淺議映射與函數(shù)及相關(guān)概念的異同

劉金婷 劉嘉瑞

摘要： 文章分析了映射和函數(shù)在不同工具書中定義的異同，并根據(jù)定義的不同討論了形成概念不一致的原因：主要是由于函數(shù)概念隨著數(shù)學的發(fā)展不斷擴展造成的。文章還探討了映射、函數(shù)、算子、泛函之間的相互關(guān)系及在各數(shù)學分支中的習慣用法。

關(guān)鍵詞：映射，函數(shù)，算子，泛函

中圖分類號：N04；O1文獻標識碼：A文章編號：1673-8578（2015）06-0050-03

引言

在科技術(shù)語中，有很多概念交叉、錯綜復雜、同義異名及同名異義的現(xiàn)象，厘清這些術(shù)語之間的概念差別是術(shù)語工作的重要內(nèi)容之一。在數(shù)學中，經(jīng)常會用到映射（mapping）和函數(shù)（function），按照集合論的觀點，它們都是表示兩個非空集合之間的特殊對應(yīng)關(guān)系。然而在不同的教科書和工具書中，它們的定義不盡相同，且有的定義相差較大，這就給學習和使用的人帶來了困惑。比如在《中國大百科全書》（第二版）[1]和大學教材《高等數(shù)學》[2]中，稱函數(shù)是映射的一種特殊情況，函數(shù)是實數(shù)域到實數(shù)域的映射。而在專業(yè)工具書如《數(shù)學大辭典》[3]和《數(shù)學百科全書》[4]中，稱函數(shù)就是映射，二者完全等同。與這兩個概念含義相近的還有算子（operator）、泛函（functional）等，這些概念之間具體有什么差別？本文嘗試分析并探討其差異，建立起它們之間的邏輯關(guān)系。

一映射的概念

映射是集合論中非?；镜母拍?，它的定義并無爭議，在不同的教科書或者工具書中只有一些表述的差異。在《高等數(shù)學》中，映射的概念如下：設(shè)數(shù)集X、Y為兩個非空集合，如果存在一個法則f使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射[2]。也就是說映射是建立在兩個非空集合之間的對應(yīng)關(guān)系，并且滿足以下幾個條件：（1）“對X中每個元素x”，就是說X中不能有剩余元素；（2）“在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)”，就是說在Y中有即可，也就是Y中可以有剩余元素；（3）“唯一確定”，說明X中的一個元素不能在Y中對應(yīng)多個元素，即“不能一對多”；（4）X中的一個元素在Y中只能對應(yīng)一個元素，即可以“一對一”；（5）X中的多個元素也可以在Y中對應(yīng)一個元素，也就是可以“多對一”。在《中國大百科全書》中稱其為函數(shù)概念的推廣，而在《數(shù)學大辭典》和《數(shù)學百科全書》中稱映射就是函數(shù)。

二函數(shù)的概念

函數(shù)是數(shù)學中最重要的術(shù)語之一，但是其概念卻并不完全統(tǒng)一。在大學教材《高等數(shù)學》中，函數(shù)的定義如下：設(shè)數(shù)集DR，則稱映射f∶D→R為定義在D上的函數(shù)，在這個函數(shù)定義中，對每個x∈D，按對應(yīng)法則f，總有唯一確定的值y與之對應(yīng)，這個值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值[2]。從中可以看出，這個定義中的“函數(shù)”是映射的一個特例，包含于映射，并且其是實數(shù)集到實數(shù)集的映射。在《中國大百科全書》第二版中稱函數(shù)本質(zhì)上是數(shù)集之間的一種對應(yīng)（或稱為“映射”）[1]。這也是說函數(shù)本質(zhì)上是一種映射，是數(shù)集上的映射，它與映射的概念不同，它的范圍小于映射。

而在《數(shù)學大辭典》中的函數(shù)定義為：即映射。設(shè)X與Y為給定的兩個集合，f是某個法則，每個x∈X按照f對應(yīng)唯一的y∈Y，稱f為從X→Y的一個函數(shù)[3]?！稊?shù)學百科全書》中函數(shù)的定義也是從集合論的角度給出，與上述定義內(nèi)涵一致，還指出函數(shù)的概念與映射等價[4]。這就是說函數(shù)等同于映射，兩者概念一致。

由此可見，在不同的工具書中，映射和函數(shù)的關(guān)系并不相同。這主要是由于函數(shù)這個術(shù)語的概念在歷史上發(fā)生過多次變化，其概念不斷擴展，所以才形成了函數(shù)概念的不一致，從而函數(shù)和映射的關(guān)系也不一致。

三函數(shù)概念的發(fā)展歷史

作為數(shù)學中非常重要而又非?；镜男g(shù)語，函數(shù)概念的形成和發(fā)展經(jīng)歷了一段比較長的歷史過程。Function這個詞首先由萊布尼茨（G.W.Leibniz）提出，后來被中國數(shù)學家李善蘭譯為“函數(shù)”。1755年， 歐拉（L.Euler）在他的《微分學原理》的序言中又給出了如下定義：“ 如果某些量以這樣的方式依賴于另一些量， 即當后面這些量變化時， 前面這些變量也隨之變化， 則將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！盵5]后來隨著分析學的發(fā)展，函數(shù)的概念也隨之擴展。伯努利（J.Bernoulli I）等人拓廣了函數(shù)自變量的取值范圍， 他們允許自變量取函數(shù)， 從而產(chǎn)生了泛函，開創(chuàng)了泛函分析學科。由此可見，泛函的概念原本大于函數(shù)的概念。

