核天體物理反應(yīng)率擬合方法研究

周勇1,2，李志宏1，張海黔2

(1.中國(guó)原子能科學(xué)研究院 核物理研究所，北京102413；

2.南京航空航天大學(xué) 材料科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京211100)

摘要：為進(jìn)行大規(guī)模核天體網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算，通常將核天體物理反應(yīng)率擬合為與溫度相關(guān)的數(shù)值表達(dá)式，以簡(jiǎn)化程序中的核物理輸入量。通過(guò)分析國(guó)際上常用的幾種核天體物理數(shù)據(jù)庫(kù)，本工作得到了一種新的擬合方法，其對(duì)反應(yīng)率的擬合精度較目前國(guó)際上通用的REACLIB和NACRE數(shù)據(jù)庫(kù)的擬合方法的有明顯改善。該擬合方法適用于直接反應(yīng)和窄共振、寬共振、閾下共振和多諧共振反應(yīng)，方便建立核天體物理反應(yīng)率數(shù)據(jù)庫(kù)。

關(guān)鍵詞：核天體物理反應(yīng)率；擬合方法；相對(duì)離差

中圖分類號(hào)：O571.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2014-09-10;修回日期：2014-12-12

作者簡(jiǎn)介：周勇(1992—)，男，四川廣安人，碩士研究生，粒子物理與原子核物理專業(yè)

doi：10.7538/yzk.2015.49.11.1921

Study on Fitting Method

for Nuclear Astrophysics Reaction Rate

ZHOU Yong1,2, LI Zhi-hong1, ZHANG Hai-qian2

(1.ChinaInstituteofAtomicEnergy,P.O.Box275-46,Beijing102413,China；

2.CollegeofMaterialScienceandTechnology,

NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing211100,China)

Abstract:In large-scale nuclear astrophysics network computing, the nuclear astrophysics reaction rates were usually fitted to numerical reaction rates concerning temperature in order to reduce the input nuclear parameters. By analyzing the existing databases adopted internationally, a new fitting method was present in this paper, which can give much better fitting results than REACLIB and NACRE. This new fitting method can be applicable to direct reaction rates, isolated and narrow resonance reaction rates, multi-resonant reaction rates, subthreshold states and broad low energy resonances reaction rates, and is convenient to build nuclear astrophysics reaction rate data library.

Key words：nuclear astrophysics reaction rate; fitting method; relative scatter

核天體物理反應(yīng)率是恒星演化研究中的重要物理量，它決定了核反應(yīng)的路徑，進(jìn)而影響恒星演化的進(jìn)程。核天體物理網(wǎng)絡(luò)計(jì)算涉及數(shù)以萬(wàn)計(jì)的帶電粒子和中子的核反應(yīng)、核衰變以及它們隨溫度的變化曲線。盡管理論上可輸入與這些核反應(yīng)、核衰變相關(guān)的核物理參數(shù)，通過(guò)微積分運(yùn)算求解任何溫度下的天體物理反應(yīng)率，但實(shí)際網(wǎng)絡(luò)計(jì)算中由于參數(shù)多，程序需要耗費(fèi)巨大的CPU運(yùn)行時(shí)間，計(jì)算效率非常低。

為解決這個(gè)問(wèn)題，實(shí)際運(yùn)用中常把核天體物理反應(yīng)率擬合成與溫度相關(guān)的數(shù)值表達(dá)式，以簡(jiǎn)化核反應(yīng)程序?qū)|(zhì)量、電荷、能量、幾何參數(shù)以及反應(yīng)截面等核反應(yīng)參數(shù)的調(diào)用，從而提高網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的效率。經(jīng)相應(yīng)擬合后，核天體物理反應(yīng)率的解析表達(dá)式轉(zhuǎn)化為與溫度相關(guān)的純粹的數(shù)值表達(dá)式，弱化了物理參量的影響，擬合函數(shù)不再有明確的物理意義。

目前國(guó)際上常用的核天體物理數(shù)據(jù)庫(kù)主要有REACLIB[1]和NACRE[2]，它們采用各自推導(dǎo)的擬合公式將反應(yīng)率數(shù)值化，并制成核反應(yīng)率數(shù)據(jù)庫(kù)，可為核反應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)計(jì)算程序所調(diào)用。本工作擬分析比較REACLIB和NACRE數(shù)據(jù)庫(kù)采用的擬合方法，以提出一種精度更高的擬合公式。

1核天體物理反應(yīng)率

在恒星物質(zhì)中，恒星氣體的原子核之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的分布φ遵從Maxwell-Boltzmann分布：

