重尾分布下常利率風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的研究進(jìn)展

喬克林，張寧，高淵

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

摘要：在重尾分布的條件下，對帶常利息力風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率的最新研究進(jìn)展進(jìn)行綜述。首先，簡要介紹經(jīng)典風(fēng)險模型及其主要研究成果；其次，重點介紹重尾分布下所建立的帶常利息力風(fēng)險模型的研究成果；最后，對重尾分布在保險實業(yè)中的應(yīng)用前景進(jìn)行進(jìn)一步的展望。

關(guān)鍵詞：破產(chǎn)概率；常利息力；重尾分布；更新風(fēng)險模型

中圖分類號：O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-602X(2015)01-0009-05

收稿日期：2014-12-26

基金項目：陜西省教育廳自然科學(xué)基金(2013JK0576)

作者簡介：喬克林(1964—)，男，陜西佳縣人，延安大學(xué)副教授。

Abstract：This article aims at summarizing the development of research on ruin Probabilities in the risk model with constant force of interest in the heavy-tailed distribution.At first,we introduce the classical risk model and its main research results;Then,we mainly introduce research achievements established under constant force of interest in the risk model of heavy-tailed distribution;At last,further the application prospect of heavy-tailed distributions in insurance industry in China is addressed.

風(fēng)險理論是對保險業(yè)所面臨的各種風(fēng)險進(jìn)行數(shù)理分析的理論。而破產(chǎn)理論是風(fēng)險理論研究的核心問題，它主要針對保險公司如何估計所面臨的風(fēng)險，討論在一段時間內(nèi)保險公司發(fā)生破產(chǎn)的概率。

瑞典精算師Filip-Lundberg在1903年發(fā)表的博士論文開啟了破產(chǎn)理論研究的篇章，但是他的工作并不是那么嚴(yán)謹(jǐn)，后來以HaraldCramér為首的Stockholm學(xué)派在不斷探究中將其嚴(yán)格化，也正是Cramér把Lundberg的工作建立在了非常堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，才有了現(xiàn)在頗受學(xué)者青睞的Filip-Lundberg經(jīng)典破產(chǎn)模型。

由于破產(chǎn)理論在金融經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛，具有巨大的研究價值，因而許許多多的學(xué)者在長期的研究過程中不斷地對經(jīng)典風(fēng)險模型進(jìn)行改進(jìn)，力求其更加符合實際需要。而重尾分布下風(fēng)險模型的研究是風(fēng)險理論的前沿問題之一，它對于解決那些災(zāi)難性的保險問題很有幫助。因此，近年來許多學(xué)者采用不同的方法，從不同的角度對其進(jìn)行了研究，也得到了許多有用的研究成果。本文旨在對近年來的工作做一個全面系統(tǒng)地梳理，希望能形成一個比較清楚的研究網(wǎng)絡(luò)，為后續(xù)學(xué)者的研究指引方向。

1關(guān)于Lundberg-Cramér經(jīng)典破產(chǎn)模型及其主要研究成果

Lundberg-Cramér經(jīng)典破產(chǎn)模型是現(xiàn)代破產(chǎn)論研究的基本模型和起點。它的基本內(nèi)容是：設(shè)保險公司在時刻t的盈余由下式給出

其中：

(1)u(u>0)為保險公司初始準(zhǔn)備金；

(2)c(c>0)為保險公司單位時間內(nèi)收取的保費，即保費率；

(3)Xi表示保險公司第k次的索賠額，且{Xi,i≥1}是恒正的、相互獨立與X同分布的隨機變量序列，分布為F(x)=P(X≤x)，?x≥0，(F(0)=0)；

(4)N(t)則表示截止時刻t所發(fā)生的理賠總次數(shù)，{N(t),t≥0}是以λ(λ>0)為參數(shù)的Poisson過程，且{N(t),t≥0)和{Xi,i≥1)相互獨立；

(5)c=(1+θ)λμ，其中θ>0，稱為相對安全負(fù)載；

(6)調(diào)節(jié)系數(shù)存在唯一性。

在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上，研究經(jīng)典風(fēng)險模型得出的主要結(jié)果有：

(3)Lundberg-Cramér近似：存在正常數(shù)C，使得

(4)Lundberg不等式：Ψ(u)≤e-Ru，?u≥0。

2重尾分布下帶利息力風(fēng)險模型的研究進(jìn)展

2.1　常見重尾分布族及相關(guān)定義

定義1對于一個非負(fù)隨機變量X，對任意的t>0成立，如果矩母函數(shù)MX(t)=EetX=∞，就稱X是重尾的。否則，如果MX(t)<∞，就稱X是輕尾的。

