基于振型的構(gòu)件位移分解及規(guī)律研究

基于振型的構(gòu)件位移分解及規(guī)律研究

吳澤玉1， 王東煒2， 汪志昊3

(1.北京工業(yè)大學(xué) 建工學(xué)院，北京 100124； 2.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001； 3.華北水利水電大學(xué) 土木與交通學(xué)院，河南 鄭州 450000)

摘要：為了清楚分析結(jié)構(gòu)的荷載效應(yīng)，可將位移向振型方向投影，計(jì)算位移在各個(gè)振型中所占比重.增加對(duì)結(jié)構(gòu)變形有利振型位移所占比例，降低對(duì)結(jié)構(gòu)變形不利振型位移所占比例.提出位移展開(kāi)所需振型量確定方法和位移和應(yīng)變、應(yīng)力及內(nèi)力用振型展開(kāi)的相關(guān)表達(dá)式.通過(guò)對(duì)普通梁、適中柱及深受彎構(gòu)件和短柱位移展開(kāi)，得到梁柱荷載效應(yīng)的一般規(guī)律.

關(guān)鍵詞：振型；位移；振型方向系數(shù)；構(gòu)件；概念設(shè)計(jì)

收稿日期:2015-03-30；

修訂日期：2015-05-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助項(xiàng)目(50978232)；河南教育廳項(xiàng)目資助(14B560029)

作者簡(jiǎn)介：吳澤玉(1976—)，男，河南固始人，北京工業(yè)大學(xué)講師，博士，主要從事復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系選型與振動(dòng)控制研究，E-mail: 13598437507@163.com.

文章編號(hào):1671-6833(2015)05-0068-05

中圖分類號(hào)：TU311.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi:10.3969/j.issn.1671-6833.2015.05.015

Abstract:In order to clarify the external load effect on structure, the displacement can be decomposed on the mode and calculated the proportion of the each mode. The advantage mode displacement can be increased and disadvantage mode displacement can be decreased. To meet the engineering safety requirements, the mode number of displacement expansion is determined and stress equation, strain equation and relevant internal force equation can be derived on mode coordinate system. Through the load effect of beam and column, some valuable laws were obtained.

0引言

振型通常用來(lái)研究結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)和動(dòng)力性能[1-5]，鮮有用來(lái)指導(dǎo)結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)和構(gòu)造設(shè)計(jì).王東煒等人率先提出利用振型研究結(jié)構(gòu)整體力學(xué)性能，取得了很好的工程應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)[6-7].為了清楚了解構(gòu)件在外界荷載作用下的效應(yīng)機(jī)理，更好地指導(dǎo)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，可將位移向振型方向投影.增加對(duì)結(jié)構(gòu)變形有利的振型位移值，減少對(duì)結(jié)構(gòu)變形不利的振型位移值.在結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)階段，對(duì)結(jié)構(gòu)整體受力性能進(jìn)行宏觀控制，使對(duì)結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)有了量化措施.振型描述了剛度和質(zhì)量在整個(gè)結(jié)構(gòu)體上的分布，表征二者的相對(duì)比值關(guān)系，為二者的相對(duì)比值關(guān)系在空間位置上的分布情況.同時(shí)，振型也反映了結(jié)構(gòu)在外界荷載作用下最易發(fā)生變形的先后順序.外力作用對(duì)結(jié)構(gòu)都會(huì)產(chǎn)生效應(yīng)，通常以位移的形式表現(xiàn)出來(lái).結(jié)構(gòu)振型是位移的廣義完備正交基，通過(guò)位移在振型坐標(biāo)基上的展開(kāi)，可清楚了解外力的作用效應(yīng)以及這種效應(yīng)在各振型中所占的比例，特別是容易引起結(jié)構(gòu)脆性破壞的剪切效應(yīng)和扭轉(zhuǎn)效應(yīng).故在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，提高對(duì)結(jié)構(gòu)變形有利的振型所占的比重，減少對(duì)結(jié)構(gòu)變形不利的振型所占的比重，用來(lái)指導(dǎo)結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)和構(gòu)造設(shè)計(jì).