(1)

其中:T為氣體溫度；m為原子核質(zhì)量；v為原子核之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度；k為Boltzmann常數(shù)。

對(duì)于兩體反應(yīng)，核天體物理反應(yīng)率可表示為它們的相對(duì)速度與反應(yīng)截面σ(v)的卷積：

(2)

在實(shí)際計(jì)算中，采用質(zhì)心系速度v和約化質(zhì)量μ，將式(1)代入式(2)，并利用E=μv2/2，可得：

(3)

考慮天體物理S因子隨能量的變化較反應(yīng)截面的變化更平緩，為方便外推，通常用天體物理S因子代替式(3)中的反應(yīng)截面，S因子為：

(4)

(5)

2反應(yīng)率的擬合方法

反應(yīng)率表達(dá)式(式(5))中的積分項(xiàng)通常無(wú)解析解，因此必須采用近似方法或數(shù)值積分的辦法求解反應(yīng)率。

NACRE數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)于直接反應(yīng)采用的擬合形式為：

(6)

NACRE數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)于共振反應(yīng)采用的擬合形式為：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：下標(biāo)NR+tail代表非共振和尾貢獻(xiàn)，r、MR、SR、BR分別代表窄共振、多諧共振、閾下共振、寬共振；Nrate為所取T的最高次數(shù)；E0(T)、Er分別為伽莫夫峰和共振峰對(duì)應(yīng)能量；Γ為共振峰半高寬；C0、C1、D1～5、ci等為擬合系數(shù)?？偟姆磻?yīng)率為式(6)～(10)的和。

REACLIB數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)于直接反應(yīng)和共振反應(yīng)均采用下式擬合：

a4T1/3+a5T+a6T5/3+a7lnT)

(11)

當(dāng)直接和共振過(guò)程同時(shí)存在時(shí)，總反應(yīng)率可表示為兩個(gè)表達(dá)式(式(11))之和。

不同的擬合公式擬合同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)給出的擬合誤差不同，而同一種擬合公式擬合不同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)的擬合效果也有較大差別。另外，實(shí)驗(yàn)給出的反應(yīng)率數(shù)據(jù)存在相應(yīng)精確度及可信度，這對(duì)擬合也存在一定影響。統(tǒng)一討論擬合公式的系統(tǒng)誤差存在較大難度。為簡(jiǎn)化討論，在具體擬合時(shí)假定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)絕對(duì)精準(zhǔn)，且均可信。由于目前對(duì)反應(yīng)率的實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差遠(yuǎn)小于擬合過(guò)程產(chǎn)生的誤差，所以上述假定是合理的。通常用相應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比給出不同擬合公式的擬合精度，從而說(shuō)明擬合公式的優(yōu)越性。

為分析擬合結(jié)果的誤差，定義相對(duì)離差r作為評(píng)價(jià)指標(biāo)：

(12)

根據(jù)定義，r直接反映數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合情況，擬合數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)差別越小，即r越接近0，表明擬合效果越好。rmax反映了一組數(shù)據(jù)中擬合值與實(shí)驗(yàn)值偏差最大的情況，即能將該組數(shù)據(jù)擬合誤差約束在內(nèi)的精度。

為方便比較，將NACRE擬合直接反應(yīng)的公式中的多項(xiàng)式取到T5項(xiàng)，使得它與REACLIB同樣有7個(gè)擬合參數(shù)。用REACLIB方法擬合李二濤[3]所給直接輻射俘獲反應(yīng)6He(p,γ)7Li的天體物理反應(yīng)率，擬合結(jié)果給出的rmax=0.1%。NACRE方法擬合同樣數(shù)據(jù)得到的rmax=0.2%?？煽闯?，對(duì)直接輻射俘獲反應(yīng)而言，REACLIB公式的擬合精度較NACRE的好。對(duì)于包含窄共振的7Li(p,γ)8Be反應(yīng)[2]，REACLIB公式擬合的rmax=0.8%，NACRE方法擬合的有效區(qū)域內(nèi)rmax=11%。它們擬合結(jié)果的比較示于圖1?？煽闯?，NACRE擬合方法的擬合相對(duì)離差分布較REACLIB大很多，擬合精度遠(yuǎn)不及REACLIB。對(duì)于包含閾下共振能級(jí)的13C(α,n)16O反應(yīng)[4]，REACLIB方法擬合的rmax=1.3%，較NACRE方法得到的rmax=9%好[2]。對(duì)于含有多個(gè)共振能級(jí)的復(fù)雜核反應(yīng)9Be(α,n)12C[2]，REACLIB方法擬合該反應(yīng)的rmax=15%，NACRE方法在使用較多的擬合參數(shù)時(shí)給出了rmax=10%的稍好結(jié)果。總之，通過(guò)本工作的比較分析發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)情況下，REACLIB方法的擬合精度較NACRE的高。