下面介紹一些常見的重尾子族：

L族(長尾分布族)：對任意固定的y，分布函數(shù)F滿足

S族(次指數(shù)族)：對任意的n≥2，分布函數(shù)F滿足

D族(可控變化分布族)：對任意的0

S*族：具有有限期望μ>0的分布F滿足

ERV族：對某1<α≤β<∞，對任意的y>1，若滿足

M族：分布函數(shù)F滿足

C族：分布函數(shù)F滿足

S(γ)族：分布函數(shù)F在[0,∞]滿足

特別的，當(dāng)γ=0時，S(γ)即亞指數(shù)分布族S。

定義2令F為支撐在[0,∞)上的分布函數(shù)，對于任意的y>1，記

定義3稱兩r.v.sX1，X2為負(fù)象限相依的(NQD)，若對所有的實數(shù)x1和x2，

P(X1

或等價的，

P(X1

見Lehmann(1966)[1]。稱r.v.s{Xn,n≥1)}為兩兩NQD的，若對所有的正整數(shù)i≠j，Xi和Xj是NQD的。

2.2　帶利息力風(fēng)險模型破產(chǎn)概率的研究進(jìn)展

自從經(jīng)典的Lundberg-Cramér破產(chǎn)模型建立以來，不少學(xué)者對其模型進(jìn)行了改進(jìn)，從模型、研究對象、研究方法等方面做了全方位的推廣，其中一種推廣就是考慮利息因素，從而引入了帶常利息力的經(jīng)典模型。即t時的盈余可以表示為：

其中，δ為常數(shù)利息力。該模型對現(xiàn)實有很強的描述能力，因此成為當(dāng)前保險理論界和實務(wù)界特別關(guān)注的對象。目前不少學(xué)者對此都頗有研究，比較前沿的首先應(yīng)該提到Klüppelberg & Stadtmuller[2]，他們得到了：在常數(shù)利息力δ的假定下以及在經(jīng)典模型的場合，有如下的結(jié)果：

這里，假設(shè)索賠額屬于R-α。

其后，在索賠額屬于強次指數(shù)分布的假定下，Asmussen[3]和Asmussen等[4]分別證明了

(1)

Kalashnikov and Konstantinides[5]，Konstantinides[6]和Tang[7，8]等把研究擴展到更大的重尾分布族，其中Tang[7]得到了在泊松場合以及次指數(shù)索賠額的假定下，得到了(1)式。Tang[8]得到了索賠額服從次指數(shù)分布的帶常利率的復(fù)合Poisson模型的有限時破產(chǎn)概率。

特別地，文獻(xiàn)[2]以及[7]中的方法還在本質(zhì)上依賴于索賠額的正則性。

下文將帶常利息力的經(jīng)典模型中齊次Poisson過程推廣到一般的更新過程，就得到如下模型：

(a)索賠額{Xi,i≥1}構(gòu)成一個獨立同分布非負(fù)隨機變量序列，具有共同的分布F和有限的期望μ；

(b)兩次索賠到來的時間間隔{θi,i≥1)是獨立同分布的非負(fù)隨機變量，具有共同的分布G和有限的期望m>0，且與序列{Xi,i≥1)相互獨立；

(d)保險公司的費率(單位時間收到的保費)c為常數(shù)。

設(shè)初始資本為u，令δ>0是常利率，也就是說，時間t以后一個資本x就變?yōu)閤eδt。我們用U(t)來定義到時間t時的總資本，則

(2)

此處當(dāng)U(t)>0時表示保險公司的內(nèi)部總資本有剩余。由此我們可以在有限時間T內(nèi)的破產(chǎn)概率Ψ(u,T)滿足下面式子

ψ(u,T)=P{U(t)<0，0≤t≤T|U(0)=u}。

而無限時破產(chǎn)概率定義為

對帶利息力的更新風(fēng)險模型的研究在近些年比較熱門，其主要研究成果如下：

定理2[10]在模型(2)中，索賠額{Xi，i≥1)是獨立同分布的隨機變量，分布函數(shù)F∈S，則有限時間T的破產(chǎn)概率可表示為

定理3[11]在帶有固定利息δ>0的更新模型中，如果F∈S(γ)∩R-∞，則對任意的有0

以下是帶利息力的更新風(fēng)險模型的特殊情況的結(jié)論：

定理4[12]在索賠額服從Pareto分布，索賠來到過程為泊松風(fēng)險過程，則在時間區(qū)間[0,T]內(nèi)的有限時間的破產(chǎn)概率滿足如下的漸近公式：