1位移、應(yīng)變和應(yīng)力振型展開(kāi)

振型是結(jié)構(gòu)位移的完備正交基，任何位移都能以振型為坐標(biāo)基展開(kāi),表示為振型和振型幅值乘積的形式，如式(1)所示[8]

D=a1φ1+a2φ2+…+anφn,

(1)

式中:D表示位移向量；φn表示結(jié)構(gòu)的振型；an表示位移展開(kāi)在各振型中的振幅.利用振型的正交性，式(1)中各振型幅值系數(shù)

(2)

{ε}=[L]{D} ,

(3)

式中：{ε}為應(yīng)變矩陣；[L]為微分算子矩陣.應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系式為

{σ}=[K]{ε} ,

(4)

式中：{σ}為應(yīng)力矩陣；[K]為剛度矩陣.

{εn}=anφn[L]{D},

(5)

{σn}=[K]{ε}=anφn[K][L]{D}.

(6)

從式(2)～(6)可以看出，只要構(gòu)件位移已知，就可以求出相應(yīng)的應(yīng)變和應(yīng)力在振型上的投影值，對(duì)應(yīng)力在面內(nèi)或體積內(nèi)積分，可求出相應(yīng)的內(nèi)力值.位移在振型上投影的幅度值an反映了外界荷載對(duì)各振型的作用效應(yīng)，因此對(duì)an分析就能顯示荷載效應(yīng)在振型分配大小.

2滿足精度要求的振型數(shù)量

計(jì)算位移展開(kāi)所需振型數(shù)可由范數(shù)確定[10-12].設(shè)需展開(kāi)的位移向量為{D}，假定前M階振型展開(kāi)的位移量為{Ds}，展開(kāi)位移與實(shí)際位移之間的誤差為

{E}={D}-{Ds} ,

(7)

對(duì)式(7)的差值位移向量，可由3種方法確定所需振型數(shù)量.

(1) 均方法

(8)

式中：Di為位移向量{D}中的分量；Dsi為位移向量{Ds}中的分量.當(dāng)‖E‖2值滿足計(jì)算精度時(shí)，所取的振型階數(shù)M即為所需振型量.

(2) 最大位移法

(9)

由公式可知，展開(kāi)振型階次越高，任意自由度位移誤差逐漸收斂展開(kāi)位移量.

【國(guó)際原子能機(jī)構(gòu)網(wǎng)站2018年9月14日?qǐng)?bào)道】 2018年9月，國(guó)際原子能機(jī)構(gòu)(IAEA)發(fā)布《2018年氣候變化與核電》報(bào)告，并在報(bào)告中表示，核電可以在為全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供所需電力的同時(shí)，為實(shí)現(xiàn)氣候變化目標(biāo)做出重要貢獻(xiàn)。該報(bào)告是2016年版報(bào)告的更新版，在其中加入了有關(guān)能源生產(chǎn)與氣候變化之間聯(lián)系的最新科學(xué)信息和分析結(jié)果。原子能機(jī)構(gòu)希望這份報(bào)告能為參與《聯(lián)合國(guó)氣候變化框架公約》等論壇活動(dòng)的決策者提供有用信息。

(3) 百分比法

(10)

3適中柱和普通梁位移量在振型坐標(biāo)基上的投影

3.1適中柱位移在振型上的投影分析

某柱橫截面為0.8m×0.8m高為6m，橫截面方向?yàn)閤和y坐標(biāo)，柱高為z向.假定反彎點(diǎn)在柱中點(diǎn)，取一半柱高分析，約束形式為上端自由下端固定.柱的剪跨比為：λ=3.75>2，為適中柱[13].結(jié)構(gòu)自由端結(jié)點(diǎn)圖如圖1所示.水平和豎向力均為1 000kN，分析位移在振型上的投影規(guī)律.水平力分別作用于結(jié)點(diǎn)309、373、372和結(jié)點(diǎn)25時(shí)，位移在前10階振型上的位移投影系數(shù).水平力位移展開(kāi)系數(shù)和雙向偏心受壓和單向偏心受壓位移展開(kāi)系數(shù)如表1和表2所示.

