基于單位四元數(shù)的單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向

柳建鋒,盛慶紅,王惠南

(南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，江蘇南京210016)

摘要：目前對(duì)單位四元數(shù)描述空間旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用，基本上是將其轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)矩陣的形式，而忽略了單位四元數(shù)描述空間向量旋轉(zhuǎn)具有描述幾何關(guān)系的直觀性以及運(yùn)算簡潔的優(yōu)勢?；诖颂岢鲆环N基于單位四元數(shù)的單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向法，方法首先采用向量描述同名光線，然后利用單位四元數(shù)描述立體像對(duì)中左右影像同名光線的變換關(guān)系，建立單位四元數(shù)共面條件方程模型，再按照帶有約束條件的間接平差原理進(jìn)行最小二乘平差，確定相對(duì)定向元素。針對(duì)RC30航空影像和低空無人機(jī)影像采用單位四元數(shù)法分別進(jìn)行單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向?qū)嶒?yàn)，結(jié)果表明單位四元數(shù)相對(duì)定向方法計(jì)算精度較高,為解決攝影測量中坐標(biāo)變換問題提供更多選擇。

關(guān)鍵詞：單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向；單位四元數(shù)；共面條件方程；歐拉角

中圖分類號(hào)：P23

收稿日期：2014-10-30

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41471381；41101441);南京航空航天大學(xué)研究生創(chuàng)新基地開放基金項(xiàng)目(kfjj130133)

作者簡介：柳建鋒(1990-)，男，碩士研究生.

Independent relative orientation based on unit quaternion

LIU Jian-feng,SHENG Qing-hong,WANG Hui-nan

(College of Astronautics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016,China)

Abstract：The main method of describing spatial rotation with unit quaternion is rotation matrix,without considering property of unit quaternion.Unit quaternion can intuitively and succinctly describe rotation of vectors.Based on this,an innovative method in the independent relative orientation based on unit quaternion is proposed.The algorithm describes corresponding image rays as vectors，then uses unit quaternion to describe the rotational relationship of corresponding image rays.Coplanarity condition equation is linearized by the eight elements of two unit quaternion and elements of relative orientation and calculated using an iterative method according to indirect adjustment with constraints.The relative orientation of RC30 aerial images and UAV images are realized with method unit quaternion and method Euler angles.The results show that the relative orientation accuracy of the method unit quaternion is better than method Euler angle.It provides more options to solve the problems of coordinate transformation in photogrammetry.

Key words：independent relative orientation;unit quaternion;coplanarity condition equation；Euler angles

立體像對(duì)的相對(duì)定向是攝影測量學(xué)的基礎(chǔ)，相對(duì)定向在三維重建技術(shù)、數(shù)字影像三維可視化研究以及高精度定位等方面發(fā)揮著重要作用[1]。如何有效精準(zhǔn)地描述左右影像像空間輔助坐標(biāo)系之間的關(guān)系是相對(duì)定向中的關(guān)鍵問題?；诙喾N同名特征的相對(duì)定向法[2]和基于廣義點(diǎn)的相對(duì)定向[3]，從獲取高精度匹配點(diǎn)的角度出發(fā)，提高定向精度。附有四個(gè)獨(dú)立約束條件的相對(duì)定向法[4]，將約束條件加入到解決過度參數(shù)化的求解中，計(jì)算結(jié)果更加穩(wěn)定可靠。利用IMU/GPS信息作為外方位元素先驗(yàn)值加入到相對(duì)定向的平差中[5]，有效降低匹配誤差對(duì)于定向結(jié)果的影響，提高定向元素解算的精準(zhǔn)度。以上相對(duì)定向方法在描述坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系時(shí)主要利用歐拉角法，求解過程中存在著復(fù)雜的三角運(yùn)算，運(yùn)算量大而且求解時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致溢出。單位四元數(shù)可以方便的構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣，而且可以實(shí)現(xiàn)姿態(tài)描述的唯一性，已廣泛應(yīng)用于導(dǎo)航[6]和飛行器姿態(tài)確定等領(lǐng)域[7]。在攝影測量學(xué)中單位四元數(shù)也已經(jīng)成功應(yīng)用于構(gòu)建共線條件方程[8]、線陣CCD影像的外方位元素解算[9]以及空間后方交會(huì)[10]、三維空間相似變換解算[11]、連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向[12]中。

