任寧

【摘 要】我們對小學階段的部分知識點進行了摘錄、梳理、歸類，從“具有同一上位概念的并列知識、具有前后遞進關系的相關內(nèi)容、具有內(nèi)在本質(zhì)差異的相似概念”這三個層面，總結(jié)了基于活動經(jīng)驗的序列化教學三種策略：經(jīng)驗遷移策略、經(jīng)驗拓深策略、經(jīng)驗改造策略。

【關鍵詞】摘錄 梳理 歸類

小學數(shù)學教材中的許多知識點隸屬同一個序列，分布在不同的學習階段，呈螺旋上升排列，它們之間有著密切的內(nèi)在聯(lián)系。對同一序列的知識點，我們要善于以結(jié)構(gòu)化、序列化的整體思路來展開教學。從系統(tǒng)論的角度，我們要進一步實現(xiàn)教學內(nèi)容的整合，去整體地把握、思考、處理安排教學內(nèi)容，實現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的教和學，著眼于知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，幫助學習者建立完善的知識結(jié)構(gòu)體系和方法體系，使知識學習結(jié)構(gòu)化、序列化?；诨顒咏?jīng)驗，我們對小學階段的部分知識點進行了摘錄、梳理、歸類，從“具有同一上位概念的并列知識、具有前后遞進關系的相關內(nèi)容、具有內(nèi)在本質(zhì)差異的相似概念”這三個層面，總結(jié)了基于活動經(jīng)驗的序列化教學三種策略：經(jīng)驗遷移策略、經(jīng)驗拓深策略、經(jīng)驗改造策略。

一、經(jīng)驗遷移策略——適用于具有同一上位知識的并列知識

經(jīng)驗遷移，是指上一階段學習活動中所獲得的活動經(jīng)驗適用于下一階段內(nèi)容的學習。我們通過梳理提煉出各個不同領域中的統(tǒng)攝性較強的上位知識，如“歸納規(guī)律（性質(zhì)）”“運算定律”“統(tǒng)一度量單位”等，每個上位知識都包含了若干個成序列的內(nèi)容，每個內(nèi)容都隸屬于同一上位知識且相互之間有緊密的聯(lián)系。

（一）初次建構(gòu)，積累經(jīng)驗圖式

經(jīng)驗是一種過程性知識，是在實踐活動中所形成的一種“活動圖式”。數(shù)學活動經(jīng)驗的遷移，是以前期的積累為前提的，如果教師在數(shù)學活動的設計中能主動關注學生活動經(jīng)驗的積累，那么就可以為后期的學習打下基礎。如四上《積的變化規(guī)律》一課，是“歸納規(guī)律（性質(zhì)）”序列的第一課時，在這節(jié)課中，教師首先應該讓學生初步學會“歸納規(guī)律（性質(zhì)）”，并在學習活動中讓學生經(jīng)歷歸納規(guī)律的全過程，積累相應的活動經(jīng)驗。

1.觀察信息，初悟規(guī)律。教師出示一組算式“6×2=12，6×20=120，6×200=1200”讓學生尋找其中存在的規(guī)律，學生往往只會著眼于縱向的某一個點，如“積的末尾0慢慢變多了”，而不會從橫向的因數(shù)和積的變化的聯(lián)系中去尋找規(guī)律。

2.教師引領，縱橫溝通。教師應該有如下的追問：“積的變化和誰有關？因數(shù)和積都是怎么同時變大的？”通過這樣的問題以引導學生在歸納規(guī)律的時候要關注算式的每一個部分。然后通過“第二個因數(shù)變了，積也隨之變化，那么第一個因數(shù)呢？”這樣一個問題讓學生感悟到除了關注變化的量，我們還應該關注不變的量，進而得出初步的結(jié)論：第一個因數(shù)不變，第二個因數(shù)乘10，那么積也乘10。

