

(8)

及相容性條件

要使以上相容性條件同時成立，只要核函數(shù)k(x,y)和r(x,y)相容性條件

(9)

又由wx(0,t)=0、ux(0,t)=0及(4)式有：

于是，k(0,0)=0，rx(0,y)=0.由k(0,0)=0和k'(x,x)=0可得k(x,x)=0，因此，核函數(shù)k(x,y)滿足方程組

從而，解得[2]

(10)

其次，為求解核函數(shù)r(x,y)，采用偏微分方程的變量分離法，設(shè)r(x,y)=p(x)q(y)，則p(x)和q(y)滿足方程組

(11)

其中，a>0是待定的常數(shù).

解方程組(11)可得

(12)

其中，b,c是待定的常數(shù).

從而

r(x,y)=p(x)q(y)

=bccosh(ax)sinh(ay-a)

(13)

同時由(10)可得

(14)

最后，利用(13)、(14)驗證相容性條件(9)，得到待定常數(shù)a,b,c滿足的條件，先由(14)有

(15)

再由(13)得

(16)

從而，由(15)、(16)及(9)可得

因此，要使相容性條件(9)得到滿足，即是使上式恒等于零，于是取a,b,c滿足如下條件

(17)

故只要a,b,c滿足上式，便可使相容性條件得到滿足.

綜上可得，Voltegral變換中核函數(shù)k(x,y)和r(x,y)的解為(13)、(14)，其中常數(shù)a,b,c滿足(17)式.

2.2反饋控制器

在(4)式中取x=1，同時由目標系統(tǒng)(3)中的邊界條件wx(1,t)=0，可得控制系統(tǒng)(1)的反饋控制器U(t)：

(18)

其中，核函數(shù)k(x,y)和r(x,y)由(13)、(14)給出，常數(shù)a,b,c由(17)給定.

3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

要證明控制系統(tǒng)(1)在反饋控制器(18)下是穩(wěn)定的，需要得到可逆變換(2)的逆變換，該變換將穩(wěn)定的目標系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為控制系統(tǒng)(1).事實上，變換(2)的逆變換具有如下形式:

(19)

其中，l(x,y),h(x,y)是待定的核函數(shù).

采用第2.1節(jié)的方法求出逆變換中的核函數(shù)，得到變換(2)的逆變換.最后由變換(2)和逆變換(19)的有界性及目標系統(tǒng)(3)的指數(shù)穩(wěn)定性，選取合適的范數(shù)和能量函數(shù)，可證明原閉環(huán)系統(tǒng)(1)在反饋控制器(18)的作用下是指數(shù)穩(wěn)定的.[6]

參考文獻：

[1] 葉其孝，李正元. 反應(yīng)擴散方程引論:第二版[M]. 北京：科學(xué)出版社，2011：174.

[2] M. Krstic,A. Smyshlyaev.BoundarycontrolofPDEs:Acourseonbacksteppingdesign[M]. SIAM, Philadelphia，2008：76-78.

[3] D. M. Boskovi, M. Krstic.Stabilizationofasolidpropellantrocketinstabilitybystatefeedback[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2003(13):483-495.

[4] A. Smyshlyaev, M. Krstic.Closedformboundarystatefeedbacksforaclassofpartialintegro-differentialequations[J]. IEEE Transanction on Automatic Control, 2004(49):2185-2202.

[5] Z. C. Zhou, C. L. Guo.Stabilizationoflinearheatequationwithaheatsourceatintermediatepointbyboundarycontrol[J].Automatica, 2013(49): 448-456.

[6] C. L. Guo,C. K. Xie,Z. C. Zhou.Stabilizationofaspatiallynon-causalreaction-diffusionequationbyboundarycontrol[J]. Int. J. Robust.Nonlinear Control, 2014(27) :1-17.

[7] M. Krstic, B. Z .Guo, A.Balogh, etc.Output-feedbackstabilizationofanunstablewaveequation[J].Automatic ,2008(44):63-74.

[8] 郭春麗，周中成. 一類內(nèi)部點級聯(lián)的PDE-ODE系統(tǒng)的邊界控制[J]. 控制理論與應(yīng)用，2014(6):779-785.

[責任編輯范藻]

Boundary Control of a Reaction-diffusion Equation with the Heat Source

on the Both Boundaries

GUO Chunli

(Mathematics and Finance School of Sichuan University of Arts and Sciences, Dazhou Sichuan 635000, China)

Abstract:Consider stabilization of a reaction-diffusion equation with the heat source on the both boundaries by using boundary control. For the new equation, it contains two reactions. The Voltegral transformation of backstepping method is improved. And the kernel equations and computation are more complicated. Through the variable separation method of partial differential equations, the exact solutions of kernels are obtained, and a control law is obtained specifically. Finally, stability of the closed-loop system is established.

Key words:reaction-diffusion system; backstepping method; boundary control; stabilization