但上述單位四元數(shù)的應(yīng)用只是將旋轉(zhuǎn)矩陣用單位四元數(shù)的元素來表示，與歐拉角唯一區(qū)別僅僅在于參數(shù)的選擇不同，并沒有體現(xiàn)出單位四元數(shù)描述空間向量旋轉(zhuǎn)的幾何關(guān)系的直觀性以及其運(yùn)算簡潔的優(yōu)勢[13]。本文利用四元數(shù)對(duì)向量進(jìn)行代數(shù)表示，利用單位四元數(shù)描述向量的空間旋轉(zhuǎn)，建立基于單位四元數(shù)的共面條件方程模型，解算相對(duì)定向元素。

1單位四元數(shù)共面條件方程

1.1單位四元數(shù)空間旋轉(zhuǎn)

圖1　單位四元數(shù)空間旋轉(zhuǎn)示意圖

(1)式中：n=(l,m,n)表示旋轉(zhuǎn)軸的單位向量;θ表示繞定軸旋轉(zhuǎn)的角度。將空間中的某一點(diǎn)看成是原點(diǎn)指向該點(diǎn)的向量，記為P(x，y，z)T，旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)記為P′ (x′，y′，z′)T，那么單位四元數(shù)表示的空間旋轉(zhuǎn)過程如圖1所示，用數(shù)學(xué)公式描述為

(2)其中，首先要將三維向量表示成第一個(gè)量為零的四元數(shù)的形式，然后按照四元數(shù)的乘法進(jìn)行運(yùn)算。為了方便計(jì)算，將P′，P，q表示成矩陣形式

(3)四元數(shù)乘法運(yùn)算法則為pq=[p1q1-p2q2-p3q3-p4q4,

p1q2+p2q1+p3q4-p4q3,

p1q3-p2q4+p3q1+p4q2,

p1q4+p2q3-p3q2+p4q1].

(4)

1.2單位四元數(shù)共面條件

圖2表示一個(gè)立體像對(duì)實(shí)現(xiàn)單位四元數(shù)單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向的過程，S1-x1y1z1和S2-x2y2z2分別為立體像對(duì)左右影像的像空間坐標(biāo)，S1-X1Y1Z1和S2-X2Y2Z2分別為左右影像的像空間輔助坐標(biāo)系，S1m1，S2m2表示一對(duì)同名光線，單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向的過程即為將所有的同名光線分別繞各自的投影中心旋轉(zhuǎn)，使得它們與空間基線S1S2共面。假設(shè)同名像點(diǎn)m1和m2的像平面坐標(biāo)分別為 (xl,yl)和(xr,yr)，焦距為f，ql和qr為單位四元數(shù)，用于分別描述左右影像同名光線向量的坐標(biāo)變換[14]，記為

(5)那么根據(jù)式(2)可以得到m1和m2的像空間輔助坐標(biāo)，即同名光線S1m1與S2m2的向量為

(6)由于四元數(shù)乘法不滿足乘法交換律，所以式中參數(shù)均按照式(4)的乘法公式從左至右運(yùn)算。根據(jù)式(6)，共面條件方程為

圖2　單位四元數(shù)共面條件方程模型

(7)目前，對(duì)單位四元數(shù)的應(yīng)用主要為將單位四元數(shù)轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)矩陣，具體形式如下：

(8)

將式(6)與式(8)比較，可以看出單位四元數(shù)與向量的直接運(yùn)算代替旋轉(zhuǎn)矩陣，在形式上更加簡潔，運(yùn)算更為方便。結(jié)合圖2可以看出，利用單位四元數(shù)代替旋轉(zhuǎn)矩陣，引入的旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角，可以將光線向量的空間旋轉(zhuǎn)的幾何直觀性體現(xiàn)出來。

2平差模型及其解算

2.1線性化模型

利用式(4)與式(6)，將式(7)展開，并將等式兩邊對(duì)B歸一化處理，然后進(jìn)行線性化，得到誤差方程式為

v=a1dql0+a2dql1+a3dql2+a4dql3+a5dqr0+

(9)

式中，dql0,dql1,dql2,dql3,dqr0,dqr1,dqr2,dqr3為未知數(shù)的改正數(shù)，其中

F0=YlZr-YrZl.

2.2單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向平差計(jì)算

將誤差方程式V寫成矩陣形式為

V=AX+F0.

