康普頓效應(yīng)及其彈性碰撞恢復(fù)系數(shù)的推證

姜付錦

(武漢市黃陂一中湖北 武漢430300)

摘 要：該文通過對宏觀低速的二維彈性碰撞的分析，發(fā)現(xiàn)其恢復(fù)系數(shù)為1；再用恢復(fù)系數(shù)對康普頓效應(yīng)進(jìn)行了研究，證明了(微觀高速粒子彈性碰撞的典型事例)其恢復(fù)系數(shù)也為1．

關(guān)鍵詞：康普頓效應(yīng)狹義相對論彈性碰撞恢復(fù)系數(shù)

收稿日期：(2015-05-05)

1康普頓效應(yīng)[1]

1921～1923年，美國物理學(xué)家康普頓在研究石墨對X射線散射時，發(fā)現(xiàn)散射的X射線中，除了與入射波長λ0相同的成分外，還有波長大于λ0的成分，這個現(xiàn)象稱為康普頓效應(yīng)．康普頓用愛因斯坦1905年提出的光量子概念，并引入狹義相對論.成功地解釋了這種效應(yīng)．他的基本思想是：X射線的光子不僅具有能量，也像其他粒子那樣具有動量，X射線的光子與晶體中電子碰撞時要遵守能量守恒定律和動量守恒定律，而且還要考慮狹義相對論效應(yīng)即電子質(zhì)量的相對性和質(zhì)能方程，求解這些方程得出的散射光波長的變化值Δλ與實(shí)驗(yàn)符合得很好．康普頓效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，對20世紀(jì)初物理學(xué)的革命(量子論與相對論的建立)起到重大的推動作用.康普頓效應(yīng)具體計(jì)算如下：

動量為p=mv，動能為E=(m-me)c2，光子與電子發(fā)生彈性碰撞，則

(1)

(2)

(3)

圖1　康普頓效應(yīng)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)可求得

X散射光波長的變化值Δλ與實(shí)驗(yàn)符合得很好，由此可見愛因斯坦的光量子理論和狹義相對論的正確性．

2恢復(fù)系數(shù)[2]

牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中首次提出恢復(fù)系數(shù)，恢復(fù)系數(shù)e由兩球材料的彈性決定，其表達(dá)式為

式中v10,v20是兩個物體碰撞前的速度，v1,v2是碰撞后的速度．若e=1則是彈性碰撞；若e<1則非彈性碰撞，這個公式不僅適用于一維碰撞也適用于二維碰撞[3，4]．如圖2所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量為m1的小球以速度v10與質(zhì)量為m2速度為v20小球發(fā)生二維彈性碰撞，碰撞后兩球的速度分別為v1,v2，速度方向分別與水平方向成θ1,θ2，則

圖2　兩個小球的二維碰撞

m1v10+m2v20=m1v1cosθ1+m2v2cosθ2

(4)

0=m1v1sinθ1-m2v2sinθ2

(5)

(6)

由余弦定理可知

(7)

將式(4)平方與式(5)平方相加得

(m1v10+m2v20)2=

(m1v1)2+(m2v2)2+2m1m2v1v2cos(θ1+θ2)

(8)

將式(8)代入式(7)得

(9)

將式(6)兩邊同乘以2(m1+m2)得

(10)

將式(10)代入式(9)得

故宏觀低速二維彈性碰撞中的恢復(fù)系數(shù)

3狹義相對論中相對速度[5]

由洛倫茲變換公式可以推導(dǎo)出相對論中的速度變換公式，設(shè)

(11)

為物體相對于坐標(biāo)系∑的速度．設(shè)慣性系∑′相對于∑系沿x軸方向以速度v運(yùn)動，在∑′系中物體速度分別為

(12)

由相對論時空坐標(biāo)變換公式

(13)

(14)

將式(14)代入式(12)得

(15)

圖3　光子相對電子的速度

如圖3所示，X光子散射后與電子的運(yùn)動方向夾角為θ1+θ2，以電子的速度v方向?yàn)閤軸，與之垂直的方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，則光子在x軸和y軸方向上的分速度分別為

(16)

將式(16)代入式(15)得X光子相對于電子的3個分速度分別為

(17)

則光子相對電子的速度

(18)

散射后光子相對于電子的速度為c，在康普頓效應(yīng)中光子與電子碰撞的恢復(fù)系數(shù)也為1．

4結(jié)語

通過對宏觀低速和微觀高速粒子彈性碰撞的分析和恢復(fù)系數(shù)的定義式可以發(fā)現(xiàn)它們恢復(fù)系數(shù)均為1，它和動量守恒定律一樣具有普適性．

參 考 文 獻(xiàn)

1周世勛.量子力學(xué)(第二版).北京:高考教育出版社，2009.4～5

2漆安慎,杜嬋英.普通物理學(xué)教程 力學(xué)(第二版).北京:高等教育出版社，2005.139～147

3張九鑄.一般運(yùn)動剛體恢復(fù)系數(shù)公式的適用條件.力學(xué)與實(shí)踐，2010,3(32)：116～117

4張九鑄.平面運(yùn)動剛體的恢復(fù)系數(shù)公式的推導(dǎo).大學(xué)物理 2009,8(28)：23～24

5郭項(xiàng)鴻.電動力學(xué)(第三版).北京:高等教育出版社，2008.192～208

Proving on Compton Effect and

Its Elastic Restitution Coefficient

Jiang Fujin

(Huangpi No.1 High School, Wuhan, Hubei430300)

Abstract:This essay analyzes the elastic collision at macro low speed in 2-dimension, finding the Coefficient of restitution 1.Furthermore, some researches are conducted on the Compton effect through the Coefficient of restitution, which proves that the Coefficient of restitution in the elastic collision at micro high speed in 2-dimension is also 1.

Key words:compton effect;special theory of relativity;elastic collision；coefficient of restitution