3.拓展延伸，完善規(guī)律。在此基礎上，教師通過以下關鍵問題助力學生探索歸納出完整的積的變化規(guī)律。

師：剛才我們通過觀察三個算式得出了上述規(guī)律。那么我們進一步思考：規(guī)律僅限于此嗎？請靜靜思考。

師：只能乘10嗎？只能乘嗎？一定要第二個因數(shù)乘、除嗎？請舉例說明。

師：剛才我們是怎么概括出這個規(guī)律的？

4.鞏固應用，驗證規(guī)律。（略）

在上述片段中，教師并沒有急于求成，而是從學生的實際認知能力出發(fā)，充分肯定學生的每一次合理歸納，并通過一次次追問和引導，在師生的對話交流中幫助學生完善對規(guī)律的認知，從而積累歸納概括的經(jīng)驗，為后續(xù)的學習打下基礎。

（二）及時激活，內(nèi)化歸納途徑

四上的《商的變化規(guī)律》是第二次學習“規(guī)律的歸納”。一般情況下，教師還是會重起爐灶，從一組除法算式的呈現(xiàn)開始，一步步引導學生歸納出“商的變化規(guī)律”。這是教師沒有系統(tǒng)教材觀的表現(xiàn)，由于沒有關注到學生已經(jīng)積累的“歸納規(guī)律”的活動經(jīng)驗，造成了經(jīng)驗積累與應用的斷層。

本課，教師在組織教學時應該激活學生已有的活動經(jīng)驗，讓學生在原有的基礎上強化對“歸納規(guī)律”這一數(shù)學活動的熟練掌握。在引導學生合理利用前期活動經(jīng)驗的基礎上，通過再次的歸納活動，基本掌握“歸納規(guī)律”的要領，熟悉歸納的路徑。

師：同學們，我們以前學過了積的變化規(guī)律，現(xiàn)在我們來回顧一下，我們是怎么歸納的？（出示一組算式6×2=12，6×20=120，6×200=1200。）

生：先是觀察幾個算式之間有什么聯(lián)系，什么變了，？什么沒變。

生：然后觀察誰隨著誰的變化而變化。

生：考慮完“乘”還要考慮“除”。

師：是啊，我們在學習積的變化規(guī)律的時候，是這樣一步一步地歸納出來的。那么今天我們來研究“商的變化規(guī)律”，能借助以前的經(jīng)驗，歸納出來嗎？

……

師：今天我們學習了“商的變化規(guī)律”，和前面學習的“積的變化規(guī)律”有什么相同的地方嗎？

生：都是從一組算式中去尋找規(guī)律。

生：都是講算式各部分之間的關系，要關注算式的各個部分的變與不變。

在歸納規(guī)律序列的第二層次的學習活動中，這樣的環(huán)節(jié)設計，既激活了學生的已有活動經(jīng)驗為本課學習所用，又在課末通過對比關注了新知與舊知之間的共通之處，讓學生感受到知識間的關聯(lián)。從而進一步鞏固了“歸納規(guī)律”的方法和路徑，為下一步學習活動中數(shù)學活動經(jīng)驗的遷移奠定了扎實的基礎。

（三）獨立探究，自主遷移經(jīng)驗

有了前面兩個階段的充分鋪墊，學生對“歸納規(guī)律”的流程和注意點已經(jīng)了然于胸，在接下來五下的《分數(shù)的基本性質(zhì)》學習中，教師就可以放手讓學生自主遷移已有的數(shù)學活動經(jīng)驗，合作探究規(guī)律（性質(zhì)）的歸納。教師要做的事情就是協(xié)助學生找到新知與舊知的聯(lián)系點即可。

師：我們學過分數(shù)與除法的關系，誰能來舉個例子？

生：1/2=1÷2，2/4=2÷4。

師：我們學過除法中的一個性質(zhì)，叫“商不變的性質(zhì)”，誰能來說說什么是“商不變的性質(zhì)”？

生：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變。

師：根據(jù)分數(shù)和除法的關系，你猜想分數(shù)會有什么樣的性質(zhì)呢？

生：因為分數(shù)的分子相當于除法里的被除數(shù)，分母相當于除法里的除數(shù)，所以我想可能是“分數(shù)的分子和分母同時乘一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變”。

