生活中的勾股定理

吳敏

一、 古代生活中勾股定理的應(yīng)用

相信同學(xué)們都知道大禹治水，相傳在夏禹王治水時(shí)，就已發(fā)現(xiàn)勾股定理，并已把它應(yīng)用于簡(jiǎn)易的水利測(cè)量，這當(dāng)然只是傳說(shuō)，當(dāng)時(shí)的歷史文獻(xiàn)并無(wú)確切的記載，直到公元前1世紀(jì)（西漢）的《周髀算經(jīng)》上才有記載.我們數(shù)學(xué)教材中86頁(yè)也提到了《九章算術(shù)》中的折竹抵地問(wèn)題.由此不難看出該定理在古代生活中便多有運(yùn)用.

例1 ? 仕女蕩秋千

我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位，在他所著的《直指算法統(tǒng)宗》里還有一道“蕩秋千”的題：

蕩秋千

平地秋千未起，踏板一尺離地，

送行二步與人齊，五尺人高曾記;

仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，

良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？

【分析】詩(shī)的意思告訴我們，當(dāng)秋千靜止在地上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為1尺，將秋千的踏板往前推兩步（這里是每一步合五尺）即10尺，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，當(dāng)然這個(gè)秋千的繩索是呈直線(xiàn)狀態(tài)，現(xiàn)在問(wèn)這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？要解決這個(gè)問(wèn)題，需要轉(zhuǎn)化成圖形語(yǔ)言.如圖1所示，假設(shè)AD為靜止時(shí)繩索的長(zhǎng)度，DG=1，CF=5，BC=10，求AD的長(zhǎng)度.

解：設(shè)AC為x，則AC=AD=x，

∵CF=BG=5，DG=1，

∴BD=BG-DG=5-1=4.

則AB=AD-BD=x-4.

∵在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2，

∴x2=（x-4）2+102.

解這個(gè)方程，得x=14.5.

答：這個(gè)秋千的繩索的長(zhǎng)度為14.5尺.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理在生活中的應(yīng)用，充分挖掘題目中隱含信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.而在本題的解決過(guò)程中，把文字轉(zhuǎn)化成圖像也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵之一，這樣最后才能達(dá)到數(shù)形結(jié)合.

二、 現(xiàn)代生活中勾股定理的應(yīng)用

例2 ? 老師的煩惱

最近學(xué)校一塊長(zhǎng)約40米、寬約30米的長(zhǎng)方形草坪（圖2），被幾個(gè)不自覺(jué)的學(xué)生沿對(duì)角線(xiàn)踏出了一條斜“路”.請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們：

（1） 他們知道走斜“路”比正路少走幾步路？

（2） 他們這樣做，值得嗎？

【分析】利用勾股定理求被學(xué)生走“白”的路線(xiàn)，然后與實(shí)際要求的路線(xiàn)進(jìn)行比較.

（1） ∵402+302=2500=502，

∴斜路長(zhǎng)50米，比正路少走40+30-50=20（米）.

（2） 踐踏綠地，不愛(ài)護(hù)環(huán)境，我們要堅(jiān)決制止.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同學(xué)們對(duì)勾股定理的應(yīng)用，學(xué)生在審題和解決問(wèn)題時(shí)能產(chǎn)生保護(hù)環(huán)境的意識(shí).

例3 ? “中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車(chē)在城市道路上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí).如圖4一輛小汽車(chē)在一條城市街道上直線(xiàn)行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車(chē)速檢測(cè)儀A正前方30米處，過(guò)了2秒鐘后，測(cè)得小汽車(chē)位置B與車(chē)速檢測(cè)儀A之間的距離為50米，問(wèn)：這輛小汽車(chē)超速了嗎？

【點(diǎn)評(píng)】由題意可知，△ABC為直角三角形，且AB是斜邊，已知AB，AC根據(jù)勾股定理可以求出BC的長(zhǎng)度，根據(jù)BC的長(zhǎng)度和時(shí)間可以求出小汽車(chē)在BC路程中的速度.若速度大于70千米/時(shí)，則小汽車(chē)超速;若速度小于70千米/時(shí)，則小汽車(chē)沒(méi)有超速.

解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，

∵AB=50，AC=30.

∴BC=40米=0.04千米.

（千米/時(shí)）.

故該小汽車(chē)超速.

答：該小汽車(chē)超速了，平均速度大于70千米/時(shí).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中正確地求出BC的長(zhǎng)度，并計(jì)算小汽車(chē)的行駛速度是解題的關(guān)鍵.

古人在生活中發(fā)現(xiàn)了勾股定理，同時(shí)也把它應(yīng)用在工程技術(shù)、測(cè)量中.有人還設(shè)想把勾股定理的圖形與內(nèi)容作為與外星人交流的“語(yǔ)言”.同學(xué)們，我們只要做一個(gè)生活的有心人，就會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中處處都是數(shù)學(xué).

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）