(10)

其中，

X=

ql和qr是單位四元數(shù)，V存在兩個(gè)約束條件：

(11)

由于單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向左影像的ω1=0，則V還存在一個(gè)約束條件：

(12)

對(duì)式(11)和式(12)進(jìn)行線性化，可得到約束條件方程

(13)

式中:

令

式(13)矩陣形式為

(14)

設(shè)觀測n對(duì)同名點(diǎn)，則對(duì)每對(duì)同名點(diǎn)按照式(10)可列一個(gè)誤差方程，則整體平差的誤差方程式為

(15)

式中：V和F0是n×1維矩陣，A是n×8維矩陣。采用聯(lián)系數(shù)的直接法[16]，得

(16)

式中

當(dāng)選取的同名點(diǎn)數(shù)量n≥5時(shí)，給定ql和qr的初始值，然后解算相對(duì)定向元素的改正數(shù)，再根據(jù)式(16)逐步迭代,直到改正數(shù)小于規(guī)定的限差終止。

2.3精度評(píng)定

單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向的相對(duì)定向元素φ1，κ1，φ2，ω2，κ2是各未知數(shù)的非線性函數(shù)。根據(jù)協(xié)方差傳播律[17]，可以計(jì)算相對(duì)定向元素的精度。記φ1，κ1，φ2，ω2，κ2的協(xié)方差陣為DXX，有

(17)

式中，N11=(ATA)-1為8×8的方陣，其主對(duì)角線上的元素分別對(duì)應(yīng)著各未知數(shù)的權(quán)倒數(shù)，

式中，

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

由于相對(duì)定向主要用于航空攝影測量，為了驗(yàn)證基于單位四元數(shù)的單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向算法的正確性、有效性和適用性,本文采用RC30航空影像與低空無人機(jī)影像分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。單位四元數(shù)的初值設(shè)置如下：ql0=qr0=1，ql1=ql2=ql3=qr1=qr2=qr3=0。

RC30航空影像，其航向重疊度為60%，影像的像元大小為0.045mm，內(nèi)方位元素x0=-0.004mm、y0=-0.008mm、f=152.72mm，影像分辨率5 120×5 120，航高2 290m。實(shí)驗(yàn)中，人工選取21對(duì)同名點(diǎn)，其分布如圖3所示。

圖3　RC30航空影像和特征點(diǎn)

無人機(jī)數(shù)據(jù)為某地區(qū)無人機(jī)影像，其航向重疊度70%，影像的像素大小為0.006 4mm，影像內(nèi)方位元素x0=-0.05mm、y0=-0.087mm、f=48.1mm，影像分辨率7 264×5 440，航高700m。實(shí)驗(yàn)選取20對(duì)同名像點(diǎn)，分布情況如圖4所示。

圖4　無人機(jī)影像和特征點(diǎn)

利用本文方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，定向結(jié)果如表1所示，定向精度如表2所示。

表1　相對(duì)定向結(jié)果

從表1可以看出，本文采用的單位四元數(shù)法能夠?qū)崿F(xiàn)RC30航空影像與低空無人機(jī)影像的相對(duì)定向，而據(jù)相對(duì)定向結(jié)果可以看出，RC30航空影像相對(duì)定向元素值較小，這是由于其平臺(tái)穩(wěn)定導(dǎo)致相鄰影像相對(duì)姿態(tài)相差不大；而無人機(jī)影像相對(duì)定向元素相對(duì)偏大，這是由于其平臺(tái)受外界影響較大，導(dǎo)致相鄰影像間相對(duì)姿態(tài)差別較大。

表2　相對(duì)定向精度

從表2可以看出，RC30航空影像單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向單位權(quán)中誤差約為0.022 mm(0.5個(gè)像素)左右，各未知數(shù)中誤差也完全合理，驗(yàn)證算法的正確性。無人機(jī)影像中誤差0.008 3 mm(1.3個(gè)像素)，中誤差相對(duì)偏大，這是由于無人機(jī)平臺(tái)的不穩(wěn)定導(dǎo)致無人機(jī)影像存在一定的形變導(dǎo)致，各相對(duì)定向元素精度也在比較合理范圍之內(nèi)。

4結(jié)論

單位四元數(shù)描述的旋轉(zhuǎn)過程，大多停留在將其轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)矩陣的形式，而忽略單位四元數(shù)與向量直接運(yùn)算在幾何意義上的直觀與形式上的簡潔。本文利用單位四元數(shù)與向量直接運(yùn)算的特點(diǎn)，摒棄旋轉(zhuǎn)矩陣，采用單位四元數(shù)與向量的直接運(yùn)算建立單位四元數(shù)單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向模型，首先用向量描述同名光線，并將向量擴(kuò)展為四元數(shù)的形式，然后采用單位四元數(shù)來描述同名光線的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，根據(jù)同名光線相交原理建立共面方程，求解相對(duì)定向元素。結(jié)果表明文中采用的方法形式簡潔，同時(shí)還驗(yàn)證了文中相對(duì)定向方法對(duì)多種航空影像的可靠性，為今后越來越多的輕小平臺(tái)影像的相對(duì)定向提出一種新思路，為攝影測量中涉及到坐標(biāo)變換的問題提供更多的選擇性。如何發(fā)掘單位四元數(shù)法在攝影測量以及其他更多領(lǐng)域中的潛能和更多的優(yōu)勢將成為接下來要研究的內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)：

[1]張劍清，潘勵(lì)，王樹根.攝影測量學(xué)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2009.