生：同時除以一個數(shù)也可以的。

師：那么，我們能不能用一些具體的例子來說明、解釋這個猜想呢？

生：（小組合作，自主探究）

生：匯報交流。

“分數(shù)的基本性質(zhì)”和“比的性質(zhì)”是該內(nèi)容序列的第三個層次，學生已經(jīng)積累并強化了歸納規(guī)律（性質(zhì)）的活動經(jīng)驗，在教師的適當點撥提示下，學生基本能夠自主遷移已經(jīng)積累的活動經(jīng)驗，應用到實際的學習過程當中。學生在這樣的學習歷程中，建構(gòu)了自己的知識網(wǎng)絡，掌握了規(guī)律（性質(zhì)）的學習方法，提升了自主學習的水平，可謂一舉多得。

二、經(jīng)驗拓深策略——適用于具有前后遞進關系的相關內(nèi)容

經(jīng)驗拓深，指的是上一階段的學習活動中所獲得的活動經(jīng)驗是為后續(xù)學習服務的，而后續(xù)的學習又能拓深前期的活動經(jīng)驗。在學習這些具有前后遞進關系的相關內(nèi)容時，我們首先要著眼于知識點的本質(zhì)所在，根據(jù)學生所處的不同學段和不同年齡特征，用適當?shù)姆绞竭M行表征。而隨著學習進度的深入，教師不但要引導學生合理利用前期學習所積累的活動經(jīng)驗，更應該幫助學生對已有的活動經(jīng)驗不斷拓深強化，趨近對知識本質(zhì)的理解。

（一）夯實基礎，積累活動經(jīng)驗

加減法計算法則的本質(zhì)是“相同計數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加減”。但是由于不同年級學生的年齡特征，決定了在低年級教學相關內(nèi)容時不一定要讓所有學生理解其本質(zhì)，只需知道怎么做就行了，在后續(xù)的學習中隨著年級的升高和理解能力的提升，再慢慢觸及本質(zhì)，拓深學生的數(shù)學活動經(jīng)驗。

在一上學習《兩位數(shù)加一位數(shù)和整十數(shù)》時，還沒有真正建構(gòu)計算法則，教師通過“兩位數(shù)加一位數(shù)”和“兩位數(shù)加整十數(shù)”的對比，借助小棒的直觀形象，讓學生理解“幾個一和幾個一相加，幾個十和幾個十相加”，初步感悟“相同數(shù)位對齊”的道理。

在后續(xù)的學習中，教師也是用“你為什么要先把這三捆和這三捆合起來呢？”這樣的問題引導學生得出“因為他們都是表示幾個十，所以可以直接相加”，然后幫助學生得出兩位數(shù)加整十數(shù)的計算方法：計算35+30時，應該先算30+30=60，再算60+5=65。最后通過教師的總結(jié)，初步概括計算法則的雛形：在計算兩位數(shù)加一位數(shù)時，要先算幾個一加幾個一；在計算兩位數(shù)加整十數(shù)時，要先算幾個十加幾個十。這是計算法則的孕伏階段，接下來在二上的《100以內(nèi)加減法（二）》一課中，正式明確“相同數(shù)位對齊”的計算規(guī)則，直到三上的《萬以內(nèi)的加減法（二）》完善整數(shù)階段加減法的計算法則，達到自動化程度，積累起豐厚的抽象加減法計算法則的數(shù)學活動經(jīng)驗。

（二）新舊聯(lián)結(jié)，喚醒已有經(jīng)驗

在整數(shù)加減法的學習階段，當學生進入自動化的熟練程度后，一般不大會再去思考相同數(shù)位是否對齊，已經(jīng)把這一法則等價為“末位對齊”。所以在四年級下冊學習“小數(shù)加減法”的時候，會對學生的這一默認規(guī)則產(chǎn)生一定程度的沖擊，使之重新回到“相同數(shù)位對齊”的軌道上來。

