周　田,張　輝,孫江艷,李　博

(北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心,北京 100094)

基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌方法研究

周田,張輝,孫江艷,李博

(北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心,北京 100094)

摘要：幾何定軌方法不受力學(xué)模型誤差的影響,過程簡(jiǎn)單,但是定軌精度不高,軌道外推精度也得不到保證。動(dòng)力法定軌精度較高,但是在完成觀測(cè)數(shù)據(jù)積累之前無法定軌,并且受到力學(xué)模型精度的影響。本文結(jié)合幾何法和動(dòng)力法的優(yōu)點(diǎn),研究了基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌方法,仿真結(jié)果表明：該方法可以得到優(yōu)于幾何法的定軌結(jié)果,并且結(jié)果比較穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞：幾何法;動(dòng)力學(xué);定軌

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2015.02.013

中圖分類號(hào)：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：： 1008-9268(2015)02-0058-04

收稿日期：2014-09-03

作者簡(jiǎn)介

Abstract:Geometric orbit determination method is not a mechanical model error, the process is simple, but the orbit determination accuracy is not high, the track extrapolation accuracy can not be guaranteed. Dynamic orbit determination accuracy is high, but unable to orbit determination, and before the completion of the observational data accumulated by the mechanical accuracy of the model. In this paper, the advantages of the geometric method and dynamic method to study the orbit determination based on the geometric method of dynamics simulation results show that this method can be better than the geometric method of orbit determination results, and the results are relatively stable.

0引言

幾何法定軌不受力學(xué)模型誤差的影響,定軌過程相對(duì)簡(jiǎn)單,可以實(shí)時(shí)確定衛(wèi)星位置,但是定軌精度不高,由于不涉及衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),軌道外推的精度也不能保證。幾何法定軌得到的軌道是一組離散的點(diǎn),連續(xù)的軌道必須通過擬合方法給出,影響幾何法定軌精度的主要因素是觀測(cè)量的精度、參考站分布的幾何構(gòu)形;動(dòng)力法定軌精度較高,能夠得到衛(wèi)星位置和速度信息,但是在完成觀測(cè)數(shù)據(jù)積累之前,無法提供定軌結(jié)果,動(dòng)力法定軌精度易受力學(xué)模型精度的影響[1-2]。在軌道恢復(fù)期間,可以采用幾何法提供可靠的軌道,但是幾何法精度不高,觀測(cè)中斷情況下不能得到軌道信息。在軌道回復(fù)期動(dòng)力學(xué)模型已經(jīng)穩(wěn)定,結(jié)合動(dòng)力平滑的思想,綜合幾何法和動(dòng)力法的優(yōu)點(diǎn),采用基于幾何法的動(dòng)力學(xué)方法,該方法是以幾何法定軌結(jié)果作為觀測(cè)量的動(dòng)力學(xué)定軌方法,實(shí)際上是一種幾何動(dòng)力學(xué)法,利用動(dòng)力學(xué)方程約束幾何法軌跡,對(duì)幾何法結(jié)果進(jìn)行平滑,減少了隨機(jī)誤差,獲得了精度高于幾何法的實(shí)時(shí)定軌結(jié)果,結(jié)果更加穩(wěn)定[3-4]。

1基本原理

基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌其核心算法是采用帶軌道動(dòng)力學(xué)模型的卡爾曼濾波器,對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行序貫分析[5]。其主要特點(diǎn)是不需要積累大量的觀測(cè)數(shù)據(jù),而是通過軌道動(dòng)力學(xué)模型對(duì)卡爾曼濾波器的狀態(tài)量進(jìn)行時(shí)間更新和導(dǎo)航系統(tǒng)的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)狀態(tài)量進(jìn)行測(cè)量更新,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)量的不斷修正,使定軌結(jié)果不斷收斂直到穩(wěn)定,這里的觀測(cè)量指的是幾何法定軌的結(jié)果。

卡爾曼濾波是一種基于物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)的變化描述物體運(yùn)動(dòng)的參數(shù)估計(jì)方法。在確定了系統(tǒng)的初始狀態(tài)后,應(yīng)用卡爾曼濾波對(duì)狀態(tài)向量進(jìn)行估計(jì)時(shí),不需要存儲(chǔ)大量的歷史觀測(cè)數(shù)據(jù),只需要根據(jù)濾波方程及新的觀測(cè)向量即可求得新的狀態(tài)向量濾波值,大大減少了信息的存儲(chǔ)量及計(jì)算量,所以卡爾曼濾波被廣泛應(yīng)用于動(dòng)態(tài)測(cè)量系統(tǒng)中[6-7]。