[2]ZHANG Y,HU B,ZHANG J.Relative orientation based on multi-features [J].ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing,2011,66(5)：700-707.

[3]何喬，趙泳，張保明,等.基于廣義點(diǎn)的相對(duì)定向和絕對(duì)定向[J].海洋測繪，2006,26(4)：24-26.

[4]ZHANG Y,HUANG X,HU X,et al.Direct relative orientation with four independent constraints [J].ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing,2011,66(6)： 809-817.

[5]趙祖軍，柳欽火，劉強(qiáng),等.利用IMU/GPS信息作為約束進(jìn)行相對(duì)定向[J].應(yīng)用技術(shù)，2006(6)：31-35.

[6]CHANG L,HU B,CHEN S,et al.Comments on Quaternion-Based Method for SINS/SAR Integrated Navigation System [J].Aerospace and Electronic Systems,IEEE Transactions on,2013,49(2)： 1400-1402.

[7]WU S,WU G,TAN S,et al.Quaternion-based adaptive terminal sliding mode control for spacecraft attitude tracking[C].Control and Automation (ICCA),2013 10th IEEE International Conference on,Hangzhou,2013.劍清，潘勵(lì)，王樹根.攝影測量學(xué)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2009.

[2]ZHANG Y,HU B,ZHANG J.Relative orientation based on multi-features [J].ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing,2011,66(5)：700-707.

[3]何喬，趙泳，張保明,等.基于廣義點(diǎn)的相對(duì)定向和絕對(duì)定向[J].海洋測繪，2006,26(4)：24-26.

[4]ZHANG Y,HUANG X,HU X,et al.Direct relative orientation with four independent constraints [J].ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing,2011,66(6)： 809-817.

[5]趙祖軍，柳欽火，劉強(qiáng),等.利用IMU/GPS信息作為約束進(jìn)行相對(duì)定向[J].應(yīng)用技術(shù)，2006(6)：31-35.

[6]CHANG L,HU B,CHEN S,et al.Comments on Quaternion-Based Method for SINS/SAR Integrated Navigation System [J].Aerospace and Electronic Systems,IEEE Transactions on,2013,49(2)： 1400-1402.

[7]WU S,WU G,TAN S,et al.Quaternion-based adaptive terminal sliding mode control for spacecraft attitude tracking[C].Control and Automation (ICCA),2013 10th IEEE International Conference on,Hangzhou,2013.

[8]楊化超，盧曉攀，王永波,等.攝影測量共線方程的單位四元數(shù)描述[J].中國圖像圖形學(xué)報(bào)，2012,17(3)：301-308.

[9]JIANGG,JIANGT,GONGH,etal.ExteriorOrientationofLine-ArrayCCDImagesBasedonQuaternionSphericalLinearInterpolation[C].ISPRSTCVIISymposium-100YearsISPRS,Vienna,2010.

[10]閆利,聶倩,趙展.利用四元數(shù)描述線陣CCD影像的空間后方交會(huì)[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版， 2010,35(2)： 201-204.

[11]趙雙明,郭秋燕,羅研,等.基于四元數(shù)的三維空間相似變換解算[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版， 2009,34(10)：1214-1217.

[12]周永軍，鄧才華.利用HGA和單位四元數(shù)的相對(duì)定向解法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2011,36(6)：670-673.

[13]DIEBELJ.Representingattitude:Eulerangles,unitquaternions,androtationvectors[J].Matrix,2006.

[14]KUIPERSJB.Quaternionsandrotationsequences[M].Princeton:Princetonuniversitypress,1999.

[15]李德仁，鄭肇葆.解析攝影測量學(xué)[M].北京:測繪出版社，1992.

[16]周秋生.測量控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)[M].北京： 測繪出版社，1992.

[17]武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平差學(xué)科組.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)[M].武漢： 武漢大學(xué)出版社，2009.

[責(zé)任編輯：張德福]