圓管分層兩相流問(wèn)題的解析方法

盧天祥1，張勁柏2

(1.北京航空航天大學(xué) 中法工程師學(xué)院，北京100083；2.北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100083)

摘要：管道輸運(yùn)工程中經(jīng)常遇到兩相流問(wèn)題，因此需要預(yù)測(cè)對(duì)流體施加的壓力大小以指導(dǎo)運(yùn)輸。擬對(duì)圓直管道分層兩相流-層流模型做研究，用解析方法計(jì)算出圓管任一截面處流體的速度分布，并驗(yàn)證兩層流體交界面處的摩擦力與其平均速度差值呈近似線性關(guān)系的結(jié)論。以此為基礎(chǔ)，可以通過(guò)計(jì)算截面速度分布得到流體與管壁的摩擦力，通過(guò)輸運(yùn)流體所需達(dá)到的速度得到分界面處摩擦力，最終反推出運(yùn)輸流體所需要施加的壓力差大小。

關(guān)鍵詞：兩相流；解析方法；平均速度差值；層間摩擦力

文章編號(hào)：1672-6758(2015)01-0061-3

中圖分類號(hào)：O359`+.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：Two-phase flow is usually encountered in pipe transport industry, hence the transport pressure needs to be forecasted for guiding the transport. This article studied a stratified two-phase flow in straight pipe model, calculated the velocity distribution in pipe section, and then verified that approximately, a linear relation exist between the interlayer friction of the two fluids and their average velocity difference. Based on that, friction between the fluids and the pipe can be obtained by the velocity distribution in pipe section, and the interlayer friction can be obtained by the expected transport velocity, and the transport pressure can be inferred at last.

流體輸運(yùn)工程中，經(jīng)常出現(xiàn)兩種或多種流體一同被輸運(yùn)的情況(如水/原油，原油/天然氣，水/空氣等)，在層流狀態(tài)，這些流體由于密度不同而分層分布；或由于受到干擾，產(chǎn)生脈動(dòng)而呈混合狀態(tài)分布。

國(guó)內(nèi)外對(duì)于層流或湍流兩相流問(wèn)題的研究不在少數(shù)，[1][2][3][4]主要研究方法為實(shí)驗(yàn)方法，原因是兩相流狀態(tài)太多(可以大體歸結(jié)為14種[5])，計(jì)算方法無(wú)法為其建立合適的方程，求解過(guò)程也過(guò)于復(fù)雜。但是實(shí)驗(yàn)方法有其很明顯的弱點(diǎn)：易受外界條件干擾，不能根據(jù)需要靈活改變實(shí)驗(yàn)控制參數(shù)，成本太高等。針對(duì)這些弊端，研究人員開(kāi)始對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題用計(jì)算方法處理，并開(kāi)發(fā)出許多數(shù)值計(jì)算工具，其中石油業(yè)最為突出，計(jì)算軟件有OLGA，[6]PLAC，TICITE，TUFFP等。

本文將研究一種簡(jiǎn)單層流模型—圓直管雙層流動(dòng)模型，兩層流體無(wú)摻混，各自保持在層內(nèi)穩(wěn)定流動(dòng)并達(dá)到穩(wěn)態(tài)。由于兩種流體的動(dòng)力粘度不同，在交界面處會(huì)出現(xiàn)粘度奇點(diǎn)，因此，本文適用于研究?jī)蓪恿黧w粘度差值不大的情況，以忽略粘度差異對(duì)層間摩擦造成的影響，粘度差異大的情況會(huì)在后續(xù)另一篇論文中加以研究。

本文將給出模型的控制方程與邊界條件，給出一種數(shù)學(xué)解析求解方法，求出圓管任一橫截面處的流場(chǎng)，接下來(lái)計(jì)算兩層流體的平均速度值與層間摩擦力，進(jìn)而得出其近似關(guān)系。得知此關(guān)系后，便可以對(duì)輸運(yùn)所需要的壓力進(jìn)行有效地預(yù)測(cè)。

一控制方程及解析方法

圖1為兩相流模型示意圖，其中，r為圓管半徑(忽略管壁厚度)，在此默認(rèn)為1，φ為圓管傾角。圖2為圓管截面示意圖，分界面距離圓心Rcosθ0，r為積分半徑，范圍0-R，θr為積分角，上下層流體的動(dòng)力粘度分別為μ1和μ2。

圖1　兩相流模型示意圖

圖2　圓管截面示意圖

由流體連續(xù)性方程與動(dòng)量定理，上下兩層流體的控制方程均可表述如下：

(1)