采用卡爾曼濾波對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的噪聲進(jìn)行參數(shù)估計(jì),在先驗(yàn)的模型誤差矩陣輔助下,有效的濾除了高斯白噪聲,提高了定軌的精度;引入了軌道動(dòng)力學(xué)模型,當(dāng)狀態(tài)參數(shù)收斂到穩(wěn)定狀態(tài)后,其短時(shí)間的外推,能夠保證較高的精度,實(shí)現(xiàn)了定軌結(jié)果的連續(xù)性;通過對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)中的粗差檢測(cè)與剔除機(jī)制,避免了粗差對(duì)狀態(tài)量的干擾,實(shí)現(xiàn)了定軌結(jié)果的穩(wěn)定性。

2動(dòng)力模型

主要介紹基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌中考慮的攝動(dòng)力、相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程及積分方法。

為了提高定軌的精度,動(dòng)力學(xué)信息考慮的越全面越好。但是,為了保證處理的速度,考慮的攝動(dòng)力又不能太過復(fù)雜。同時(shí)考慮定軌的精度和處理的速度,在基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌中,考慮了如下的力模型:10×10階地球引力、月球引力和太陽引力。在這樣的力模型條件下,不會(huì)引入其他的待估力學(xué)參數(shù),可以保證處理的實(shí)時(shí)性,并能夠滿足處理過程對(duì)力學(xué)模型精度的要求。

聯(lián)系人： 周 田 E-mail: yuxiaoyanzhoutian@163.com

在考慮以上攝動(dòng)力條件下,衛(wèi)星的加速度為

(1)

式中: r(t)表示t時(shí)刻衛(wèi)星在慣性系下的加速度矢量; re表示10×10階地球引力加速度,其計(jì)算方法見相關(guān)參考文獻(xiàn); rs,rm表示日月引力加速度,計(jì)算方法見相關(guān)參考文獻(xiàn)。

3觀測(cè)模型

將在t時(shí)刻通過幾何法得到的衛(wèi)星位置作為觀測(cè)向量(衛(wèi)星在地固系下的位置)轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系中,用Y(t)表示,觀測(cè)方程可以表示為

Y(t)=h(X(t),t)+v(t),

(2)

式中: X(t)為t時(shí)刻衛(wèi)星在慣性系下的狀態(tài)向量,為待估量;h(X(t),t)為t時(shí)刻狀態(tài)向量X(t)對(duì)應(yīng)的真值; v(t)為t時(shí)刻的觀測(cè)誤差。對(duì)觀測(cè)方程線性化得

Y(t)=HX(t)+v(t)，

(3)

式中: H為觀測(cè)向量與待估向量之間的關(guān)系矩陣,

4參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)的方法有兩種,一種是批處理算法,另一種是序貫處理算法。與批處理的算法相比,序貫處理算法具有以下兩個(gè)特點(diǎn)[8]。

1) 接收到一個(gè)新的觀測(cè)數(shù)據(jù)后,馬上可以處理以得到觀測(cè)時(shí)刻的新的狀態(tài)估值。它的實(shí)時(shí)性強(qiáng)。

2) 序貫處理算法可以避免大維數(shù)矩陣的求逆運(yùn)算。

采用的擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)就是一種序貫處理方法。擴(kuò)展卡爾曼濾波在對(duì)非線性模型應(yīng)用泰勒公式進(jìn)行線性化,選用濾波估值作為標(biāo)稱值,這樣就可以克服模型線性化引起的誤差[9-10]。

EKF處理過程主要包括時(shí)間更新和量測(cè)更新兩部分。給定先驗(yàn)協(xié)方差矩陣Pk-1以及初始軌道Xk-1,讀取tk時(shí)刻的觀測(cè)向量Yk,以及觀測(cè)誤差協(xié)方差陣Rk.式(4)和式(5)為時(shí)間更新部分,式(6)、式(7)和式(8)為量測(cè)更新部分。

(4)

(5)

(6)

(7)

Pk=(1-KkH)Pk/k-1.

(8)

使用卡爾曼濾波的一個(gè)基本前提條件是給定初始狀態(tài)向量的估值X0和協(xié)方差陣P0.衛(wèi)星位置直接從幾何法定軌中得到,衛(wèi)星速度可由兩個(gè)歷元的位置計(jì)算得到,協(xié)方差陣根據(jù)幾何法定軌精度給定。

為了保證數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,選擇3倍觀測(cè)中誤差(即幾何法定軌獲得的衛(wèi)星位置中誤差)作為限值,若幾何法得到的衛(wèi)星位置與該時(shí)刻衛(wèi)星的狀態(tài)預(yù)報(bào)值的殘差大于3倍觀測(cè)中誤差,則不進(jìn)行量測(cè)更新,即剔除這個(gè)值。

擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的計(jì)算流程如圖1所示。

圖1　擴(kuò)展卡爾曼濾波算法流程

5基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌結(jié)果分析

為了便于分析,選取PRN23衛(wèi)星6個(gè)站的情況、2011年1月27日 16:25:00-16:55:00共30分鐘1s采樣間隔的數(shù)據(jù),進(jìn)行基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌,對(duì)定軌的結(jié)果與幾何法進(jìn)行對(duì)比。其中離散點(diǎn)表示幾何法定軌的結(jié)果,紅線表示基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌的結(jié)果。圖2(a)中縱坐標(biāo)dR、dT、dN和dP分別表示R方向、T方向、N方向和三維位置的誤差,圖2(b)中縱坐標(biāo)dVx、dVy、dVz和dV分別表位X方向、Y方向、Z方向和三維速度的誤差。

從圖2可以看出,基于幾何法的動(dòng)力學(xué)結(jié)果較幾何法有了較大的改進(jìn),而且可以獲得衛(wèi)星的速度。在處理一段時(shí)間以后,濾波逐漸收斂,精度也趨于穩(wěn)定。

表1和表2示出了收斂后的衛(wèi)星位置和速度誤差情況。

圖2　基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌結(jié)果

表1　收斂后衛(wèi)星位置誤差統(tǒng)計(jì)表 (單位：m)

表2　收斂后衛(wèi)星速度誤差統(tǒng)計(jì)表 (單位：cm/s)

從表1和表2可以看出,基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌收斂后,衛(wèi)星三維位置誤差的平均值為1.647 m,標(biāo)準(zhǔn)差為0.953 m,而幾何法定軌三維位置誤差的平均值為5.546 m,標(biāo)準(zhǔn)差為2.872 m.三維速度誤差的平均值為0.492 cm/s,標(biāo)準(zhǔn)差為0.344 cm/s.基于幾何法的動(dòng)力學(xué)收斂后的精度明顯高于幾何法定軌,而且可以實(shí)時(shí)得到衛(wèi)星的速度。

6結(jié)束語

本文結(jié)合幾何法和動(dòng)力法的優(yōu)點(diǎn),從基本原理出發(fā),在理論上給出了動(dòng)力模型和觀測(cè)模型,基于擴(kuò)展卡爾曼濾波方法詳細(xì)推導(dǎo)了基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌方法。根據(jù)實(shí)際定位結(jié)果,基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌方法與常規(guī)幾何法定軌方法相比,衛(wèi)星軌道三維位置誤差更小,定軌誤差波動(dòng)也較小,結(jié)果相對(duì)穩(wěn)定。因此,基于幾何法的動(dòng)力學(xué)定軌方法要優(yōu)于常規(guī)的幾何法定軌結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1] VETTER J R.Fifty years of orbit determination:Development of modern astrodynamics methods[J].Johns Hopkins APL Technical Digest,2007,27(3):176-189.

[2] COLOMBO O L. The dynamics of global positioning orbits and the determination of precise ephemerides[J].Journal of Geophysical,1989(94):9167-9182.

[3] 韓保民. 基于星載GPS雙頻觀測(cè)值的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)定軌方法[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2007,39(2):149-153.

[4] 韓保民. 動(dòng)力學(xué)模型對(duì)簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)定軌精度影響仿真[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2006,18(10):2722-2724.

[5] YUNCK T P. Orbital determination, global positioning system: Theory and applications[J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1996(2):559-592.

[6] 韓保民,歐吉坤,曲國(guó)慶. 一種新的綜合Kalman濾波及其在星載GPS低軌衛(wèi)星定軌中的應(yīng)用[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版,2005,30(6):493-496.

[7] 賈沛璋. 卡爾曼濾波定軌算法的研究進(jìn)展[J]. 飛行器測(cè)控學(xué)報(bào),2001,20(3):45-50.

[8] 余江林, 柳東升.卡爾曼濾波在利用GPS對(duì)GEO星定軌中的應(yīng)用[J].全球定位系統(tǒng),2000,26(3):26-29.

[9] KALMAN R E.A new application to linear and prediction theory[J].Journal of Basic Engineering, 1960:35-46.

[10]KAIMAN R E, BUCY R S.New results in linear filtering and prediction theory[J].Journal of Basic Engineering,1961:95-108.

周田(1988-),男,助理工程師,主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航。

張輝(1985-),男,碩士,助理工程師,主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航。

孫江艷(1986-),女,碩士,助理工程師,主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航。

李博(1981-),男,工程師,主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航。

Based on the Geometric Method and the Dynamics of the

Orbit Determination Method Research

ZHOU Tian,ZHANG Hui,SUN Jiangyan,LI Bo

(BeijingSateliteNavigationCenter,Beijing100094,China)

Key words: Geometric method; dynamics ephemeris; orbit determination