基于SDRE法的非線性魯棒滑模末制導(dǎo)律設(shè)計

朱戰(zhàn)霞，馬巖，毛正陽，唐必偉

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，陜西 西安710072;2.航天飛行動力學(xué)技術(shù)國家級重點實驗室，陜西 西安710072)

0 引言

滿足成本和性能要求是航天器設(shè)計的基本原則，為了降低發(fā)射成本，總是力求航天器質(zhì)量盡可能輕。一般地，燃料占質(zhì)量的相當比例，因此應(yīng)盡可能使航天器執(zhí)行任務(wù)所需的燃料最少。對于大氣層外動能攔截器，從平臺發(fā)射之后，在制導(dǎo)控制系統(tǒng)作用下，攔截器飛達目標并對目標實施直接碰撞殺傷。攔截過程中燃料消耗取決于控制系統(tǒng)性能和所采用的制導(dǎo)方案，燃料最省的制導(dǎo)方案可以有效減少攔截器質(zhì)量，從而降低地面發(fā)射成本。然而基于視線坐標系建立的動能攔截器末制導(dǎo)段動力學(xué)模型雖然物理意義明顯，但卻具有強非線性特性，導(dǎo)致經(jīng)典制導(dǎo)律設(shè)計方法不適用，同時考慮到目標躲避機動及各類偏差和外擾，致使?jié)M足攔截精度要求的制導(dǎo)律設(shè)計困難。

為了解決以上問題，國內(nèi)外不少學(xué)者進行了研究。其中針對非線性系統(tǒng)最優(yōu)制導(dǎo)問題，狀態(tài)相關(guān)黎卡提方程法(SDRE)［1］不失為一種有效的解決方法，相對于傳統(tǒng)最優(yōu)反饋制導(dǎo)律求解HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程十分困難的情況，SDRE非線性次優(yōu)制導(dǎo)律求解簡單，控制精度高，已有學(xué)者將該方法應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計中。賈正望等［2］針對防空導(dǎo)彈的二維制導(dǎo)問題，設(shè)計了基于SDRE法的末制導(dǎo)律。文獻［3］設(shè)計了一種基于SDRE法的最優(yōu)滑模制導(dǎo)律。文獻［4-5］基于SDRE控制理論，采用θ-D法求解次優(yōu)控制律，分別針對航天器伴隨軌道控制問題和三維空間彈目攔截問題進行了研究。雖然SDRE法可以用于非線性系統(tǒng)，但是當系統(tǒng)存在不確定項或者干擾項時，應(yīng)用該方法求解最優(yōu)解非常困難。

滑?？刂凭哂袑?shù)攝動的不變性和對外界干擾的魯棒性，也在末制導(dǎo)律設(shè)計中得到了應(yīng)用［6-9］。但是滑模控制的原理導(dǎo)致抖振問題不可避免，抖振會造成控制量在正負之間頻繁切換，導(dǎo)致該方法工程實施困難。

本文以動能攔截器攔截大氣層外大機動目標為對象，考慮系統(tǒng)非線性和不確定干擾，充分利用以上兩種方法的特點，提出并研究了結(jié)合SDRE法和滑模法的末制導(dǎo)律設(shè)計方法。

1 基于視線系的彈-目相對運動模型

在視線坐標系［10］下建立攔截器與目標之間的相對運動模型［11］:

式中:r為視線坐標系下的攔截器和目標的相對距離;qε為視線傾角;qβ為視線偏角;atx，aty，atz為目標機動加速度矢量在視線坐標系三軸上的分量;amx，amy，amz為攔截器加速度矢量在視線坐標系三軸上的分量。

為了方便控制系統(tǒng)設(shè)計，將式(1)改寫成狀態(tài)方程的形式，設(shè)

則有:

式中:x為狀態(tài)量;u為攔截器控制量;將目標機動視為干擾量δ，它們都是隨時間的變化量。B(x)矩陣及C(x)矩陣為控制量u及干擾量δ的系數(shù)矩陣，是狀態(tài)量x的函數(shù)。

以上狀態(tài)方程中，視攔截器-目標的相對距離、視線傾角及視線偏角為被控狀態(tài)量，既能完整地表達相對接近問題，又不會引入絕對坐標信息，簡化了數(shù)值解算的復(fù)雜度。顯見，該方程為非線性方程，其中的目標機動項為不確定項，因此該方程表示的系統(tǒng)是帶有不確定干擾項的非線性系統(tǒng)。

2 基于SDRE法和滑模控制的設(shè)計方法

一般地，考慮擾動及不確定項的非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示如下:

式中:系統(tǒng)狀態(tài)量x∈Rn;控制量u∈Rm;f(x)，g(x)為由狀態(tài)量x組成的非線性系統(tǒng)的函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)(3)中的不確定項，則系統(tǒng)可以表示為:

式中:a0，a1為正常數(shù);‖˙‖表示歐幾里德范數(shù)。

對于式(4)所描述的系統(tǒng)，本文考慮充分利用SDRE法和滑?？刂频奶攸c進行最優(yōu)控制的設(shè)計。首先，不考慮干擾，即在δ=0的情況下基于SDRE理論求解系統(tǒng)的解。然后在此基礎(chǔ)上，考慮不確定干擾項，即δ≠0，采用滑?？刂七M行補償。具體過程如下。

2.1 基于SDRE的最優(yōu)控制

假設(shè)δ=0，非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

令u=ucon，并稱ucon為標稱系統(tǒng)(不考慮干擾)的最優(yōu)控制量。取系統(tǒng)(6)的控制能量消耗最小作為性能指標，即

式中:Q(x)∈Rn和R(x)∈Rm為系統(tǒng)性能指標中含有狀態(tài)量x項的權(quán)重矩陣，Q(x)為半正定矩陣，R(x)為正定矩陣。

基于SDRE理論，即基于狀態(tài)量的黎卡提方程的思想，將非線性動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為系數(shù)矩陣含有狀態(tài)量的狀態(tài)方程，其與LQR控制具有同樣的魯棒性。將式(6)中的f(x)表示為A(x)x，將g(x)表示為B(x)，則狀態(tài)方程就可表示為基于SDRE理論的狀態(tài)方程:

系數(shù)矩陣 [A(x) B(x)]對于x逐點可控，則滿足最優(yōu)性能指標的最優(yōu)控制ucon為:

其中矩陣P(x)通過以下黎卡提矩陣代數(shù)方程求得:

對于SDRE法設(shè)計過程中的可控性問題，選擇合適的系數(shù)矩陣A(x)對系統(tǒng)的可控性有比較大的影響。如果對于任意狀態(tài)量，系統(tǒng)中［A(x) B(x)］需逐點可控，令S4=［B(x) A1(x)B(x) …，即有 rank(S4)=n，則本文所設(shè)計的非線性魯棒系統(tǒng)可控。

2.2 基于滑?？刂频母蓴_補償

以上結(jié)果是在δ=0的情況下得到的，下面考慮當δ≠0的情況。

為了補償非線性系統(tǒng)(4)中的不確定項，選擇控制律為:

式中:uunc為針對系統(tǒng)外擾及參數(shù)不確定性的滑?？刂蒲a償量。若求得式(11)，即可得到考慮干擾的最優(yōu)制導(dǎo)律，前面已經(jīng)設(shè)計具有最優(yōu)性能的控制ucon，因此這里需要設(shè)計補償量uunc。

基于滑?？刂扑枷?，首先選擇滑模面為:

本文設(shè)計積分滑模面如下所示:

這里，G(x)∈Rm×n，G(x)B(x)滿秩非奇異，不考慮系統(tǒng)外擾動，當t=0時，s(0，x(0))=0，這樣系統(tǒng)運動點總是從滑模面出發(fā)，對s求導(dǎo):

與基于SDRE設(shè)計的最優(yōu)控制相比，式(9)和式(15)完全相同，這也證明了本文選擇的滑模面是魯棒最優(yōu)的。

考慮系統(tǒng)外擾項，選擇uunc為:

式中:參數(shù)η為正常數(shù)。

將式(4)代入，得:

將式(16)代入式(18)，得:

本文研究的末制導(dǎo)問題中，C(x)=－B(x)，則:

考慮式(5)，得:

分析式(22)，s的1-范數(shù)‖s‖1是大于0的，則－η‖s‖1＜0，有‖s‖ ＜ ‖s‖1，則式(22)中后半項，則，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 攔截器末制導(dǎo)律設(shè)計

針對攔截器末制導(dǎo)律設(shè)計問題，應(yīng)用以上方法時，首先需要將狀態(tài)方程式(2)改寫為如下形式:

由于在視線方向不用控制，因此式(23)的前兩式在仿真中只需參加循環(huán)計算，則狀態(tài)量變?yōu)閤=，去掉前兩式后，式(23)各系數(shù)矩陣的表達式為:

則可以直接利用本文方法進行末制導(dǎo)律的設(shè)計，其中兩個系數(shù)矩陣R和Q設(shè)計如下:

4 仿真驗證結(jié)果及分析

為了驗證本文設(shè)計的末制導(dǎo)律的性能，在相同條件下，將仿真結(jié)果與以下自適應(yīng)滑模末制導(dǎo)律比較［12］:

4.1 單次仿真結(jié)果

體現(xiàn)制導(dǎo)性能的主要參數(shù)就是視線角變化率和脫靶量，前者與攔截過程中需用過載相對應(yīng)，后者說明了攔截精度。仿真計算得到基于SDRE法的非線性魯棒滑模末制導(dǎo)律的脫靶量為0.132 5 m，燃料消耗為11.906 kg，而自適應(yīng)滑模末制導(dǎo)律的脫靶量為0.416 8 m，燃料消耗為12.983 kg，表明本文所提出并設(shè)計的末制導(dǎo)律脫靶量更小，制導(dǎo)精度更高，且燃料消耗更少。圖1和圖2給出兩種制導(dǎo)律下的視線傾角變化率和視線偏角變化率。其中，ASMG代表自適應(yīng)滑模末制導(dǎo)律;OSMG代表本文設(shè)計的基于SDRE法的非線性魯棒滑模最優(yōu)末制導(dǎo)律。

圖1 視線傾角變化率Fig.1 Changing rate of line of sight lnclination angle

圖2 視線偏角變化率Fig.2 Changing rate of line of sight deflection angle

由圖1和圖2可以看出，基于SDRE法的非線性魯棒滑模末制導(dǎo)律的視線角速率在前段變化較快且很快減小并逐漸趨于較小的值，說明彈道前段充分利用了機動性而彈道末段比較平直，有利于精確控制以減小脫靶量。

4.2 蒙特卡洛打靶仿真結(jié)果

在末制導(dǎo)段進行蒙特卡洛打靶仿真，誤差源及其誤差選值范圍和分布規(guī)律如表1所示，打靶次數(shù)n=100次。其中正態(tài)分布N(0，σ2)，選取均值為0，標準差σ=0.5。兩種末制導(dǎo)律下，蒙特卡洛打靶的脫靶量分別如圖3和圖4所示。

表1 誤差源及其分布規(guī)律Table 1 Distribution of error sources

圖3 自適應(yīng)滑模末制導(dǎo)律脫靶量分布Fig.3 Missed distance of ASMG

圖4 非線性魯棒滑模最優(yōu)末制導(dǎo)律脫靶量分布Fig.4 Missed distance of OSMG

統(tǒng)計結(jié)果為:ASMG法的CEP誤差為0.225 m，脫靶量均方差為0.030 5 m;OSMG法的CEP誤差為0.138 2 m，脫靶量均方差為0.008 55 m。進一步說明了基于SDRE法的非線性魯棒滑模最優(yōu)末制導(dǎo)律脫靶量更小，制導(dǎo)精度更高。

5 結(jié)束語

在保證制導(dǎo)精度的前提下，攔截器燃料消耗的減少對于其總體優(yōu)化設(shè)計以及航天器作為有效載荷從地面發(fā)射時的成本減小意義重大。本文正是基于此考慮，研究了基于SDRE法解決非線性系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，并將滑模變結(jié)構(gòu)控制與其結(jié)合，設(shè)計了基于SDRE法的非線性魯棒滑模末制導(dǎo)律，仿真結(jié)果表明了該制導(dǎo)律的可用性和優(yōu)越性能。

［1］ Tayfun Cimen.State-dependent riccati equation(SDRE)control:a survey［C］//Proceedings of the 17th International Federation of Automatic Control World Congress.Seoul，South Korea，2008:3761-3775.

［2］ 賈正望，穆育強，郭治.基于SDRE方法的制導(dǎo)律設(shè)計與仿真研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，2010，22(1):135-143.

［3］ Seyyed Sajjad Moosapour，Ghasem Alizadeh，Sohrab Khanmohammadi，et al.A novel nonlinear robust guidance law design based on SDRE technique［J］.International Journal of Aeronautical and Space Science，2012，13(3):369-376.

［4］ 羅建軍，周文勇，袁建平.基于θ-D非線性控制方法的伴隨軌道控制［J］.中國空間科學(xué)技術(shù)，2009，4(2):1-7.

［5］ 王祥，方群.一種基于θ-D次優(yōu)控制的三維末制導(dǎo)律設(shè)計［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，30(2):196-200.

［6］ Babu K R，Sarmah J G.，Swamy K N.Switched bias proportional navigation for homing guidance against highly maneuvering targets［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1994，17(6):1357-1363.

［7］ 郭建國，周軍.基于雙冪次趨近律的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律［J］.飛行力學(xué)，2010，28(5):55-58.

［8］ 湯一華，陳士櫓，徐敏，等.基于Terminal滑模的動能攔截器末制導(dǎo)律研究［J］.空軍工程大學(xué)學(xué)報，2007，8(2):22-25.

［9］ 時建明，王潔，劉少偉.大氣層外末段攔截變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計［J］.電光與控制，2009，16(11):92-97.

［10］范玉潔.空間攔截器制導(dǎo)與控制技術(shù)研究［D］.南京:南京航空航天大學(xué)，2012.

［11］ Chen Chun-Hone，Liang Yew-Wen，Liaw Der-Cherng，et al.Design of midcourse guidance laws via a combination of fuzzy and SMC approaches［J］.International Journal of Control，Automation，and Systems，2010，8(2):272-278.

［12］周荻.尋的導(dǎo)彈新型導(dǎo)引規(guī)律［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2002:6-9.