賞析2015年高考安徽物理卷第24題

楊鈞捷

(江蘇省海門中學(xué)江蘇 南通226100)

收稿日期：(2015-06-14)

1試題及解析

【例1】(2015年高考安徽卷第24題)由3顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對他們的作用，存在著一種運動形式：3顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動(圖示1為A，B，C 3顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況)．若A星體質(zhì)量為2m，B和C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a．求：

(1)A星體所受合力大小FA；

(2)B星體所受合力大小FB；

(3)C星體的軌道半徑RC；

(4)3星體做圓周運動的周期T．

圖1

參考答案：如圖2所示，以BC連線為x軸，過BC中點D且垂直于BC方向為y軸建立直角坐標(biāo)系xDy．

(1)根據(jù)萬有引力定律，A星體所受B與C星體引力大小相等

則A星體受到的合力大小為

(2)B星體所受A與C星體引力大小分別為

方向如圖2；

圖2

則B星體受到的合力大小為

(3)通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點

或由

得出

(4)3星體運動周期相同，對C星體，由

得

2拓展研究

試題的圖1中給出的是3星質(zhì)量全部不等，即(mA≠mB≠mC)的一般情況下的運動形式，而試題的問題中則是研究3星質(zhì)量不全部相等(mA=2m，mB=mC=m)條件下的運動形式，為了對3星圓周運動這種特殊的運動有更深入地了解，下面對質(zhì)量mA≠mB≠mC的一般條件下3星圓周運動進(jìn)行分析與計算．

拓展試題：由3顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對他們的作用，存在著一種運動形式：3顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動．如圖1所示，為A，B，C 3顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況．A，B，C 3星的質(zhì)量分別為mA，mB，mC，且mA≠mB≠mC，求3星繞圓心O做圓周運動的周期T．

解析：位于等邊三角形頂點處3星以相同的角速度ω繞共同的O做圓周運動，根據(jù)質(zhì)心運動定理可知，圓心O為三星系統(tǒng)的質(zhì)心．

如圖3所示，以D表示mB和mC的質(zhì)心，則有

圖3

過D作DE//AC，過D作DF//AB，則△BDE與△CDF均為等邊三角形，AEDF為平行四邊形，得出

(1)

在△ABD中，根據(jù)余弦定理可得

以O(shè)表示A，B，C 3星系統(tǒng)的質(zhì)心，則O點在AD上，且有

(2)

同理可得

(3)

則mB對mA的作用力是

mC對mA的作用力是

得出

結(jié)合式(5)，得出

即fBA和fCA的合力fA的作用線通過質(zhì)心O，fA的大小為

(4)

同理可證，fB的作用線也通過質(zhì)心O′，且

(5)

由式(2)～(5)得

(6)

同理可證

(7)

由f=mω2r可知，(6)、(7)二式說明，mA，mB，mC3星可在由初位置所決定的平面內(nèi)保持相對位置不變繞質(zhì)心O做勻速圓周運動．做圓周運動的角速度ω亦可由(5)、(6)二式得出為

則3星繞系統(tǒng)質(zhì)心O做圓周運動的周期為

(8)

當(dāng)mA=2m，mB=mC=m時，代入式(8)，得

即為高考試題第(4)問的結(jié)果．

3試題評析及啟示

(1)本題以宇宙中的三星系統(tǒng)為背景命題, 考查了勻速圓周運動、力的合成與分解、牛頓第二定律、萬有引力定律和向心力公式等主干知識．試題的情境具有乍一看熟悉、細(xì)思量陌生的特點．熟悉之處在于歷年的高考題中多次考查了多星問題，是高考復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容，例如2006年廣東高考題考查了質(zhì)量相等的3星問題的運動形式．

【例2】(2006年高考廣東卷第17題)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的3顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的3星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是3顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是3顆星位于等邊三角形的3個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m.

(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期．

(2)假設(shè)兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？

陌生之處在于本題中3星的質(zhì)量不再全部相等，運動形式較之質(zhì)量相等的3星運動要復(fù)雜，要求學(xué)生能夠?qū)⒍嘈沁\動問題的分析方法遷移到新的運動情境中，本題是一道能夠鑒別學(xué)生物理規(guī)律的理解能力，面對新穎物理情境的分析能力、解決陌生問題的遷移能力的優(yōu)秀試題，充分體現(xiàn)了壓軸題的選拔功能．

(2)通過試題與拓展研究的對比分析可以看出，拓展研究中3星質(zhì)量全部不等(mA≠mB≠mC)的一般條件下，要用到競賽中的質(zhì)心定義，數(shù)學(xué)運算也較為復(fù)雜，而在高考試題中3星質(zhì)量則是不全部相等(mA=2m，mB=mC=m)，從而使3星運動分析具有了幾何對稱性，規(guī)避了質(zhì)心這個高考超綱概念，避免了繁瑣的數(shù)學(xué)運算，由此可以看出高考試題的匠心獨具．高考試題通過設(shè)置具有梯度的4個問題，引導(dǎo)學(xué)生有效地進(jìn)行方法的遷移、逐步深入地分析問題，使試題有了一定的區(qū)分度，具備了較好的選拔功能．

(3)高考壓軸題肩負(fù)著選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能，具有應(yīng)用型和能力型相結(jié)合的特點，對學(xué)生理解能力、分析綜合能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力要求較高，考慮到競賽題也具有這些特點．因此，在歷年高考中，一些知識點屬于高考范疇的情境新穎的競賽題通過改編出現(xiàn)在高考壓軸題中也就不足為奇．可以認(rèn)為這是高考壓軸題的一種命題導(dǎo)向，啟示我們在日常教學(xué)中要去研究一些適合高考復(fù)習(xí)用的競賽題，特別要關(guān)注一些考點落在高考考綱范疇內(nèi)的競賽題的情境和模型，對這類試題進(jìn)行深入研究和改編，使之成為有利于培養(yǎng)學(xué)生探究能力、方法遷移能力、建立模型能力的試題，進(jìn)而有效地培養(yǎng)學(xué)生把所學(xué)的知識運用到不熟悉的地方去的能力．

物理技術(shù)研究