定理5[11]在帶有固定利息δ>0的復(fù)合Poisson模型中，如果F∈S(γ)，則對任意的0

在市場需求多元化的條件下，保險公司經(jīng)營的險種越來復(fù)雜多元化、市場化、國際化，而各索賠之間、各險種之間、索賠額和險種之間往往都是具有相關(guān)性的。故引入經(jīng)典的相依情況—負(fù)相依的理論，研究索賠額在負(fù)相依情況下的破產(chǎn)概率漸近表達(dá)式。

若索賠額Xi是負(fù)相依同分布的隨機變量，則上述模型(2)稱為負(fù)相依常利率更新風(fēng)險模型。

近年來，chen和Kai W.Ng(2007)[13]利用純概率的方法研究了索賠額{Xn,n≥1}為兩兩NQD，有共同分布F∈εRV(-α,-β)且索賠間隔時間為i.i.d的破產(chǎn)概率的漸近公式。其結(jié)果如下：

定理6在上述模型(2)，若索賠額{Xn,n≥1}為兩兩NQD的，有共同分布F∈εRV(-α,-β)，索賠時間間隔獨立同分布，則有限時破產(chǎn)概率為：

在隨機變量服從兩兩負(fù)相依關(guān)系和模型不變的條件下，王躍寶等[14]考慮在F∈C族情形下，破產(chǎn)概率的漸近公式。其結(jié)果如下：

定理7在上述模型(2)，若索賠額{Xn,n≥1}為兩兩NQD的，有共同分布F∈C，則有限時間T的破產(chǎn)概率滿足

在此基礎(chǔ)上，江濤[15]進(jìn)一步將模型推廣到F∈D∩L的情況時，破產(chǎn)概率的漸近公式。其結(jié)果如下：

定理8在上述模型(2)，若索賠額{Xn,n≥1}為兩兩NQD的，有共同分布F∈D∩L，則有限時間T的破產(chǎn)概率滿足

隨后，吳永等[16]又將模型推廣到F∈S的情況下，等到如下結(jié)果：

定理9在上述模型(1)，若索賠額{Xn,n≥1}為兩兩NQD的，有共同分布F∈S，則有限時間T的破產(chǎn)概率滿足

為了使模型的描述更符合保險公司的實際，李景芝[17]在索賠額{Xn,n≥1}為兩兩NQD，有共同分布F∈D的基礎(chǔ)下，進(jìn)一步假定索賠發(fā)生的時間間隔θn，n≥1也具有某種負(fù)相依的結(jié)構(gòu)，并得出了在有限時間和無限時間的破產(chǎn)概率，其結(jié)果如下：

I(x)≤Ψ(x,T)≤L-1FI(x)。

特別地，若F∈C，則

3展望

在金融保險域中，重尾分布破產(chǎn)概率作為破產(chǎn)論的一個重要分支，近來，引起眾多學(xué)者對它的研究興趣，也在這方面取得了豐富的研究成果。本文主要綜述了帶常利息力的風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率的研究進(jìn)展。但文中仍有許多值得我們進(jìn)一步研究探討的問題：第一，對帶常利息力的各風(fēng)險模型的研究仍停留在理論研究階段，故在后續(xù)的工作中，我們將會深入研究并完善已有的結(jié)論，并通過實證分析，讓其不僅具有重大的理論意義，而且也具有更加重要的實際經(jīng)濟意義。第二，文中各風(fēng)險模型下破產(chǎn)概率的研究成果都是在一定假設(shè)條件下成立的，如對索賠額、索賠發(fā)生的時間間隔的假定，故對于弱化模型的條件從而得到更符合保險實際的結(jié)果，也有待于進(jìn)一步的研究探討。

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[責(zé)任編輯畢偉]

Research Progress on Ruin Probabilities in the Risk

Model with Constant Interest Force

QIAO Ke-Lin,ZHANG NING,GAO YUAN

(College of Mathematics and Compnter Science,Yan'an University,Yan'an 716000,China)

Key words：ruin probabilities; constant force of interest; heavy- tailed distribution; renewal risk model