條件概率與數(shù)學(xué)期望趣題

【摘 要】討論條件概率、獨(dú)立性與數(shù)學(xué)期望趣題，對(duì)條件概率的理解有新的認(rèn)識(shí)。

【關(guān)鍵詞】條件概率 帽子戲法 數(shù)學(xué)期望

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）19-0042-02

一 條件概率與獨(dú)立性

1.條件概率

已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率

稱為條件獨(dú)概率。

條件概率的計(jì)算多數(shù)情況下是縮小空間直接計(jì)算，而只是少數(shù)情況下用到上述公式。

例如，在一場足球比賽中，一個(gè)球員獨(dú)立進(jìn)3個(gè)球，稱之為上演“帽子戲法”?！懊弊討蚍ā痹从陔s劇節(jié)目，一人兩手拋3頂帽子，在頭上輪換。此項(xiàng)技術(shù)很難，故足球比賽中借用“帽子戲法”形容在一場足球比賽中一個(gè)球員獨(dú)立進(jìn)三個(gè)球很難。

下面講一個(gè)概率中的“帽子戲法”。

桌上蓋著3頂帽子，其中只有1頂帽子里面蓋有1

枚金幣。任選1頂選中金幣的概率是 。

下面把問題改進(jìn)一下：把3頂帽子分別編號(hào)為1、2、3。

問題一，先任選定1頂帽子（假設(shè)是1號(hào)）。由蓋帽者在剩下的兩頂帽子中打開1頂空的（假設(shè)3號(hào)空）?，F(xiàn)在金幣必在1號(hào)或2號(hào)之中，你重新選擇。是保持不變還是改選2號(hào)？

1 2 3

分析一：在打開3號(hào)空帽后，1號(hào)帽子沒有增加金

幣的可能性。故1號(hào)有金幣的概率還是 。因此，改選2

號(hào)選中的概率為 。

分析二：在打開3號(hào)空帽后，2號(hào)帽子也沒有增加金幣呀！表面看是如此，其實(shí)不然。由蓋帽者打開1頂空帽，是在2號(hào)與3號(hào)之間選擇的。2號(hào)與3號(hào)帽子中

有金幣的概率之和是 ，由蓋帽者打開1頂空的（是必

然事件），其實(shí)是排除其中1頂空的，剩下的1頂蓋有金

幣的概率為 （實(shí)際上是兩頂帽子蓋有金幣概率之和）。

分析三：設(shè)Ai={第i頂蓋帽蓋有金幣}，i=1、2、3，S={由蓋帽者打開1頂空帽子}，則S是必然事件！

于是， ，故要改

選2號(hào)。

問題二，當(dāng)蓋帽者打開1頂空帽子（3號(hào)）后，由不知情者在1、2號(hào)中任選一頂。（1）他選中有金幣的概

率為 ；（2）他無論選1號(hào)還是2號(hào)，選中有金幣的概

率都是 。

問：（1）和（2）所表達(dá)的意思相同嗎？

答：（1）和（2）所表達(dá)的意思不一樣。前者是無條件概率（全概率），后者是條件概率。設(shè)Ai={他選第i頂帽子}，i=1、2，S={他選中有金幣帽子}，則（1）P（B）=

；（2）

。

1號(hào)帽子中有金幣的概率為 ，2號(hào)帽子中有金幣的

概率為 ，這是問題一中分析出來的結(jié)果，是客觀事實(shí)。

它不會(huì)因?yàn)椴煌说牟聹y(cè)而改變。故結(jié)論（1）正確，結(jié)論（2）錯(cuò)誤。

問題三，設(shè)選定1號(hào)帽子，現(xiàn)在由非蓋帽者打開2號(hào)、3號(hào)中的任意一頂，發(fā)現(xiàn)是空的。你重新選擇，如何選？

分析：設(shè)Ai={第i頂蓋帽蓋有金幣}，i=1、2、3，B=

{非蓋帽者打開1頂空帽子}，則 ，注

意到A1 B（A1發(fā)生時(shí)，B一定發(fā)生），且

（任意一頂帽子空的概率為 ），故

，由此可見，在由非蓋帽者打開1頂空帽后，重

新選擇時(shí)，改與不改選中的概率一樣。

注：非蓋帽者打開1頂帽子有金幣時(shí)，你改與不改也是一樣，選中的概率都為零。

總結(jié)：在問題1與問題2中，由蓋帽者打開1頂空帽時(shí)，知情者與不知情者猜中的概率不一樣。這是條件概率與無條件概率的區(qū)別。而問題1與問題3中，由蓋帽者打開1頂空帽與由非蓋帽者打開1頂空帽，導(dǎo)致的結(jié)果也不一樣，這似乎有些費(fèi)解。其實(shí)兩者的區(qū)別在于：蓋帽者打開1頂空帽是必然事件，而非蓋帽者打開1頂空

