理想流體近似的討論

趙 斌

(南京工程學(xué)院數(shù)理部　江蘇 南京　211167)

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理想流體近似的討論

趙 斌

(南京工程學(xué)院數(shù)理部江蘇 南京211167)

摘 要：針對(duì)大學(xué)物理中的理想流體模型進(jìn)行了討論，從熱力學(xué)方程和納維-斯托克斯方程出發(fā)，給出了理想流體模型的近似過(guò)程，澄清了理想流體模型的概念，闡明了理想流體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是等熵過(guò)程．通過(guò)對(duì)造成熵增(耗散)項(xiàng)的物理分析，本文給出了理想流體近似可以視為冷流體近似的觀點(diǎn)．

關(guān)鍵詞:理想流體納維-斯托克斯方程傅里葉熱傳導(dǎo)定律牛頓粘性定律

流體是人類(lèi)生活和生產(chǎn)中經(jīng)常遇到的物質(zhì)形式，氣體、液體、等離子體都可以視為流體．流體力學(xué)是研究連續(xù)介質(zhì)的宏觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及它與其他運(yùn)動(dòng)形態(tài)之間的相互作用，它的理論是基于連續(xù)介質(zhì)假說(shuō)．從流體力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，除了固體外，其他存在形式物質(zhì)的宏觀運(yùn)動(dòng)和相互作用都可以用流體力學(xué)的理論來(lái)近似描述．因此流體力學(xué)幾乎滲透到了各個(gè)學(xué)科和工程應(yīng)用領(lǐng)域之中．

在大學(xué)物理的知識(shí)體系中，一些教材中也對(duì)流體力學(xué)的知識(shí)進(jìn)行了介紹，其中理想流體像質(zhì)點(diǎn)、剛體等一樣是一個(gè)重要的物理近似模型，一些大學(xué)物理的課本中，其定義為完全不可壓縮的無(wú)粘滯性的流體[1～3]．這一定義是不對(duì)的，從概念上說(shuō)，流體力學(xué)分類(lèi)中就有可壓縮理想流體和不可壓理想流體之分．這一定義當(dāng)然沒(méi)有給出理想流體力學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵，也會(huì)使得學(xué)生在將來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)流體理論時(shí)產(chǎn)生歧義性和矛盾．筆者認(rèn)為需要對(duì)理想流體的概念以及流體力學(xué)描述方程進(jìn)行澄清，以免造成概念的混淆，同時(shí)也加深我們?cè)诮虒W(xué)中對(duì)流體力學(xué)的認(rèn)識(shí)．為此我們需要對(duì)理想流體模型的近似過(guò)程進(jìn)行梳理．

描述流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程有歐拉流體力學(xué)方程，納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程，Burnett和Super-Burnett方程等[4]．其中歐拉方程也稱(chēng)為理想流體方程．理想流體是流體理論中一個(gè)理想極限模型，其定義為運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可以忽略粘滯和熱傳導(dǎo)效應(yīng)的流體[4,5]，當(dāng)然理想流體的運(yùn)動(dòng)行為可以用歐拉方程來(lái)描述．在大學(xué)物理教材中流體力學(xué)介紹的知識(shí)點(diǎn)也主要是圍繞不可壓縮理想流體展開(kāi)的．

下面我們從實(shí)際使用較為廣泛的納維-斯托克斯方程出發(fā)，對(duì)理想流體模型的近似過(guò)程進(jìn)行分析和討論．流體動(dòng)力學(xué)方程實(shí)質(zhì)是描述流體元的質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒的方程組

(1)

(2)

(3)

其中ρ是流體的質(zhì)量密度，u，p，e分別是流速、壓強(qiáng)、單位質(zhì)量的內(nèi)能．χ為粘滯應(yīng)力張量，q為熱流．常用的應(yīng)力張量可以表示為P=-pI+χ，I為單位張量．在納維-斯托克斯方程中假設(shè)了χ與速度梯度張量成正比，即牛頓粘性定律；q與溫度梯度成正比，即傅里葉熱導(dǎo)定律q=-κ▽T．這些定義關(guān)系也稱(chēng)本構(gòu)方程．當(dāng)然對(duì)于上述動(dòng)力學(xué)方程組計(jì)算，還需要狀態(tài)方程才能夠封閉可解．這3個(gè)方程又分別稱(chēng)連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程、能量方程．為了下面討論的方便，將能量方程改寫(xiě)成

(4)

由熱力學(xué)的知識(shí)，假設(shè)我們考察的流體系統(tǒng)選取ρ,S為狀態(tài)參量，S為流體介質(zhì)的熵(單位質(zhì)量)，內(nèi)能可以表述為e=e(ρ,S) ，則有

(5)

利用熱力學(xué)關(guān)系

上式正是熱力學(xué)第一定律

(6)

(7)

由連續(xù)性方程(1)有

(8)

代入方程(7)得到，

(9)

這樣能量方程(4)可以寫(xiě)成

(10)

∫ΩdΩ▽·(κ▽T)=∫AdA·(κ▽T)=0

即熱傳導(dǎo)不會(huì)增加系統(tǒng)的熱能，這里Ω是整個(gè)流體系統(tǒng)的總體積, 其閉合的外表面為A．但是可以證明，從整體上看流體系統(tǒng)，熱傳導(dǎo)總是會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的熵增．這里為了證明敘述的簡(jiǎn)潔，我們只考慮方程(10)中的熱傳導(dǎo)項(xiàng)

(11)

這一方程可以寫(xiě)成

(12)

對(duì)整個(gè)流體體積積分，方程左邊即為系統(tǒng)熵的體積分, 即系統(tǒng)總熵；方程右邊在考慮系統(tǒng)無(wú)流邊界后，只剩下∫ΩdΩκ(▽T)2/T2，這一積分總是大于零(因?yàn)闊釋?dǎo)系數(shù)κ>0)．從熱力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，粘滯系數(shù)和熱導(dǎo)系數(shù)為正，也正是熱力學(xué)第二定律的要求，即納維-斯托克斯方程是內(nèi)在本質(zhì)上是滿(mǎn)足熱力學(xué)第二定律的．

是忽略了流體元微觀粒子的無(wú)規(guī)熱運(yùn)動(dòng)，或者說(shuō)是趨于零的冷流體近似．

參 考 文 獻(xiàn)

1王海嬰，大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué).北京：高等教育出版社，2000.95

2周豐群,大學(xué)物理學(xué)(上).成都：四川大學(xué)出版社，2001.219

3劉揚(yáng)正，張偉強(qiáng).大學(xué)物理(上).北京：科學(xué)出版社，2011.77

4S.查普曼，TG.考林著. 非均勻氣體的數(shù)學(xué)理論.北京：科學(xué)出版社.1985

物 理 新 解

5L.D.Landau，E.M.Lifshitz.FluidMechanics, 2nded.,NewYork：PergamonPress. 1987.2

DiscussiononIdealFluidApproximation

ZhaoBin

(DepartmentofMathematicsandPhysics,NanjingInstituteofTechnology，Nanjing，Jiangsu211167)

:Theapproximationofidealfluidaredocumentedinthisarticlewhicharenotwelldefinedinsomecollegephysicstextbooks.Fromthepointofviewthermodynamics,thedissipationoffluidnaturallyarisesfromtherandommotionofmicroscopicparticleoffluid.Therefore，theapproximationofidealfluidmaybeexplainedthatfluidisregardedascoldone.

Keywords:ideal fluid；Navier-Stokes equation；Fourier conduction law； Newton viscosity law

收稿日期：(2015-10-14)