圖1　REACLIB與NACRE方法 擬合 7Li(p，γ) 8Be反應(yīng)率的比較 Fig.1　Comparison of 7Li(p，γ) 8Be reaction rate fitted by REACLIB and NACRE methods

在關(guān)鍵的核天體物理網(wǎng)絡(luò)計(jì)算中，對(duì)核天體物理反應(yīng)率的精度要求較高。比如，對(duì)于s過(guò)程路徑上的核反應(yīng)，反應(yīng)率的精度要求在5%以內(nèi)[5]，而部分關(guān)鍵核(如純s過(guò)程、瓶頸和分支點(diǎn)涉及的核素)的反應(yīng)率精度要求在1%以內(nèi)[6]。對(duì)于大部分反應(yīng)，REACLIB方法均能達(dá)到要求，但對(duì)于某些S因子隨能量變化劇烈且含有復(fù)雜多級(jí)共振的核反應(yīng)，REACLIB方法也無(wú)法達(dá)到網(wǎng)絡(luò)計(jì)算要求的精度。使用擬合精度差的天體物理反應(yīng)率進(jìn)行計(jì)算，不僅會(huì)給模型計(jì)算帶來(lái)很大的不確定性，也會(huì)讓人們?yōu)樘岣邔?shí)驗(yàn)精度的所有付出付諸東流，因此有必要尋找更好的核天體物理反應(yīng)率擬合公式。

3對(duì)擬合公式的改進(jìn)

考慮到REACLIB對(duì)于直接反應(yīng)的擬合精度較NACRE的好，結(jié)合REACLIB與NACRE后，給出一新的擬合公式：

(13)

式中：第1個(gè)e指數(shù)項(xiàng)為直接反應(yīng)REACLIB公式的形式且增加了a7這一項(xiàng)，是對(duì)直接反應(yīng)的擬合，該項(xiàng)只是在數(shù)值方法上提高了擬合精度，并無(wú)明確的物理意義；第2個(gè)e指數(shù)項(xiàng)為共振反應(yīng)NACRE公式的形式，是對(duì)閾下共振和寬共振的擬合；第3個(gè)e指數(shù)項(xiàng)為共振反應(yīng)NACRE公式對(duì)窄共振與多諧共振的擬合形式。

第1個(gè)e指數(shù)項(xiàng)中增加了a7項(xiàng)后，擬合反應(yīng)2H(d,n)3He[7]的rmax=0.3%，而REACLIB公式擬合的rmax=0.7%。更多的擬合結(jié)果表明：添加a7項(xiàng)能改善擬合效果。

圖2　本工作得到的擬合方法 擬合 9Be(p，γ) 10B的反應(yīng)率-溫度曲線 Fig.2　Curve of 9Be(p，γ) 10B reaction rate vs temperature fitted by new fitting method

在數(shù)值分析中，采用不同的函數(shù)族得到的擬合形式具有不同的擬合精度。經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)添加T7/3形式的項(xiàng)較添加其他形式的項(xiàng)，如T8/3、T2、T3、ln(T+1)等更好。REACLIB公式擬合中T的指數(shù)系列為0、-1、-1/3、1/3、1、5/3、7/3，這種形式也要較其他指數(shù)系列，如0、-1、1、2、3、4、5和0、-1、-1/3、1/3、2/3、1、4/3的形式要好。

利用本工作得到的擬合方法擬合寬共振反應(yīng)9Be(p,γ)10B[2]的反應(yīng)率，得到的擬合系數(shù)如下：a1=-7.604 015，a2=0.003 624，a3=-12.447 558，a4=39.352 005，a5=-18.774 197，a6=-18.670 023，a7=4.659 769，a8=6.114 395，a9=21.124 178，a10=27.844 288，a11=4.994 859，a12=9.635 295，a13=14.123 683，a14=-1.228 151。與實(shí)驗(yàn)給出的反應(yīng)率數(shù)據(jù)相比，擬合的rmax=1.1%。從圖2所示的本工作得到的擬合方法擬合9Be(p，γ)10B的反應(yīng)率-溫度曲線可看出，擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)與原實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)在低溫區(qū)和高溫區(qū)均符合非常好。