式中，u為流體速度，ρ為流體密度，g為重力加速度，dP/dx代表沿x方向的壓降。

本文采用無(wú)滑移邊界條件：?θ，u(r=1)=0；

由于流體處于穩(wěn)態(tài)，對(duì)于給定的x=X，dP/dx為常值(最終目的即預(yù)測(cè)此項(xiàng))，因此，對(duì)于給定的兩種流體，(dP/dx+ρ1gsinφ)/μ1與(dP/dx+ρ2gsinφ)/μ2均為常值，把它們分別記為C1和C2，為簡(jiǎn)化計(jì)算，把控制方程的解分解為：

u=(C1-C2)u1+C2u2

(2)

式中的u1和u2滿足以下方程：

(3)

(4)

(4)式為一般二次偏微分方程，根據(jù)邊界條件，可以得到其解為：

(5)

(5)式與θ無(wú)關(guān)，其實(shí)(4)表示的是泊肅葉流動(dòng)，下面主要把精力放在解(3)式上。

對(duì)(3)式作傅立葉分解：

(6)

(6)式的解可表示為：

(7)

把(7)代入(6)并化簡(jiǎn)得到(cosnθ可以被單獨(dú)拿出)：

(8)

(9)

對(duì)于(8)，令u'10(r)=f(r)，代入(8)并在等號(hào)兩側(cè)同時(shí)乘以r，得到：

(10)

由(10)可得f(r)，并進(jìn)一步得到：

(11)

對(duì)于(9)式，令u1n(r)=f(r)·rn(n=1,2…)，代入(9)并在等號(hào)兩側(cè)同時(shí)乘以rn+1，得到：

(12)

再令g(r)=f '(r)，代入(12)并化簡(jiǎn)，得到：

(13)

由此積分可得到g(r)，然后積分得到f(r)，并進(jìn)一步得到：

(14)

因此，(3)式的解析解為：

(15)

合并(2)(5)(15)式，控制方程最終解為：

(16)

(16)式直接積分較為復(fù)雜，因此使用數(shù)值積分方法直接計(jì)算積分，選用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，每個(gè)R上分配10個(gè)點(diǎn)，每個(gè)θ分配30個(gè)點(diǎn)，并用Fortran語(yǔ)言編寫(xiě)程序。對(duì)于密度ρ1=1.24,ρ2=1000，粘度μ1≈μ2=1.3×10-3的兩種流體，在C1=0.3，C2=0.7的情況下，截面處流場(chǎng)計(jì)算結(jié)果如下：

圖3　截面流場(chǎng)分布圖

二層間摩擦力

本節(jié)用于研究層間摩擦力與平均速度差值之間的關(guān)系。

先計(jì)算層間摩擦力，在圓管中選取一小段流體受力分析，根據(jù)動(dòng)量守恒：

圖4　微元受力示意圖

(17)

(18)

由(18)可得到層間摩擦力積分：

(19)

下面計(jì)算兩層間的平均速度差值：

記上下層流體的流量分別為Fup和Fdown，因此：

(20)

(21)

記上下層截面積分別為Aup和Adown，于是上下層流體的平均速度可表示為：

(22)

(23)

平均速度差值：

(24)

由(20)(21)(24)式，即可得到上下層流體的平均速度差值。

圖5　λ=0.1時(shí)f- diff圖

圖6　λ=0.5時(shí)f- diff圖

圖7　λ=0.9時(shí)f- diff圖

三結(jié)論

圓直管道分層兩相流模型中，上下兩層流體的層間摩擦力隨著兩層間平均速度差值呈近似線性的變化，并且對(duì)于兩流體不同分界面位置，這個(gè)線性關(guān)系的斜率不同。

因此，在工程應(yīng)用中，可以通過(guò)計(jì)算多種分界面情況下線性關(guān)系的斜率，做出工程手冊(cè)。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，首先用查手冊(cè)的方式得到斜率，根據(jù)工程需要的上下層流體的輸運(yùn)平均流速，計(jì)算出兩層間的摩擦力；然后根據(jù)本文中截面處任意點(diǎn)的速度公式(16)，得到流體與圓管壁面的摩擦力(關(guān)于輸運(yùn)壓強(qiáng)P的函數(shù))，最終反推出流體的輸運(yùn)壓強(qiáng)P，實(shí)現(xiàn)對(duì)流體輸運(yùn)工程的預(yù)測(cè)。

參考文獻(xiàn)

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Analytical Method for Pipe Stratified Two-phase Flow Problem

Lu Tianxiang1, Zhang Jinbai2

(1.Sino-French Engineer School, Beihang University, Beijjing 100083, China)

2.School of Aeronautic Science and Engineering, Beihang University, Beijjing 100083, China)

Key words：two-phase flow; analytical method; average velocity difference; interlayer friction

Class No.:O359+.1Document Mark：A

(責(zé)任編輯：鄭英玲)