1837年狄利克雷（P.G.Dirichlet）也給函數(shù)下了一個定義：如果對于給定區(qū)間上的每一個x的值有唯一的y值同它對應(yīng)， 那么y就是x的一個函數(shù)， 至于在整個區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于x， 或者y依賴于x是否可用數(shù)學運算來表達， 那都是無關(guān)緊要的[6]。這個概念推廣到實數(shù)域即是我們現(xiàn)在常用的函數(shù)的用法。隨著集合論的大力發(fā)展，人們認識到函數(shù)與映射的內(nèi)涵是一致的，于是將函數(shù)的概念進一步擴展。戴德金（R.Dedekind）首先將映射和函數(shù)的概念統(tǒng)一了起來。布爾巴基（N.Bourbaki）學派1939年給出了函數(shù)的一個較完整的定義：設(shè)E和F是兩個集合， 它們可以不同， 也可以相同，E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)， 如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足跟x的給定關(guān)系，我們稱這樣的運算為函數(shù)。這也是現(xiàn)在數(shù)學專業(yè)工具書上常用的定義。所以根據(jù)現(xiàn)代數(shù)學的觀點，映射等同于函數(shù)，他們的概念是統(tǒng)一的。出現(xiàn)函數(shù)定義的差別主要原因在于根據(jù)分支學科的適用范圍采用了歷史上曾有的函數(shù)定義，而不完全采用現(xiàn)代數(shù)學觀點中的函數(shù)定義。

四算子、泛函等相關(guān)概念

算子是指從一個空間到另一個空間的映射。在泛函分析中習慣稱為“算子”，而稱取值為數(shù)域的算子為“泛函”。基于此發(fā)展起來的算子理論是研究抽象空間之間的對應(yīng)關(guān)系的重要領(lǐng)域。算子的范圍相對于泛函來說擴展了，如果兩個空間都為實數(shù)域，則此算子就是傳統(tǒng)概念中的函數(shù)。可見算子的概念大于泛函和傳統(tǒng)概念中的函數(shù)。endprint

如果將函數(shù)的定義域從實數(shù)域擴展到復數(shù)域，那么以復數(shù)作為自變量和因變量的函數(shù)稱為復變函數(shù)。定義域為實數(shù)域的函數(shù)可以看作是復變函數(shù)的特殊情況。一個自變量對應(yīng)多個因變量的情況，稱作多值函數(shù)。

五映射、函數(shù)、算子、泛函之間的相互關(guān)系

由上文分析可見，映射、函數(shù)、算子、泛函從本質(zhì)來看基本是一致的，只是它們的應(yīng)用范圍不同。函數(shù)和映射是兩個集合的特殊對應(yīng)關(guān)系，泛函是空間對數(shù)集的映射，算子是空間對空間的映射，算子是擴大的泛函。雖然以現(xiàn)代數(shù)學的觀點，映射和函數(shù)完全等同，但是在分析學中常用函數(shù)，在集合論中常用映射。在術(shù)語學理論中，科技術(shù)語要明確界定概念及其應(yīng)用范圍并不容易，特別是有些學科有習慣用法，也就是術(shù)語學中所說的“約定俗成”。對于同義術(shù)語，也要加以分析，區(qū)別出不同的情況，既然語言中存在同義詞，包括所謂相對同義詞與絕對同義詞的差別，那么，在同一題材的范圍內(nèi)，也可以并行地使用不同的說法。因此，即使術(shù)語的概念相近，只是在不同的領(lǐng)域內(nèi)有不同的名稱，也是符合術(shù)語規(guī)范化工作的實際情況的。雖然它們的內(nèi)涵是一致的，卻不宜統(tǒng)一名稱，在不同領(lǐng)域及不同范圍內(nèi)，根據(jù)實際情況，在不同的學科保持慣用的、約定俗成的名稱更合理，強行統(tǒng)一只會造成更大的使用混亂。因此保持映射、函數(shù)、算子、泛函在不同數(shù)學分支中根據(jù)各自的常用習慣來使用更合理。所以，從內(nèi)涵上來說，映射、函數(shù)、算子、泛函可屬于同義異名，但各自應(yīng)用領(lǐng)域不同，不宜完全統(tǒng)一；從約定俗成角度，在集合論中，慣用映射；在分析學中慣用函數(shù)；在泛函分析中，慣用泛函和算子。

六結(jié)語

從現(xiàn)代數(shù)學的觀點，函數(shù)就是映射，兩個概念完全等價。映射、函數(shù)、算子、泛函從內(nèi)涵來看基本是一致的。從應(yīng)用范圍來看，映射=函數(shù)算子泛函函數(shù)（實數(shù)域）。函數(shù)多用在實數(shù)集上，常用于分析學；映射常用于集合論；泛函和算子常用于泛函分析。保持它們的習慣用法，不強制統(tǒng)一，符合術(shù)語規(guī)范化工作的實際情況。

專業(yè)工具書（如《數(shù)學大辭典》《數(shù)學百科全書》等）主要面對數(shù)學界專業(yè)人員，所以將函數(shù)與映射的概念統(tǒng)一，符合數(shù)學中這一概念的實際發(fā)展情況。而《中國大百科全書》和《高等數(shù)學》教材面對更廣泛的人群，將函數(shù)的概念限制在實數(shù)域，映射用在集合論，將映射作為函數(shù)概念的擴展，這更符合大家的實際使用習慣。

參考文獻

[1] 《中國大百科全書》總編委會. 中國大百科全書[M].2版.北京：中國大百科全書出版社，2009.

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[3] 王元，文蘭，陳木法，等.數(shù)學大辭典[M].北京：科學出版社，2010.

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[5] Dieter Ruthing. 函數(shù)概念的一些定義——從Jon.Bernoulli到N.Bourbaki[J].數(shù)學譯林，1986（3）：21-23.

[6] 吉特爾曼 A.數(shù)學史[M]. 北京：科學普及出版社，1987：265.

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