連續(xù)傅里葉變換在通信原理和信號與系統(tǒng)課程中的應(yīng)用

稅奇軍，唐炳華，董賽鷹

(四川文理學(xué)院物理與機電工程學(xué)院，四川達州635000)

摘要：針對學(xué)生在學(xué)習(xí)通信原理和信號與系統(tǒng)課程中忽視連續(xù)傅里葉變換重要作用的現(xiàn)象，結(jié)合實例分析了連續(xù)傅里葉變換在求解連續(xù)復(fù)雜信號的頻譜、復(fù)雜的廣義積分和數(shù)字基帶信號頻譜中的作用，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這兩門課程的過程中熟練掌握連續(xù)傅里葉變換，為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：通信原理；信號與系統(tǒng)；連續(xù)傅里葉變換

收稿日期：2014-10-12

基金項目:四川省教育廳2015年度自然科學(xué)基金“光載超寬帶信號傳輸特性研究”( 15ZB0320) ；四川文理學(xué)院2013年度教育教學(xué)改革研究項目“應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標下《信號與系統(tǒng)》和《通信原理》課程優(yōu)化整合的探索研究”( 2013JY47) ；四川文理學(xué)院2013年度面上項目“基于電吸收調(diào)制器的變頻技術(shù)研究”(2013Z002Z)

作者簡介：稅奇軍( 1976—)，男，四川遂寧人.講師, 主要從事光通信及微波光電子學(xué)研究.

中圖分類號：G642.0文獻標志碼：A

0引言

連續(xù)信號的傅里葉變換是信號與系統(tǒng)和通信原理課程中非常重要的一種變化，它是將信號從時域變換到頻域的方法，其反應(yīng)了連續(xù)非周期信號時域特性和頻域特性之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此連續(xù)信號的傅里葉變換在信號與系統(tǒng)和通信原理課程學(xué)習(xí)中具有重要作用.[1]多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗表明，學(xué)生對這些知識點的掌握不夠熟練，從而缺乏融會貫通的能力.文章針對這一現(xiàn)象通過實例分析了連續(xù)信號傅里葉變換存在的條件和連續(xù)信號傅里葉變換的應(yīng)用.

1連續(xù)信號的傅里葉變換存在條件

如果一個連續(xù)非周期信號滿足狄里赫利條件：(1)連續(xù)非周期信號絕對可積；(2)在任何有限區(qū)間內(nèi)，連續(xù)非周期信號只有有限個最大值和最小值；(3)在任何有限區(qū)間內(nèi)，連續(xù)非周期信號有有限個不連續(xù)點，并且在每個不連續(xù)點都必須有有限值.其時域和頻域滿足如下的傅里葉變換關(guān)系:

(1)

(2)

(1)式和(2)式中f(t)是連續(xù)非周期信號，F(xiàn)(jω)是連續(xù)非周期信號的頻譜.[2]

2連續(xù)信號傅里葉變換特點

由于連續(xù)非周期信號的頻譜是一個復(fù)數(shù)，所以可以將其寫成模和相位的形式:

(3)

(4)

對(3)式求頻譜的共軛復(fù)數(shù)后和(4)式相等，可以得到：

(5)

θ(-ω)=-θ(ω)

(6)

由(5)式和(6)式可以發(fā)現(xiàn)一連續(xù)非周期信號其幅頻是偶函數(shù)，相頻是奇函數(shù).對于一個實偶連續(xù)非周期信號其頻譜是實偶函數(shù)，對于一個實奇連續(xù)非周期信號其頻譜是純虛奇函數(shù).

3連續(xù)傅里葉變換的應(yīng)用

在信號與系統(tǒng)和通信原理課程中，連續(xù)信號傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用，主要表現(xiàn)在分析連續(xù)確知信號頻譜和隨機信號頻譜以及求解復(fù)雜的廣義積分上.