利用本工作得到的擬合方法擬合復(fù)雜共振反應(yīng)9Be(α,n)12C[2]的rmax=4%，較REACLIB方法給出的結(jié)果rmax=15%以及NACRE方法給出的結(jié)果rmax=10%均好。對(duì)于寬共振反應(yīng)9Be(p,γ)10B[2]，本擬合方法得到的rmax為1.1%，好于REACLIB方法與NACRE方法的結(jié)果rmax=1.2%與rmax=7%。對(duì)于寬共振反應(yīng)10B(p,γ)11C[2]，本工作得到的rmax=0.6%，也好于REACLIB方法的rmax=1.8%與NACRE方法的rmax=13%。擬合效果可從圖3所示的本工作擬合的10B(p，γ)11C反應(yīng)率與REACLIB數(shù)據(jù)庫(kù)的比較明顯看出。更多的擬合結(jié)果也表明，本工作得到的擬合方法較REACLIB方法和NACRE方法的擬合效果有明顯改善。

圖3　本工作擬合的 10B(p，γ) 11C反應(yīng)率 與REACLIB數(shù)據(jù)庫(kù)的比較 Fig.3　Comparison of 10B(p，γ) 11C reaction rate fitted by new fitting method and REACLIB

無(wú)論目前國(guó)際上通用的核天體物理反應(yīng)率擬合公式還是本工作得到的擬合方法，均只針對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)涉及的溫度范圍內(nèi)的反應(yīng)率進(jìn)行擬合。由于外推過(guò)程中的誤差無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)，且通常外推計(jì)算存在較大的誤差(>10%)，擬合公式不適用于實(shí)驗(yàn)涉及溫度范圍外的反應(yīng)率的計(jì)算，即不能外推計(jì)算。

4結(jié)論

本工作系統(tǒng)研究了核天體物理反應(yīng)率的擬合方法，使用REACLIB和NACRE數(shù)據(jù)庫(kù)給出的公式擬合了大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩者的擬合精度仍不能滿足核天體物理網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的要求。為改進(jìn)REACLIB的擬合公式，通過(guò)增加對(duì)擬合反應(yīng)率較敏感的T7/3項(xiàng)，并將多種共振反應(yīng)相關(guān)的參數(shù)項(xiàng)添加到擬合公式中，形成包含14個(gè)待定系數(shù)的擬合方程。該擬合方法涵蓋了所有核反應(yīng)的類型，適用于任何核反應(yīng)數(shù)據(jù)的擬合。與已有的天體物理反應(yīng)率數(shù)據(jù)庫(kù)相比，改進(jìn)后的擬合方法有如下優(yōu)點(diǎn)：

1) 適用范圍廣，可進(jìn)行天體物理反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的任何反應(yīng)類型的擬合；

2) 擬合精度高，即使是相當(dāng)復(fù)雜的多共振9Be(α, n)12C反應(yīng)體系，本擬合公式可給出相對(duì)離差小于4%的擬合精度，好于REACLIB數(shù)據(jù)庫(kù)給出的15%和NACRE數(shù)據(jù)庫(kù)給出的10%；

3) 統(tǒng)一性好，避免了REACLIB和NACRE直接反應(yīng)用一種公式、有共振時(shí)用另一種公式的擬合方法，適用于建立標(biāo)準(zhǔn)化的核天體物理反應(yīng)率數(shù)據(jù)庫(kù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]RAUSCHER T, THIELEMANN F K. Tables of nuclear cross sections and reaction rates: An addendum to the paper “Astrophysical reaction rates from statistical model calculations”[J]. Atomic Data and Nuclear Data Tables, 2001, 79(1): 47-64.

[2]ANGULO C, ARNOULD M, RAYET M, et al. A compilation of charged-particle induced thermonuclear reaction rates[J]. Nuclear Physics A, 1999, 656(1): 3-183.

[3]李二濤.6He(p，γ)7Lig.s.和11B(p，γ)12Cg.s.天體物理S因子和反應(yīng)率的間接測(cè)量[D]. 鄭州：鄭州大學(xué)，2009.

[4]郭冰. 利用(d，p)反應(yīng)確定不穩(wěn)定核的天體物理(p，γ)反應(yīng)率[D]. 北京：中國(guó)原子能科學(xué)研究院，2007.

[5]KAPPELER F. Reaction cross sections for the s, r, and p process[J]. Prog Part Nucl Phys, 2011, 66: 390-399.

[7]CHRISTIAN L. Nuclear physics of stars[M]. Berlin: Wiley-VCH, 2007: 171-177.