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圖像分割的變分模型與數(shù)值計算

薛瑞 李然

信陽師范學院（信陽 464000）

摘 要在圖像分析與計算機視覺領域中,圖像分割技術應用很廣，它是一個基礎的并且非常重要的課題?，F(xiàn)如今，關于變分模型的圖像分割方法得到了國內(nèi)外學者的廣泛關注。本文將要討論圖像分割的變分模型與數(shù)值計算，主要提出一種快速求解 Mumford-Shah 模型的變分水平集分割方法和C-V 模型。

關鍵詞圖像的分割技術 變分模型技術 數(shù)值計算

圖像分析技術的第一步就是圖像分割，圖像分割成為計算機視覺的基礎，也是對圖像理解來說非常重要的組成部分，因此圖像分割技術也成為了數(shù)字圖像處理的基礎性難題。

人類在實際生活中獲得的大量信息絕大部分來源于視覺的圖像信息，這是由于圖像信息具有形象、直觀、易懂和信息量大的一些特點，所以它成為我們?nèi)粘Ｉa(chǎn)生活中接觸最多的信息種類之一。所謂的圖像處理，就是對于一些圖像信息，我們需要利用科學手段進行分析、加工和提取，使其滿足人們的感官以及其他方面的要求，而這個過程即是處理的過程。那么，我們來介紹一下圖像處理的方法，數(shù)據(jù)的編碼和傳輸是其中之一，其次是平滑、邊緣銳化和分割的特征，最后還有特征抽取圖像增強、圖像識別與理解等。

1　圖像分割方法概述

目前，一些特定理論、方法相結合的圖像分割方法相繼出現(xiàn)，在各學科許多新理論和新方法的提出后，下面我們簡要的介紹以下幾種分割方法。

(1)基于數(shù)學形態(tài)學的圖像分割

形態(tài)學圖像分割是為了達到對圖像分析和識別的目的，首先要獲得圖像的對應形狀，那么形狀的獲取就要利用具有一定形態(tài)的結構元素去度量和提取，以達到分析和識別的目的。

(2)基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的分割

人工神經(jīng)網(wǎng)絡法具有自學習、自組織和自適應的性能，并且具有較強的非線性映射能力，十分適合去解決那些背景內(nèi)容不確切、推理準則不明顯以及十分復雜的分割情況?？梢杂糜柧殬颖炯瘜ι窠?jīng)網(wǎng)絡進行訓練，目的是以確定節(jié)點間的連接和權值, 然后新的圖像數(shù)據(jù)被訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡分割，這就是神經(jīng)網(wǎng)絡方法分割圖像的基本思路。

(3)基于聚類的分割

聚類分析是多元統(tǒng)計分析的方法之一，也是數(shù)據(jù)挖掘的一個重要算法；同時它是模式識別中非監(jiān)督模式識別的一個重要手段。聚類劃分算法技術大致上可分為三種方式：模糊聚類，可能性聚類，硬聚類。1.1 基于變分方法的圖像分割

給變分圖像分割的思想下個定義：那就是在圖像中描述一條曲線，該曲線受內(nèi)外能量的共同支配，內(nèi)部能量是由圖像輪廓自身特性決定的，外部能量是圖像特征決定的，我們可以根據(jù)物理運動系統(tǒng)中得來的能量泛函來描述這條曲線的所有屬性以及它的運動方式；來優(yōu)化這個能量泛函，最終實現(xiàn)這樣的目標，即這條曲線在移動中的能量逐步趨于最小，并最終在所要找的物體輪廓附近停止。

水平集方法是一種表示活動輪廓的方式，也是我們目前常采用的：由于水平集方法的引入，可以使用活動輪廓模型可以處理一些圖像分割問題。水平集方法將閉合曲線演化問題轉(zhuǎn)化為更高維空間中水平集函數(shù)演化的隱含方程來求解，從而便于處理曲線（曲面）的拓撲結構變化，并具有計算穩(wěn)定的特點。

1.2 幾個經(jīng)典的變分模型

下面給出兩個相關的變分圖像分割模型。

(1)Mumford-Shah（M-S）模型

1989 年，一個著名的變分模型被Mulnford 和shah 提出，很多圖像分割方法被他們的工作統(tǒng)一，并提出了很多理論和實際問題。

(2)Chan-Vese（C-V）模型

由于 M-S 模型實際應用中存在諸多局限性，大量的學者更多的研究其簡化模型，這其中最著名的模型是 C-V 模型。在 2001 年，Chan 和 Vese基于水平集框架，提出了一種高效的模型的方法用來求解二相分片常值 M-S。給定一幅灰度圖像， C 為一封閉曲線，則能量泛函

能夠重新表示為：

其中，v >0是權重參數(shù)，inside ( C )和 outside ( C )分別表示曲線C的內(nèi)部區(qū)域和外部區(qū)域；用

這兩個常值，來擬合曲線 C 的內(nèi)部區(qū)域和外部區(qū)域的灰度值。當閉合曲線C在內(nèi)部或外部區(qū)域時，的值較大，只有曲線達到兩個區(qū)域邊界時，

的值才能達到最小。這樣當式子最小化時，就可以將目標邊界分離出來。

2　基于水平集的快速變分分割模型

Chan 和 Vese 確實使用了交互最優(yōu)化方式來求解下面的極小化問題：

詳細地，Chan-Vese 極小化能量泛函的主要步驟是：

：

再次：通過求解下面偏微分方程的穩(wěn)定解，得到

3　數(shù)值算法和實驗結果

我們并沒有采用復雜的逆向差分方法，而是簡單使用有限差分方法。在數(shù)值實現(xiàn)時，空間偏導數(shù)

，進而偏微分方程可以被離散下面的形式：

表示為

這里，

其中，為大于零的參數(shù)，我們通常選取非常小的數(shù)，從而能夠避免上式中奇異性問題的出現(xiàn)。

4　結語

本文對圖像分割數(shù)值計算的小部分問題進行了研究和總結，從變分模型的實際存在的問題出發(fā)，研究這些問題出現(xiàn)的原因并提出新的模型；其次，在水平集框架下，提出了一種快速變分方法來求解Mumford-Shah 模型的和C-V 模型。探討了通常在求解能量泛函時將會產(chǎn)生的固有局限，即不得不使用交互最優(yōu)化的方式；同時，將聚類算法整合入變分水平集框架，從而提出了一種新的方式來極小化Mumford-Shah 能量泛函。

變分模型在圖像處理和計算機視覺領域中大量產(chǎn)生，使得圖像處理和計算機視覺的研究突飛猛進。在今后的研究中，首先應強化這方面的理論基礎，研究并試圖去解決一些實際需求涉及的理論問題。另外，數(shù)值求解過程中的不準確可能會帶來求解的不精確，甚導致錯誤求解，今后應能夠分析變分模型數(shù)值求解方法中關于穩(wěn)定性、唯一性、收斂性的證明問題。最后，應能夠結合實際需要，將變分模型具體應用到現(xiàn)實生活和生產(chǎn)中，發(fā)揮其使用價值。

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（責任編輯：興安）