師：小明買兩個筆記本，一個4.45元，一個5.5元，一共付多少元？

學生獨立完成，板演（如右圖）：

師：到底哪種對呢？

生：第二種，因為4元多加5元多不可能還是5元。

師：為什么這樣列豎式呢？以前都是末位對齊的呀？

生：小數(shù)加減法要把小數(shù)點對齊。

師：剛才不是說小數(shù)加減法的計算方法和整數(shù)加減法的計算方法基本相同嗎？怎么現(xiàn)在又要把小數(shù)點對齊而不是末位對齊呢？

生：5.5小數(shù)部分的5在十分位上，所以要和4.45十分位的4對齊。

生：要把相同的數(shù)位對齊。

在學習小數(shù)加減法的時候，教師注重讓學生聯(lián)結(jié)了已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學活動經(jīng)驗，通過新知和舊知的溝通，讓學生明白小數(shù)加減法當中的“小數(shù)點對齊”和整數(shù)加減法當中的“末尾對齊”的本質(zhì)是相同的，都是為了讓“相同數(shù)位對齊”。這樣使趨于自動化計算的學生重新意識到計算法則的本質(zhì)，而非繼續(xù)停留于自動化的操作而迷失了知識的本質(zhì)。

（三）概括本質(zhì)，拓深活動經(jīng)驗

小數(shù)加減法的計算趨于自動化時，學生的認識也會把計算規(guī)則等價于“小數(shù)點對齊”而忽略了其本質(zhì)——相同數(shù)位對齊。那么在五下的《分數(shù)的加法和減法》單元學習中，就需要對原有的活動經(jīng)驗進行再度拓深，從“相同數(shù)位對齊”拓深到其真正的內(nèi)涵——“相同計數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加減”。首先在《同分母分數(shù)加減法》一課中，我們要幫助學生明確“同分母分數(shù)相加減，分母不變分子相加減”就是“分數(shù)單位的個數(shù)相加減”，在《異分母分數(shù)加減法》中，再度明確“只有相同分數(shù)單位才能相加減”和“相同計數(shù)單位上的數(shù)才能直接相加減”的共通之處。

課始，教師可以設計整數(shù)加減法和小數(shù)加減法的題目，讓學生回顧原有概念的本質(zhì)就是相同單位的數(shù)可以直接相加減，然后引入同分母分數(shù)加減法的學習。

師：這些加法我們都會了，還有一種加法你會嗎？板書：1/8+3/8。

生：1/8+3/8=4/8。

師：怎么想的？

生：1+3=4，所以是4/8。

生：1個1/8加3個1/8是4個1/8，是4/8。

在《同分母分數(shù)加減法》一課中，教師幫助學生理解了分數(shù)加減法的算理，溝通了分數(shù)加減法和整小數(shù)加減法的共同點，那么在《異分母分數(shù)加減法》一課中，教師只要讓學生通過對“為什么異分母分數(shù)不能直接相加減”這個問題的探討，利用圖示表征，并與整數(shù)、小數(shù)加減法進行聯(lián)結(jié)，使“相同單位的數(shù)才能直接相加減”這個經(jīng)驗得到進一步的拓展與升華。

三、經(jīng)驗改造策略——適用于具有內(nèi)在本質(zhì)差異的相似概念

經(jīng)驗改造，是指學生原先所具有的經(jīng)驗和后續(xù)的學習內(nèi)容有較強的相關性，但是又不能直接應用，需要經(jīng)過一定程度的改造才能適用。這一策略適用于具有本質(zhì)差異的相似概念。對于經(jīng)驗之間的相似之處，教師通過一定的情境加以溝通聯(lián)系，而對于經(jīng)驗之間的本質(zhì)差異，更應該通過制造一定的沖突加以改造，從而使經(jīng)驗得到跨越和提升。

（一）提取—鏈接—改造，從生活經(jīng)驗到數(shù)學經(jīng)驗的跨越

在學習三角形的高時，學生已有生活中“高”的經(jīng)驗，如房子的高、身高、樹高等等。但是這些生活中的“高”都是指垂直于水平面的線段長度，而數(shù)學上的“高”是指垂直于某一條線（邊）的線段長度，它們有相似之處，但又有本質(zhì)上的區(qū)別。所以，要對生活中“高”的經(jīng)驗進行適度的改造，使之能對接數(shù)學上的“高”的概念。

