對(duì)導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中極限速度的討論
葛曉東余杰成
(浙江省杭州第二中學(xué)浙江 杭州310053)
摘 要:在中學(xué)物理教材中有這么一類變加速的問題,定性判斷的結(jié)果是物體最終要做勻速運(yùn)動(dòng),但是在通過對(duì)導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)后得出了一個(gè)和常規(guī)理解不同的結(jié)論:勻強(qiáng)磁場(chǎng)中切割磁感線的導(dǎo)體棒有可能無法達(dá)到勻速的狀態(tài), 對(duì)這一熟知的結(jié)論進(jìn)行了修正,并且將該結(jié)論推廣到高中其他類似的問題模型中去,比如在機(jī)車啟動(dòng)中的極限速度問題.
關(guān)鍵詞:安培力電磁感應(yīng)極限速度
收稿日期:(2015-05-12)
1題目
近日做到一道電磁感應(yīng)方面的綜合題:兩條水平虛線之間有垂直于紙面向里,寬度為d,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).質(zhì)量為m,電阻為R的正方形線圈邊長為L(L A.線圈可能一直做勻速運(yùn)動(dòng) B.線圈可能先加速后減速 圖1 這個(gè)解釋乍一看很有道理,但不難看出它只進(jìn)行了定性分析.于是筆者抱著懷疑的態(tài)度進(jìn)行了定量運(yùn)算,證明了它的謬誤并得到了一些副產(chǎn)物. 由于只研究線圈進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況,所以本文將此過程一般化,即轉(zhuǎn)化為一根導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的情況. 2引理 先證明一個(gè)引理. 引理:在有限的時(shí)間內(nèi),一個(gè)加速度a數(shù)值和速度v數(shù)值始終成正比的減速直線運(yùn)動(dòng)的速度不可能減為零. 引理的證明: 設(shè)a=-kv,其中k為大于零的常數(shù).記初速度為v0(v0>0).運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法: a=-kv≥-kvn 故 順帶一提,此運(yùn)動(dòng)的位移是有上界的,證明如下: 于是位移 故位移有上界. 從而易得位移的最小上界 但這不在本文的探究范圍內(nèi). 由于只研究線圈進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況,所以本文將此過程一般化,即轉(zhuǎn)化為一根導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的情況. 3討論 3.1導(dǎo)體棒不受安培力以外的力 如圖2,足夠長的水平導(dǎo)軌寬度為L,質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒電阻為R,導(dǎo)軌間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).t=0時(shí)刻,導(dǎo)體棒開始以初速度v0向右運(yùn)動(dòng). 圖2 記某時(shí)刻速度為v,則 感生電動(dòng)勢(shì) ε=BLv 感應(yīng)電流 安培力 加速度 可見導(dǎo)體棒的加速度與其速度成正比! 由引理,導(dǎo)體棒在有限的時(shí)間內(nèi)一直做減速運(yùn)動(dòng). 導(dǎo)體棒的速度圖像如圖3所示,為指數(shù)曲線,無限趨近于零. 圖3 3.2導(dǎo)體棒受恒定外力 如圖4,足夠長的水平導(dǎo)軌寬度為L,質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒電阻為R,導(dǎo)軌間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).t=0時(shí)刻,導(dǎo)體棒開始以初速度v0向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)給導(dǎo)體棒施加一個(gè)水平向右的恒定外力. 圖4 記某時(shí)刻速度為v,分3類情況討論: 感生電動(dòng)勢(shì) ε=BLv0 感應(yīng)電流 安培力 故導(dǎo)體棒受力平衡,做速度為v0的勻速運(yùn)動(dòng). 感生電動(dòng)勢(shì) ε=BLv0 感應(yīng)電流 安培力 加速度 可見加速度與v′成正比. 由引理,v′在有限時(shí)間內(nèi)不能減為零,故導(dǎo)體棒一直做減速運(yùn)動(dòng). 通過計(jì)算可得 及位移 若時(shí)間足夠長,其速度圖像如圖5所示,為指數(shù)曲線,無限趨近于 圖5 感生電動(dòng)勢(shì) ε=BLv0 感應(yīng)電流 安培力 加速度 可見加速度與v′成正比. 由引理,v′在有限時(shí)間內(nèi)不能減為零,故導(dǎo)體棒一直做加速運(yùn)動(dòng). 通過計(jì)算可得 及位移 若時(shí)間足夠長,其速度圖像如圖6所示,為指數(shù)曲線,無限趨近于 圖6 綜合上述討論,可知在有限時(shí)間內(nèi),導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況只可能為一直加速、一直減速或一直勻速. 4結(jié)論 以上過程證明了導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況不可能為先變速后勻速,故原題中線圈進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況在有限時(shí)間內(nèi)不可能是先減速后勻速,所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的. 額外的,我們發(fā)現(xiàn)一些題干中有“導(dǎo)體棒經(jīng)過時(shí)間t后變?yōu)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)”或“受恒力的導(dǎo)體棒位移x后變?yōu)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)”的高中物理題目從嚴(yán)格意義上說均是錯(cuò)題. 這可真是個(gè)有意思的結(jié)論.而且這個(gè)結(jié)論應(yīng)該也可以適用機(jī)車恒定功率加速的模型中,按照本文的引理可以知道,機(jī)車只能無限靠近恒速,但是無法達(dá)到最終的勻速運(yùn)動(dòng),感興趣的讀者可以加以證明.