圖1適中柱自由端結(jié)點(diǎn)圖

Fig.1Free end node of moderate column

圖2普通梁跨中結(jié)點(diǎn)圖

Fig.2Middle span node of moderate beam

3.2普通梁位移在振型上的投影分析

某梁橫截面為0.6 m×0.8 m，跨度為8 m，假定梁兩端固定.梁的跨高比為：l0/h=10>5，為普通梁.構(gòu)件的跨中結(jié)點(diǎn)圖如圖2所示.梁跨中受豎向力為集中力1 000 kN，作用于梁的跨中.分析荷載在梁橫截面上移動(dòng)時(shí)，位移在振型上的投影規(guī)律.普通梁在橫向荷載作用下位移在各振型上展開(kāi)比例如表2所示.

4短柱和深梁在振型坐標(biāo)基上的投影

4.1短柱位移在振型上的投影分析

某柱橫截面為0.8 m×0.8 m，高為2.4 m，假定反彎點(diǎn)在柱高中點(diǎn)，約束形式為上端自由下端固定.柱的剪跨比為：λ=1.5<2，為短柱.結(jié)構(gòu)的自由端結(jié)點(diǎn)圖如圖3所示.水平和豎向力均為1 000 kN，分析位移在振型上的投影規(guī)律.水平力位移展開(kāi)系數(shù)和雙向偏壓展開(kāi)系數(shù)如表3所示.單向偏壓位移展開(kāi)系數(shù)如表4所示.

表1　水平荷載作用下和雙向偏心豎向荷載作用下結(jié)點(diǎn)位移在振型上展開(kāi)比例

表2　柱單向偏心豎向荷載作用下和梁豎向力作用下結(jié)點(diǎn)位移在振型上展開(kāi)比例

4.2深受彎構(gòu)件位移在振型上的投影分析

某梁橫截面為0.6 m×0.8 m，跨度為3.2 m，假定梁兩端固定.梁的跨高比為：l0/h=4<5，為深受彎構(gòu)件.構(gòu)件的結(jié)點(diǎn)圖如圖4所示.梁跨中受豎向力為集中力，大小等于1 000 kN，作用于梁的跨中，分析荷載在梁橫截面上移動(dòng)時(shí)，位移在振型上的投影規(guī)律.深梁在橫向荷載作用下位移在各振型上展開(kāi)比例如表4所示.

5結(jié)論

對(duì)由梁柱組成的結(jié)構(gòu)體系來(lái)說(shuō)，基于振型的位移展開(kāi)可清楚了解構(gòu)件的變形性態(tài)，盡可能避免短柱和深受彎構(gòu)件的出現(xiàn)，實(shí)在無(wú)法避免時(shí)，要提高構(gòu)件的抗剪和抗扭能力.通過(guò)位移在振型上的展開(kāi)可以指導(dǎo)結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)和構(gòu)造設(shè)計(jì).

圖3短柱自由端結(jié)點(diǎn)圖

Fig.3Free end node of short column

圖4深受彎梁跨中結(jié)點(diǎn)圖

Fig.4Middle span node of short beam

表3　水平荷載作用下結(jié)點(diǎn)位移在振型上展開(kāi)比例

表4　單向偏心豎向荷載作用下和深梁在橫向荷載作用下結(jié)點(diǎn)位移在振型上展開(kāi)比例

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Research on Mode-based Displacement Expansion of

Stuctural Component and Common Rules

WU Ze-yu1, WANG Dong-wei2, WANG Zhi-hao3

(1.College of Architecture of Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2.College of Civil Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China; 3.School of Civil Engineering and Communication, North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450000, China)

Key words: mode; displacement; mode directional coefficient; structural member; concept design