首先教師可以通過合理的情境提取學生已有的生活經(jīng)驗，如選擇兩種不同身高的動物的別墅來引出“高”，就是學生所喜聞樂見的。

師：其實從別墅的側(cè)面來觀察，又可以回到我們的三角形來進行研究。（從圖中抽象出三角形）

師：誰能把剛才房子的“高”在三角形中指一指？

生：在三角形中指出高。

師：下面的哪幅圖把你心目中的高畫下來了？

師：那你能說說什么是高嗎？

生：從三角形的一個頂點到它對邊的垂直線段就是三角形的高。

師：下面請欣賞一個小戲法。如果把三角形旋轉(zhuǎn)成這樣，現(xiàn)在線段AE還是邊BC的高嗎？底在哪兒？

在提取了學生的已有生活經(jīng)驗——“高”后，教師通過及時抽象，從動物的別墅中抽象出三角形，完成了生活中的高與數(shù)學中的高的鏈接。這時，學生的生活經(jīng)驗與數(shù)學經(jīng)驗的對接還是比較通暢的，沒有大的阻礙，因為這時的高還是符合學生心目中原有的經(jīng)驗——“垂直于水平面的高”。最終完成生活經(jīng)驗到數(shù)學經(jīng)驗的跨越，是通過變式實現(xiàn)的，把學生認同的垂直于水平底邊上的高通過旋轉(zhuǎn)變成不是垂直于水平底邊的，然后通過辨析討論，理解數(shù)學上的高是垂直于某一底邊的線段，從而實現(xiàn)經(jīng)驗的提升和改造。

（二）鏈接—沖突—改造，從數(shù)學經(jīng)驗到數(shù)學經(jīng)驗的提升

當學生在學習一維測度（長度）的時候就積累了“統(tǒng)一度量單位”和“累加”的活動經(jīng)驗，那么在二維測度（面積）和三位測度（體積）的學習時，就可以進行提取、應用。角屬于平面圖形，角度的測量也需要統(tǒng)一測量單位，測量的過程也是單位角度的累加，但是角的大小和線段的長短、面積的大小相比，具有不一樣的屬性，因此已有的測量活動經(jīng)驗不能直接遷移，需要進行一定的改造才能適用。

對于已經(jīng)經(jīng)歷過的一維測度（長度）的計量，學生是有豐富的活動經(jīng)驗的，但是在初次接觸角度的測量時，幾乎所有的學生是無所適從的（除非預習過）。因此，這時學生想測量卻無從著手，就會處于認知沖突的狀態(tài)，這時教師的引領就起到了畫龍點睛的作用。

師：大家都知道了測量角要用到量角器，你會量嗎？試試看。

生：嘗試測量，無所適從。

師：在測量線段長度的時候，我們先確定了測量的標準 厘米，然后看線段對應的是幾個1厘米。那么我們今天要測量角，你覺得應該做什么事情呢？

生：確定測量角的標準。

師：是啊，測量長度要確定單位長度，如厘米、分米、米，那么測量角也要確定單位角。你能在量角器上面找到角嗎？

生：有一個直角。（手勢比劃）

師：你能找到這個直角的頂點嗎？還能找到其他的角嗎？

生：找出其他不同大小的角。

師：我們數(shù)學上規(guī)定，把半圓平均分成180份，每一份就是1°，一個角包含了幾個1°，就是幾度。

學生學會在量角器上找角，相當于會在直尺上找“厘米”，只要利用量角器，比對一下角對應著量角器上的幾個“單位角”，就是幾度。最后教師引導學生比較量角和量長度的聯(lián)系與區(qū)別，強化概念的認知。

在學習量角的過程中，學生經(jīng)歷了經(jīng)驗的鏈接（量角和量線段） 經(jīng)驗的沖突（找不到測量的單位） 經(jīng)驗的改造（在量角器上找單位角），最終完成了從數(shù)學經(jīng)驗到數(shù)學經(jīng)驗的改造，理解了測量的本質(zhì)。