帽的概率僅有 。這是不同的條件概率問題。

2.獨(dú)立性

事件A、B獨(dú)立的充要條件是：

P（AB）=P（A）P（B） （1）

判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，常常是直觀判斷，不必驗(yàn)證（1）。而與（1）等價(jià)的條件還有P（B/A）=P（B）或P（B/A）=P（A），即條件概率等于無條件概率。在實(shí)際應(yīng)用中，這條性質(zhì)往往被忽略掉了。

例1，賭徒的謬誤：

賭徒在連續(xù)輸了3次之后，他認(rèn)為第四次贏的概率會(huì)增大。不幸的是他第四次又輸了（獨(dú)立性，前幾局的結(jié)果不影響后面的結(jié)果）。

例2，產(chǎn)婦的悲劇：

我國農(nóng)村人重男輕女思想嚴(yán)重，幾乎每家庭都有這種思想：要一直生育到男孩為止（不顧違反計(jì)劃生育政策而受罰）。一個(gè)婦女前三胎都生女兒，她認(rèn)為第四胎一定是男孩，不幸的是第四胎又是個(gè)女孩（獨(dú)立性，前幾胎的結(jié)果不影響后面的結(jié)果）。

此類例子還有：買彩票，交通事故等。

二 數(shù)學(xué)期望

在講到數(shù)學(xué)期望（均值）的時(shí)候，我給同學(xué)們講了下面這個(gè)例子：

有一種賭博方式叫碰運(yùn)氣。盒子里有3顆骰子，莊家隨機(jī)搖動(dòng)盒子然后蓋在桌上，讓你猜1至6中的一個(gè)數(shù)。假設(shè)你猜1點(diǎn)，若3個(gè)骰子中出現(xiàn)i個(gè)1點(diǎn)，你就贏i倍賭金，i=1、2、3；如果3個(gè)骰子中沒有出現(xiàn)1點(diǎn)，你就輸了賭金。

分析1：每顆骰子出現(xiàn)1的概率為16，3個(gè)骰子至

少出現(xiàn)一個(gè)1點(diǎn)的概率為 ，此外，還有出現(xiàn)2個(gè)

1點(diǎn)，3個(gè)1點(diǎn)時(shí)你將獲得2倍、3倍賭金的額外機(jī)會(huì)。所以這個(gè)賭博方式對(duì)賭徒有利。

分析2：任何一種賭博方式都不可能對(duì)賭徒有利。那么，分析1中的問題出現(xiàn)在哪呢？是概率計(jì)算出現(xiàn)了問題。事實(shí)上，3顆骰子中至少出現(xiàn)1顆1點(diǎn)的概率為

?，F(xiàn)在我們來計(jì)算參與這個(gè)賭博贏錢的

期望值。設(shè)X表示你贏錢數(shù)，則：

， ；

， ；

。

由此可見，賭徒贏錢的期望值是-7.8%。

假如你一天的賭金是100萬，平均來說，你將輸了7.8萬元。

分析3：還有一個(gè)簡單的判斷：假設(shè)有6個(gè)人參加賭博，賭金都是1萬。6個(gè)人分別賭1～6點(diǎn)，看莊家如何贏錢。（1）3顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不同，莊家吃三賠三，不輸不贏；（2）3顆骰子中有2顆相同，莊家吃四賠三，凈贏1份賭金；（3）3顆骰子點(diǎn)數(shù)都相同，莊家吃五賠三，凈贏2份賭金。

綜上所述：莊家至少保本，還有凈贏1到2份賭金的機(jī)會(huì)。

參考文獻(xiàn)

[1]Richard.A.Epstein.賭博的理論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的邏輯[M].Academic press，1967

[2]李澤華、謝甌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].廣州：廣東科技出版社，2010

[3]謝延年、尹斌庸編著.數(shù)學(xué)家傳[M].長沙：湖南教育出版社，1987

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