邵鵬杰，董文瀚，馬駿，馮通

(空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，陜西 西安710038)

0 引言

四旋翼是一個四驅(qū)動、六自由度的強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［1］建立了其典型的數(shù)學(xué)模型。模型中槳葉陀螺效應(yīng)相比于各槳葉旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的升力對機(jī)體的扭矩較小，絕大多數(shù)文獻(xiàn)基于微小型四旋翼進(jìn)行研究，為簡化控制器設(shè)計(jì)，該項(xiàng)常被忽略［2］。隨著載重的增加，對四旋翼執(zhí)行機(jī)構(gòu)的抗變形性提出了更高的要求;隨著槳葉材質(zhì)性能的提高，其轉(zhuǎn)動慣量相應(yīng)增大，槳葉陀螺效應(yīng)對四旋翼運(yùn)動的影響也隨之增大。因此，建模時槳葉陀螺效應(yīng)必須考慮。

實(shí)際應(yīng)用中，飛行控制仍以PID方法為主。但傳統(tǒng)PID方法有如下缺點(diǎn):控制器參數(shù)較多、僅由經(jīng)驗(yàn)選取，且提高快速性后會導(dǎo)致高頻振蕩［3］;當(dāng)槳葉陀螺效應(yīng)變大時，高頻振蕩特性將會更加凸顯出來。近年來為了克服上述缺點(diǎn)，研究人員提出了多種非線性控制方法，比較典型的有Backstepping控制［4］、滑模控制［5］、H∞控制［6］等。文獻(xiàn)［4］保留了對系統(tǒng)有用的非線性內(nèi)容，設(shè)計(jì)了一種基于Backstepping方法的控制器，但其控制算法過于復(fù)雜、工程實(shí)現(xiàn)困難。為此，研究人員在反步法的基礎(chǔ)上提出了動態(tài)面控制方法［7］。

本文首先針對槳葉陀螺效應(yīng)對四旋翼的影響，建立了較為精準(zhǔn)的動力學(xué)模型;然后，為了克服傳統(tǒng)PID控制方法的缺點(diǎn)，提出了一種克服槳葉陀螺效應(yīng)對四旋翼運(yùn)動不利影響的動態(tài)面控制方法，并通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 四旋翼動力學(xué)建模

四旋翼結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 四旋翼結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure model of quadrotor

圖中:{E}系統(tǒng)為慣性坐標(biāo)系;{B}系統(tǒng)為機(jī)體坐標(biāo)系;l為旋翼中心到機(jī)體質(zhì)心的縱向距離;h為旋翼中心到機(jī)體質(zhì)心的垂直距離;Va為空速;Dw為機(jī)體與空氣摩擦產(chǎn)生的阻力;Ωi為旋翼i的轉(zhuǎn)速(i=1，2，3，4);Ti為旋翼 i產(chǎn)生的升力;Di為旋翼 i產(chǎn)生的阻力;Li為旋翼i產(chǎn)生的側(cè)傾力矩;φ為滾轉(zhuǎn)角;θ為俯仰角;ψ為偏航角。

四旋翼由圖1中四個電機(jī)和槳葉提供動力，1，3槳葉和2，4槳葉的旋轉(zhuǎn)方向相反，同時增大或減小4個電機(jī)的旋轉(zhuǎn)速度可引起四旋翼的垂直運(yùn)動;使1，3電機(jī)的轉(zhuǎn)速反向變化，可引起四旋翼的俯仰運(yùn)動;使2，4電機(jī)的轉(zhuǎn)速反向變化，可引起四旋翼的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動;4個電機(jī)的轉(zhuǎn)速的代數(shù)和引起四旋翼的偏航運(yùn)動。每個電機(jī)產(chǎn)生一個和電機(jī)轉(zhuǎn)速Ωi的平方成正比的升力Ti，即Ti=bΩ2i［8］，b 為升力系數(shù)。

根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)動力學(xué)方程為:

式中:F，M分別為{E}系中加在四旋翼上的合外力、合力矩;m為四旋翼質(zhì)量;V為四旋翼在{E}系中的速度;H為四旋翼在{E}系中的角動量。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，研究對象一般為微小型四旋翼，其槳葉質(zhì)量與機(jī)體質(zhì)量相比較小，槳葉陀螺效應(yīng)對機(jī)體運(yùn)動的影響甚微，為便于研究，在建?；蚩刂破髟O(shè)計(jì)過程中一般予以忽略［9］。對大型四旋翼而言，槳葉質(zhì)量增大，槳葉陀螺效應(yīng)隨之增大，對于機(jī)體運(yùn)動的影響不可忽略。因此，模型中必須引入如下槳葉陀螺效應(yīng)計(jì)算公式:

式中:Ω=Ω1－Ω2+Ω3－Ω4;q，p分別為機(jī)體繞 y，x軸的轉(zhuǎn)動角速度;Ir為槳葉轉(zhuǎn)動慣量。

根據(jù)受力分析可知，機(jī)體在{B}系中所受合力與合力矩為:

運(yùn)動學(xué)方程如下:

式中:Ix，Iy，Iz分別為四旋翼在{B}系中繞三軸的轉(zhuǎn)動慣量。

機(jī)體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣:

式中:c*=cos*;s*=sin*;*=θ，φ，ψ。

假設(shè){B}系原點(diǎn)與質(zhì)心重合，即h=0;考慮到四旋翼飛行速度慢，因此忽略小量Li，Dw，MΩ。將所有公式轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系{E}中，于是得到以下考慮槳葉陀螺效應(yīng)的四旋翼動力學(xué)模型:

定義輸入量:

2 考慮槳葉陀螺效應(yīng)的動態(tài)面控制律

2.1 四旋翼雙回路控制系統(tǒng)

通過定義 U1，U2，U3，U4系統(tǒng)被分解成 4個獨(dú)立的控制通道?？刂破髟O(shè)計(jì)分為內(nèi)環(huán)控制和外環(huán)控制，內(nèi)環(huán)回路為姿態(tài)控制回路，外環(huán)回路為位移控制回路。四旋翼雙回路控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of control system

圖中:Pr為期望位置;ψr為期望偏航角;Φr為期望歐拉角。

2.2 內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制律

考慮到槳葉陀螺效應(yīng)會對機(jī)體的運(yùn)動產(chǎn)生干擾，需要在控制器的設(shè)計(jì)中抵消槳葉陀螺效應(yīng)的影響。因此，在PID-DSC控制方法［10］的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，對姿態(tài)環(huán)進(jìn)行DSC控制設(shè)計(jì)，并分別在U2，U3通道中加入相應(yīng)的抵消項(xiàng)本文以滾轉(zhuǎn)通道控制器設(shè)計(jì)為例，進(jìn)行內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)。

Step1:定義動態(tài)面S1=φ－φd，對其求導(dǎo)得:

為了使S2→0，實(shí)際可取輸入U(xiǎn)2為:

Step3:穩(wěn)定性分析。定義跟蹤誤差為:

結(jié)合式(14)和式(15)，得到:

再結(jié)合式(13)和式(18)，式(19)可寫為:

結(jié)合式(12)和式(14)，式(17)可寫為:

很容易得到以下不等式:

對連續(xù)函數(shù)Γ而言，若對任意的 p＞0，q＞0，滿足A:={V≤p}和，則函數(shù)Γ存在一個最大值M。因此，式(20)可化為如下不等式:

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，上述設(shè)計(jì)過程得到的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

同理，可以求得俯仰通道的控制器為:

其中:

偏航通道控制器為:

其中:

2.3 外環(huán)位置控制律

同內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)，求得高度控制器為:

其中:

考慮到四旋翼在運(yùn)動過程中姿態(tài)角變化很小(φ≈0，θ≈0)，將 U1帶入式 (13)中 x方向方程可得期望滾轉(zhuǎn)角φd，即:

其中:

同理，將U1帶入式(8)中y方向方程可得期望俯仰角 θd，即:

其中:

3 仿真結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文針對考慮槳葉陀螺效應(yīng)所設(shè)計(jì)的DSC方法的可靠性，與文獻(xiàn)［10］提出的PID-DSC方法進(jìn)行對比試驗(yàn)，控制器參數(shù)分別如表1和表2所示。

表1 PID控制器參數(shù)Table 1 Parameters of PID controllers

表2 DSC控制器參數(shù)Table 2 Parameters of DSC controllers

該算例令樣機(jī)從慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)起飛，到達(dá)空間某一位置并保持懸停。設(shè)置仿真時間t=10 s。初始狀態(tài):P=(0，0，0)m，Φ =(0，0，0)rad;目標(biāo)狀態(tài):P=(5，5，10)m，Φ =(0，0，0.3)rad。始末狀態(tài)的線速度和角速度均為0。由于每個電機(jī)受最快轉(zhuǎn)速和安全最低轉(zhuǎn)速的制約，每個通道的輸入均有一個閥值:U1∈［0，20］，U2∈［－5，5］，U3∈［－5，5］，U4∈［－0.182，0.182］。

本文仿真模型動力學(xué)參數(shù)為:m=1.626 5 kg，l=0.321 m，Ix=0.031 517 kg˙m2，Iy=0.031 528 kg˙m2，Iz=0.049 75 kg˙m2，Ir=0.008 kg˙m2，b=1.55e－05，d=2.82e－07。設(shè)置 3組對比仿真試驗(yàn)，結(jié)果如圖3所示。

圖3 位移、姿態(tài)角仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of position and attitude

由圖3及表1、表2可以得出以下結(jié)論:

(1)不考慮槳葉陀螺效應(yīng)時，PID能有效控制四旋翼，各指標(biāo)調(diào)節(jié)時間ts均比較長?？紤]槳葉陀螺效應(yīng)時，控制器參數(shù)相同的PID控制器不能完全有效控制四旋翼，位置收斂效果較好;但姿態(tài)角收斂效果及穩(wěn)定性變差，滾轉(zhuǎn)角φ和俯仰角θ在平衡位置小角度高頻振蕩，偏航角ψ嚴(yán)重漂移。

(2)考慮槳葉陀螺效應(yīng)時，DSC能有效控制住四旋翼，各指標(biāo)收斂迅速、穩(wěn)定性好，且調(diào)節(jié)時間ts均比較短。

(3)基于PID，DSC控制算法的控制器需分別設(shè)計(jì)并調(diào)試18個，12個參數(shù)，DSC算法下的控制器參數(shù)變少，簡化了控制器。

4 結(jié)束語

本文提出的DSC方法能有效克服傳統(tǒng)PID方法對考慮槳葉陀螺效應(yīng)模型控制穩(wěn)定性不強(qiáng)、部分信號漂移的缺點(diǎn)。該方法具有以下優(yōu)點(diǎn):算法比反步法簡單;參數(shù)較PID控制器少，便于控制器設(shè)計(jì);反應(yīng)迅速，調(diào)節(jié)時間ts比PID控制短;穩(wěn)定性強(qiáng)，有效克服了PID方法下出現(xiàn)高頻振蕩的缺點(diǎn)。

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