3.1利用連續(xù)信號傅里葉變換計算復(fù)雜信號的頻譜

(7)

由傅里葉變換的對偶性得到：

(8)

將(8)式恒等變形可以得到：

(9)

根據(jù)傅里葉變換時域求導(dǎo)性質(zhì)可以得到：

(10)

3.2利用連續(xù)信號傅里葉變換性質(zhì)計算復(fù)雜的廣義積分

(11)

雙邊指數(shù)信號的頻譜為：

(12)

將(12)式的時域和頻域代入(11)式得到：

(13)

將(13)式恒等變形就可以立即計算出該廣義積分，其結(jié)果為：

(14)

3.3利用連續(xù)信號傅里葉變換性質(zhì)計算數(shù)字基帶信號的頻譜

數(shù)字基帶信號的頻譜是通信原理課程中非常重要的一個內(nèi)容， 通過對數(shù)字基帶信號頻譜的分析可以發(fā)現(xiàn)信號在傳輸中的特性.比如信號有沒有直流成分，有沒有可供提取同步信號用的離散分量以及根據(jù)其連續(xù)譜可以確定基帶信號的帶寬.由于數(shù)字基帶信號是非確知信號，所以其頻譜只能用統(tǒng)計的方法體現(xiàn)功率譜密度，對數(shù)字基帶信號可以將其表示成非周期的交變波和周期的穩(wěn)態(tài)波，非周期的交變波的功率譜密度表達式如下：

ps(f)=fsp(1-p)

(15)

fs是二進制基帶信號一個碼元寬度的倒數(shù)，p是二進制碼元‘0’出現(xiàn)的概率，G1(f)和G2(f)分別是‘0’和‘1’對應(yīng)的傅里葉變換.如一個隨機序列矩形脈沖表示，并且該矩形脈沖是雙極性不歸零，隨機序列中‘0’和‘1’出現(xiàn)的概率相等，求其交變波的頻譜.[5]根據(jù)(15)式可以得到隨機序列在等概情況下交變波功率譜表達式為：

(16)

由于表示數(shù)字信號的基本碼元是雙極性不歸零矩形脈沖，所以有：

G2(f)=-G1(f)

(17)

(18)

將(17)式和(18)式代入(16)式，可以得到該隨機序列的頻譜為：

(19)

4結(jié)束語

文章分析了連續(xù)信號傅里葉變換在信號與系統(tǒng)和通信原理課程中的重要作用，利用連續(xù)傅里葉變換能夠計算和分析復(fù)雜廣義積分，數(shù)字基帶信號交變波的功率譜密度和復(fù)雜連續(xù)信號的頻譜，為學(xué)生在學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)和通信原理課程中把握連續(xù)傅里葉變換的重要性起了一定的指導(dǎo)作用.

參考文獻：

[1] 楊曉非，何豐.信號與系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社，2008:87.

[2] 劉樹堂.信號與系統(tǒng)：第2版[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2000:126.

[3] 段哲明. 信號與系統(tǒng)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008:132.

[4] 陳生潭. 信號與系統(tǒng)[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2001:73.

[5] 樊昌信，曹麗娜.通信原理：第6版[M].北京：國防工業(yè)出版社，2008:200.

[責(zé)任編輯范藻]

The Application of Continuous Fourier Transform

in the Communication Principle and Signal & System Courses

SHUI Qijun, TANG Binghua, DONG Saiying

(Physics and Mechanical-Electrical Engineering School of Sichuan University of Arts and Sciences, Dazhou Sichuan 635000,China)

Abstract:As for the phenomenon that students tend to ignore the importance of continuous Fourier transform in learning the courses of communication principle and the signal and system, this paper, based on the case analysis of Continuous Fourier transform in solving continuous complex signal spectrum and complex generalized integral and the role of digital baseband signal spectrum, aims to improve students' mastery of continuous Fourier transform in learning these two courses and lay a solid foundation for the follow-up professional course learning.

Key words:communication principle; signal and system; continuous Fourier transform